凸优化理论 （美）博克斯,赵千川,王梦迪 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 博克斯，赵千川，王梦迪 著

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• 赵千川
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出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302399568

商品编码：13156757361

包装：平装

出版时间：2015-11-01

图书基本信息
图书名称	凸优化理论	作者	（美）博克斯,赵千川,王梦迪
定价	49.0元	出版社	清华大学出版社
ISBN	9787302399568	出版日期	2015-11-01
字数	285000	页码
版次	1	装帧	平装
开本	16开	商品重量	0.4Kg

内容简介

《凸优化理论》力图以简洁的篇幅，介绍凸优化 的一个完整理论分析框架。凸优化理论的基石在于对 偶。作者选取了*小公共点／*大相交点的几何框架 （简称为MC／MC框架）作为凸优化问题的对偶性分析 的基础框架。相比于基于函数共轭性的代数框架，MC ／MC框架*适用于直观地分析和理解各种重要的优化 问题，也*适合初学者学习和理解凸优化理论。本书 可以作为高年级本科生、研究生“运筹学优化类”课 程的教材或相关研究人员的参考书。 　　原作者美国工程院院士博塞克斯教授有极高的 学术造诣和学术声誉，在学术专*和教材的写在方面 取得了公认的成就。

作者简介

目录

编辑推荐

本书力图以简洁的篇幅，介绍凸优化的一个完整理论分析框架。凸优化理论的基石在于对偶。作者选取了小公共点/大相交点的几何框架（简称MC/MC框架）作为凸优化问题的对偶性分析的基础框架。相比于基于函数共轭性的代数框架，MC/MC框架更适用于直观地分析和理解各种重要的优化问题，也更适合初学者学习和理解凸优化理论。本书可以作为高年级本科生、研究生运筹学优化类课程的教材或相关研究人员的参考书。 原著作者美国工程院院士Dimitri P.Bertsekas教授有极高的学术造诣和学术声誉，在学术专著和教材的写作方面取得了公认的成就。

