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序言
第1章　鏡子的獨白　　1
1.1　誰是老實人　　1
1.1.1　鏡子呀鏡子　　1
1.1.2　誰是老實人　　3
1.1.3　相同的迴答　　7
1.1.4　迴答是沉默　　8
1.2　邏輯謎題　　9
1.2.1　愛麗絲、博麗絲和剋麗絲　　9
1.2.2　用錶格來想　　10
1.2.3　齣題者的心思　　14
1.3　帽子是什麼顔色　　15
1.3.1　不知道　　15
1.3.2　對齣題者的驗證　　18
1.3.3　鏡子的獨白　　19
第2章　皮亞諾算術　　23
2.1　泰朵拉　　23
2.1.1　皮亞諾公理　　23
2.1.2　無數個願望　　27
2.1.3　皮亞諾公理 PA1　　28
2.1.4　皮亞諾公理 PA2　　29
2.1.5　養大　　32
2.1.6　皮亞諾公理PA3　　34
2.1.7　小的？　　35
2.1.8　皮亞諾公理 PA4　　36
2.2　米爾嘉　　39
2.2.1　皮亞諾公理PA5　　42
2.2.2　數學歸納法　　43
2.3　在無數腳步之中　　50
2.3.1　有限？無限？　　50
2.3.2　動態？靜態？　　51
2.4　尤裏　　52
2.4.1　加法運算？　　52
2.4.2　公理？　　54
第3章　伽利略的猶豫　　57
3.1　集閤　　57
3.1.1　美人的集閤　　57
3.1.2　外延錶示法　　58
3.1.3　餐桌　　60
3.1.4　空集　　61
3.1.5　集閤的集閤　　62
3.1.6　公共部分　　64
3.1.7　並集　　67
3.1.8　包含關係　　69
3.1.9　為什麼要研究集閤　　71
3.2　邏輯　　72
3.2.1　內涵錶示法　　72
3.2.2　羅素悖論　　74
3.2.3　集閤運算和邏輯運算　　77
3.3　無限　　79
3.3.1　雙射鳥籠　　79
3.3.2　伽利略的猶豫　　83
3.4　錶示　　86
3.4.1　歸途　　86
3.4.2　書店　　87
3.5　沉默　　88
3.5.1　美人的集閤　　88
第4章　無限接近的目的地　　91
4.1　傢中　　91
4.1.1　尤裏　　91
4.1.2　男生的“證明”　　92
4.1.3　尤裏的‘證明’　　93
4.1.4　尤裏的‘疑惑’　　96
4.1.5　我的講解　　97
4.2　超市　　99
4.2.1　目的地　　99
4.3　音樂教室　　104
4.3.1　字母的導入　　104
4.3.2　極限　　106
4.3.3　憑聲音決定音樂　　108
4.3.4　極限的計算　　111
4.4　歸途　　119
4.4.1　前途　　119
第5章　萊布尼茨之夢　　123
5.1　若尤裏，則非泰朵拉　　123
5.1.1　“若……則……”的含義　　123
5.1.2　萊布尼茨之夢　　126
5.1.3　理性的界限？　　128
5.2　若泰朵拉，則非尤裏　　129
5.2.1　備戰高考　　129
5.2.2　上課　　131
5.3　若米爾嘉，則米爾嘉　　133
5.3.1　教室　　133
5.3.2　形式係統　　135
5.3.3　邏輯公式　　137
5.3.4　“若……則……”的形式　　140
5.3.5　公理　　142
5.3.6　證明論　　144
5.3.7　推理規則　　145
5.3.8　證明和定理　　147
5.4　不是我，還是我　　150
5.4.1　傢中　　150
5.4.2　形式的形式　　151
5.4.3　含義的含義　　153
5.4.4　若“若……則……”，則……　　153
5.4.5　邀約　　157
第6章　ε- δ 語言　　159
6.1　數列的極限　　159
6.1.1　從圖書室齣發　　159
6.1.2　到達階梯教室　　160
6.1.3　理解復雜式子的方法　　164
6.1.4　看“絕對值”　　166
6.1.5　看“若……，則……”　　169
6.1.6　看“所有”和“某個”　　170
6.2　函數的極限　　174
6.2.1　ε-δ　　174
6.2.2　ε-δ 的含義　　177
6.3　摸底考試　　178
6.3.1　上榜　　178
6.3.2　靜寂的聲音、沉默的聲音　　179
6.4　“連續”的定義　　181
6.4.1　圖書室　　181
6.4.2　在所有點處都不連續　　184
6.4.3　是否存在在一點處連續的函數　　186
6.4.4　逃齣無限的迷宮　　187
6.4.5　在一點處連續的函數！　　188
6.4.6　訴衷腸　　192
第7章　對角論證法　　197
7.1　數列的數列　　197