文摘

第 1章凸分析的基本概念 凸集和凸函数在优化模型中非常有用，是一种便于分析和算法设计的内涵丰富的结构 .这个结构的主体可以归结为几条基本性质 .例如，每个闭的凸集合都可以被支撑该集合的超平面所描述；凸集边界上的每个点都可以通过该集合的相对内点集来逼近，以及包含于闭凸集的每条半直线当被平移到该集合中的任意一个点发出的时候仍然包含于该集合.不过，尽管有这些好的性质，凸集及其分析并非完全没有理论和应用上难以处理的异常和例外情况 .例如，不同于仿射的紧集，像线性变换和向量和这样的某些基本运算并不保持闭凸集的闭性不变 .这会使得某些优化问题的处理，包括优解的存在性和对偶性，变得复杂起来 .因此，有必要认真对待凸集的理论和应用的学习 .第 1章的目标是建立凸集学习的基础，特别是要强调与优化有关的问题 . 1.1凸集与凸函数本章将介绍凸集合与凸函数相关的基本概念，这些内容将贯穿本书所有的后续章节 .附录 A列举了本书将用到的线性代数和实分析的定义、符号和性质.首先我们给出凸集合的定义如下 (见图 1.1.1).定义 1.1.1 .n的子集 C被称为凸集，如果其满足 αx (1 . α)y ∈ C, . x, y ∈ C, . α ∈ 依惯例我们认为空集是凸的 .通常根据问题的背景，我们可容易地判定某特定凸集是否为非空 .然而多数情况下，我们会尽量说明集合是否为非空，从而降低模糊性 .命题 1.1.1给出了一些保持集合凸性不变的集合变换.命题 1.1.1 (a)任意多个凸集 {Ci | i ∈ I}的交集 ∩i∈I Ci是凸集. 图 1.1.1凸集的定义 .凸集中任意两点的连线线段都包含在集合内部，因此左图中的集合是凸集，而右图中的不是 . (b)任意两个凸集 C1与 C2的向量和 C1 C2是凸集. (c)对任意凸集 C和标量 λ，集合 λC是凸集 .另外，如 λ1, λ2为正标量，则以下集合是凸的， (λ1 λ2)C = λ1C λ2C. (d)凸集的闭包 (closure)与内点集 (interior)是凸集.  (e)凸集在仿射函数下的象和原象是凸集. 证明证明的思路是直接利用凸集的定义 .在 (a)中，我们在交集 ∩i∈I Ci中任取两点 x，y.由于每个 Ci都是凸集，x和 y间的线段被每个 Ci所包含,因而也属于它们的交集.类似地在 (b)中，任取 C1 C2中的两点，可以用 x1 x2和 y1 y2表示，其中 x1,y1 ∈ C1且 x2,y2 ∈ C2.对任意 α ∈ 有如下关系 α(x1 x2) (1 . α)(y1 y2)= (αx1 (1 . α)y1) (αx2 (1 . α)y2).由于 C1和 C2分别是凸集，上式右侧中两个小括号代表的向量分别属于 C1和 C2，而它们的向量和属于 C1 C2.因此根据定义 C1 C2是凸集.对 (c)的证明留给读者作为练习.对 (e)可用类似 (b)的方法来证明.为证明 (d)，考虑某凸集合 C，以及 C的闭包中任取的两点 x与 y.根据闭包的性质可得，在 C中存在序列 {xk}. C和 {yk}. C分别收敛到 x与 y，即 xk → x且 yk → y.对任意 α ∈ ，我们构造一收敛到 αx (1 . α)y的序列 {αxk (1 . α)ykd，由于 C是凸集，则该序列被包含在 C内.我们可得到 αx (1 . α)y属于 C的闭包，因此凸集 C的闭包也是凸集 .类似地，在 C的内点集中任取两点 x与 y并构造分别以 x，y为中心且半径 r足够小的开球，使得它们都被包含在 C内.对任意 α ∈ ，构造以 αx (1 . α)y为中心 r为半径的开球 .则该球内的任意点都可表示为 C中向量 x z和 y z的凸组合 α(x z) (1 . α)(y z)，其中 IzI 0都满足 λx ∈ C.通常锥体并不一定是凸集，也不一定包含原点，但任何非空锥体的闭包必然包含原点 (见图 1.1.2).多面体锥 (polyhedral cone)是可写作如下形式的集合 C = {x | a;jx《 0,j =1, ··· ,r},其中 a1, ··· ,ar为 n中的一组向量 .线性代数中介绍的子空间则是多面体锥的一种特例，同时多面体锥则是多面体的一种特例 . 1.1.1凸函数现在我们给出实值凸函数的定义 (见图 1.1.3).n定义 1.1.2令 C为 的凸集，则称函数 f : C →为凸函数 (convex 图 1.1.2凸锥体和非凸锥体 .图 (a)和 (b)中的锥体是凸集，而 (c)中的锥体由两条过原点的直线组成，是非凸的 .图 (a)中的锥体是多面体 .图 (b)中的锥体不包含原点 .图 1.1.3凸函数 f : C →贤的定义 .任意两个函数点的线性插值 αf(x) (1 . α)f(y)大于或等于实际的函数值 f(αx (1 . α)y叫，其中 α可在 中任意取值 . function)如果 f(αx (1 . α)y)《 αf(x) (1 . α)f(y), . x, y ∈ C, . α ∈ (1.1)注意在我们的定义中，定义域 C为凸集是函数 f : C →为凸函数的先决条件.因此当称某函数为凸函数时，通常默认其定义域为凸集 .现在我们介绍凸函数的几种拓展定义 .函数 f : C →被称为严格凸函数 (strictly convex)，如果其满足式 (1.1)且不等式处处被严格满足，即式 (1.1)对所有满足 x y的向量 x, y ∈ C及所有 α ∈ (0, 1)都取不等号 .= 函数 f : C →被称为凹的 (concave)如果 (.f)为凸函数，注意先决条件是 C为凸集.一个凸函数的典型例子是仿射函数 (a.ne function)，这类函数形如 f(x)= a;x b，其中 a ∈ n而 b ∈；其凸性可用凸函数的定义直接验证 .n另一个典型例子是范数函数 I·I.对任意 x, y ∈ 及 α ∈ ，通过三角形不等式我们可得到 Iαx (1 . α)yI《 IαxI I(1 . α)yI = αIxI (1 . α)IyI,因此 I·I是凸函数.令 f : C →为任一函数，而 γ为标量，则集合 {x ∈ C | f(x)《 γ}与集合 {x ∈ C | f(x) <γ}被称为 f的水平集 (level sets).如果 f是凸函数，则其水平集都为凸集 .为验证这一事实，我们观察到如果两点 x, y ∈ C满足 f(x)《 γ且 f(y)《 γ，由于 C是凸集，则任意 α ∈ 都使得 αx (1 . α)y ∈ C.由于 f又是凸函数，我们可推出 f(αx (1 . α)y)《 αf(x) (1 . α)f(y)《 γ,即函数的水平集 {x ∈ C | f(x)《 γ}是凸集 .类似地可证出如 f为凸函数，则其水平集 {x ∈ C | f(x) <γ}亦为凸集 .值得注意的是，由函数水平集是凸集并不能推出函数是凸函数；例如，函数 f(x)= J|x|的所有水平集为凸集，但 f并非凸函数.扩充实值凸函数为便捷起见，我们往往希望所考虑的凸函数定义在整个 n空间上 (而非仅仅定义在某一凸子集上 )并且处处取有限实值，因为从数学的角度讲这类函数更简单 .然而在很多优化问题和对偶问题的实际情况中，某些操作常使对象函数取到无限值，从而失去良好的性质 .例如下列函数 f(x) = sup fi(x),i∈I 其中 I为一个无限序数集合，即使 fi都是实函数， f仍可能在某些点取值 ∞；另一例子则为，实函数的共轭函数常常会在某些点取到无限值 (见 1.6节).此外，我们还会遇到一些凸函数 f仅仅定义在某凸子集上，却无法将其拓展为全空间上的实凸函数 .在这种情况下，相对于把 f局限在 C上，更方便的做法是把定义域拓展到整个 n空间并允许 f在某些点取值无限.基于上述原因，我们将引入扩充实值 (extended real-valued)函数的概念，即定义在全空间 n上且可在一些点上取值 .∞或 ∞的函数 .为了刻画这样的函数，我们先来介绍上图 (epigraph)的概念. n考虑定义域为某子集 X . 的函数 f : X → ，则其上图是 n 1的子集，定义如下 epi(f)= {(x, w) | x ∈ X, w ∈ ,f(x)《 wd.函数 f的有效定义域 (e.ective domain)则定义为如下集合 dom(f)= {x ∈ X | f(x) < ∞d (见图 1.1.4).我们易得出 dom(f)= {x |存在 w ∈使得(x, w) ∈ epi(f)d,n即 dom(f)为 epi(f)在 (自变量 x的空间 )上的投影 .如果把 f的定义域限制为其有效定义域，函数的上图不变 .类似地，如果扩展 f的定义域到 n并对任意 x/∈ X定义函数值为 f(x)= ∞，新函数的上图和有效定义域亦不变.图 1.1.4扩充实值的凸函数和非凸函数，及其分别的上图和有效定义域 .