7.1.1　可數集　　197
7.1.2　對角論證法　　201
7.1.3　挑戰：給實數編號　　209
7.1.4　挑戰：有理數和對角論證法　　213
7.2　形式係統的形式係統　　215
7.2.1　相容性和完備性　　215
7.2.2　哥德爾不完備定理　　222
7.2.3　算術　　224
7.2.4　形式係統的形式係統　　226
7.2.5　詞匯的整理　　229
7.2.6　數項　　230
7.2.7　對角化　　231
7.2.8　數學的定理　　233
7.3　失物的失物　　233
7.3.1　遊樂園　　233
第8章　兩份孤獨所衍生的産物　　229
8.1　重疊的對　　229
8.1.1　泰朵拉的發現　　229
8.1.2　我的發現　　235
8.1.3　誰都沒發現的事實　　236
8.2　傢中　　237
8.2.1　自己的數學　　237
8.2.2　錶現的壓縮　　237
8.2.3　加法運算的定義　　241
8.2.4　教師的存在　　244
8.3　等價關係　　245
8.3.1　畢業典禮　　245
8.3.2　對衍生的産物　　247
8.3.3　從自然數到整數　　248
8.3.4　圖　　249
8.3.5　等價關係　　254
8.3.6　商集　　257
8.4　餐廳　　261
8.4.1　兩個人的晚飯　　261
8.4.2　一對翅膀　　262
8.4.3　無力考試　　264
第9章　令人迷惑的螺鏇樓梯　　267
9.1　π 弧度　　267
9.1.1　不高興的尤裏　　267
9.1.2　三角函數　　269
9.1.3　sin45°　　272
9.1.4　sin60°　　276
9.1.5　正弦麯綫　　280
9.2　π 弧度　　284
9.2.1　弧度　　284
9.2.2　教人　　286
9.3　π 弧度　　287
9.3.1　停課　　287
9.3.2　餘數　　288
9.3.3　燈塔　　290
9.3.4　海邊　　292
9.3.5　消毒　　293
第10章　哥德爾不完備定理　　295
10.1　雙倉圖書館　　295
10.1.1　入口　　295
10.1.2　氯　　296
10.2　希爾伯特計劃　　298
10.2.1　希爾伯特　　298
10.2.2　猜謎　　300
10.3　哥德爾不完備定理　　304
10.3.1　哥德爾　　304
10.3.2　討論　　306
10.3.3　證明的概要　　308
10.4　春天——形式係統P　　308
10.4.1　基本符號　　308
10.4.2　數項和符號　　310
10.4.3　邏輯公式　　311
10.4.4　公理　　312
10.4.5　推理規則　　315
10.5　午飯時間　　316
10.5.1　元數學　　316
10.5.2　用數學研究數學　　317
10.5.3　蘇醒　　317
10.6　夏天——哥德爾數　　319
10.6.1　基本符號的哥德爾數　　319
10.6.2　序列的哥德爾數　　320
10.7　鞦天——原始遞歸性　　323
10.7.1　原始遞歸函數　　323
10.7.2　原始遞歸函數（謂詞）的性質　　326
10.7.3　錶現定理　　328
10.8　鼕天——通往可證明性的漫長之旅　　331
10.8.1　整理行裝　　331
10.8.2　數論　　332
10.8.3　序列　　334
10.8.4　變量•符號•邏輯公式　　336
10.8.5　公理、定理、形式證明　　346
10.9　新春——不可判定語句　　350
10.9.1　“季節”的確認　　350
10.9.2　種子——從含義的世界到形式的世界　　352
10.9.3　綠芽——p 的定義　　354
10.9.4　枝杈——r 的定義　　355
10.9.5　葉子——從A1往下走　　356
10.9.6　蓓蕾——從B1開始往下走　　357
10.9.7　不可判定語句的定義　　357
10.9.8　梅花——¬IsProvable(g)　　358
10.9.9　桃花——¬IsProvable(not(g)) 的證明　　360
10.9.10　櫻花——證明形式係統P是不完備的　　362
10.10　不完備定理的意義　　364
10.10.1　“‘我’是無法證明的”　　364
10.10.2　第二不完備定理的證明之概要　　368
10.10.3　不完備定理衍生的産物　　371
10.10.4　數學的界限？　　372
10.11　帶上夢想　　374
10.11.1　並非結束　　374
10.11.2　屬於我　　375
尾　聲　　379
後　記　　383
參考文獻和導讀　　387
· · · · · · (收起)