有两种特殊情况我们必须首先排除在外，即当 f处处为 ∞的情况 ，以及当函数在某些点取值 .∞的情况 .如果存在 x ∈ X使得 f(x) < ∞且对任意 x ∈ X满足 f(x) > .∞，我们称 f为真的 (proper)，反之我们则称函数 f为非真的 (improper).简而言之，函数 f为真当且仅当其上图为非空且不包含任何竖直直线.我们试图为扩充实值函数定义凸性，传统对实凸函数的定义方法会遇到这样的困难，若 f既能取值 .∞也能取值 ∞，则插值项 αf(x) (1 .α)f(y)变成了不可求和的 .∞ ∞ (该情况仅在 f非真时发生，但是这种函数却在证明和其他分析中常常出现，因此我们并不希望事先排除它们的存在 )，引入上图的概念恰可有效地回避这个难题，其引申出的凸函数定义如下 . n定义 1.1.3令 C为 的凸子集，则扩充实值函数 f : C → 为凸函数当 epi(f)是 n 1的凸子集.依定义 1.1.3我们容易证出，凸函数 f的有效定义域 dom(f)，水平集 {x ∈ C | f(x)《 γd和 {x ∈ C | f(x) <γd都是凸集，其中 γ可取任意标量值.更进一步，如果 f处处满足 f(x) < ∞或处处满足 f(x) > .∞，则 f(αx (1 . α)y)《 αf(x) (1 . α)f(y), . x, y ∈ C, .α ∈ , (1.2)因此针对扩充实值函数的定义 1.1.3和之前针对实凸函数的定义 1.1.2是一致的.我们已建立了扩充实值函数的凸性与其上图的凸性的等价关系，因而很多针对凸集的结论都可应用于凸函数 (如证明函数的凸性等 ).反向也是可行的，我们可以用分析凸函数的方法来分析集合的相关性质，如对集合 nnX . 可定义其示性函数 (indicator function)δ : → (.∞, ∞]为 / 0, x ∈ X,δ(x | X)= ∞,其他.具体道来，一集合为凸集当且仅当其示性函数为凸函数，而且集合非空当且仅当其示性函数为真.凸函数 f : C → (.∞, ∞]被称为严格凸函数 (strictly convex)，如果不等式 (1.2)对任意满足 x = y的 x, y ∈ dom(f)及任意 α ∈ (0, 1)都严格成立，即取不等号 .函数 f : C → 被称为凹函数当函数 (.f): C → 为凸函数，其中 C为凸子集.有时我们会遇到定义域 C非凸的函数，但是若限制定义域为 C的凸子集，得到的新函数是凸函数 .我们对这种特例给出如下的严格定义.定义 1.1.4令 C和 X为 n维欧氏空间 n的子集，其中 C为 X的非空凸子集，即 C . X.则称扩充实值函数 f : X → 为在 C上的凸函数 (convex over C)，如果把 f的定义域限制在 C后得到的新函数是凸的，也即，函数 f.: C → 是凸函数，其中对所有 x ∈ C函数值 f.定义为 f.(x)= f(x).当把扩充实值真凸函数的定义域替换为其有效定义域，原函数就变成了实凸函数 .这样一来，对新函数可直接应用针对实凸函数的结论和性质，同时也避免了涉及 ∞的运算 .因此，即使不引入扩充实值函数 ,我们依然可以推导出几乎所有凸函数的理论 .反之，我们也可以把扩充实值函数当作规范，在其框架下推演凸函数的理论， Rockafellar 使用的就是这种规范.后续章节中我们将采用更灵活的方式，根据具体背景决定考虑采用实值函数或是扩充实值函数，以方便分析具体的问题 . 1.1.2函数的闭性与半连续性如果某个函数 f : X → 的上图是闭集，我们称 f为闭函数 .闭性与经典的下半连续性的概念有关 .回顾一下，函数 f是在向量 x ∈ X处下半连续的，如果 f(x)《 lim inf f(xk)k→∞ 对于每个满足 xk → x的点列 {xk}. X成立 .我们称 f是下半连续的 (lower semicontinuous)，如果它在定义域 X的每一点 x处都是下半连续的.我们称 f是上半连续的 (upper semicountinous)，如果 .f是下半连续的.这些定义与针对实函数的相应定义是一致的 .以下命题将函数的闭性、下半连续性和函数水平集的闭性联系起来 .见图 1.1.5.图 1.1.5函数上图和它的水平集关系的示意图 .易见水平集 {x | f(x) . γ}经过平移后等同于 epi(f)和 “切片 ”{(x, γ) | x∈贤 n}的交集 .这表明 epi(f)为闭当且仅当所有的水平集为闭 .命题 1.1.2对于函数 f : n → ，以下各款等价： (i)水平集 Vγ = {x | f(x)《 γd对每个标量 γ均为闭.  (ii)函数 f为下半连续的.  (iii)集合 epi(f)为闭.  证明如果 f(x)= ∞对所有 x成立，那么结果是平凡的，显然成立 .n我们假定 f(x) < ∞对至少一个 x ∈ 成立 .这样 epi(f)就是非空的，且 f至少有一个非空的水平集.先来证明 (i)蕴含 (ii).假定水平集 Vγ对于每个标量 γ都是闭的.反设 f(x) > lim inf f(xk)k→∞ 对某个 x和收敛到 x的点列 {xk}成立，并且令 γ为满足 f(x) >γ> lim inf f(xk)k→∞ 的标量 .那么必存在子列 {xk}K使得 f(xk)《 γ对所有 k ∈K成立 .于是 {xk}K . Vγ成立 .由于 Vγ是闭的， x必然也属于 Vγ，于是 f(x)《 γ，从而导出矛盾.n下面证明 (ii)蕴含 (iii).假定 f在 上为下半连续，并令 (x, w)为点列 {(xk,wk)d . epi(f)的极限 .于是我们有 f(xk)《 wk，进而令 k →∞，由 f在 x处的下半连续性，我们得到 f(x)《 lim inf f(xk)《 wk→∞ 于是，(x, w) ∈ epi(f)，故 epi(f)为闭.后证明 (iii)蕴含 (i).假定 epi(f)为闭，且令 {xk}为点列，它收敛到某个 x且属于对应于某个标量 γ的水平集 Vγ .于是 (xk,γ) ∈ epi(f)对于所有的 k成立，并且 (xk,γ) → (x, γ)，因而由于 epi(f)为闭，我们有 (x, γ) ∈ epi(f).故 x属于 Vγ .这意味着这个集合是闭的.口在大部分推导中，我们倾向于采用闭性的概念，而较少用到下半连续性.其中的一个原因是，不同于闭性，下半连续性是一个与定义域有关的性质.例如，由 / 0,x ∈ (0, 1);f(x)= ∞, x/∈ (0, 1).定义的函数 f : → (.∞, ∞]既不是闭的也不是下半连续的；但如果把它的定义域限制到 (0, 1)上，就变成为下半连续 .另一方面，如果函数 f : X → 具有闭的有效定义域 dom(f)且在每个 x ∈ dom(f)处均为下半连续，那么 f必然是闭的 .我们把这个结论叙述为一个命题.其证明可以据命题 1.1.2证明 (ii)蕴含 (iii)的过程给出. 命题 1.1.3令 f : X → 为一函数 .如果它的有效定义域 dom(f)是闭的，且 f在每个 x ∈ dom(f)处均是下半连续的，那么函数 f是闭的.举例来说，集合 X的示性函数为闭当且仅当 X是闭的 (“当”的部分可以根据上述命题得出，而“仅当”的部分可以用上图的定义导出 ).更一般地，如果 fX是形如 / f(x),x ∈ X fX (x)= ∞,其他的函数，其中 f : n →为连续函数，那么可以证明 fX是闭的当且仅当 X是闭的.后需要指出非真的闭凸函数非常特殊：它不能在任何点上取有限值，因此它具有如下形式 / .∞,x ∈ dom(f),f(x)= ∞, x/∈ dom(f).n为明白其中的原因，让我们来考虑非真的闭凸函数 f : → ，并假定存在着某个 x使得 f(x)为有限 .令 x满足 f(x)= .∞ (这样的点必然存在，因为 f是非真的并且 f不恒等于 ∞).因为 f是凸的，可知每个点 k . 11 xk = x x, . k =1, 2, ···kk 都满足 f(xk)= .∞，同时有 xk → x.因为 f是闭的，这意味着 f(x)= .∞，从而导出矛盾.总之，非真的闭凸函数在任何点都不能取有限值 .  1.1.3凸函数的运算我们可以通过几种途径来验证函数的凸性 .像仿射函数 (a.ine func-tions)和范数 (模,norms)这样的一些常见函数是凸的 .多面体函数 (poly-hedral function)是一类重要的凸函数，根据定义是真凸函数，且其上图是多面体 (polyhedral set).从已知的凸函数出发，可以通过保持凸性的运算来生成其他凸函数.保持凸性的主要运算如下： (a)与线性变换做复合运算.  (b)与非负标量相加或相乘.

序言

本书的目标是给出以下两个主题的易懂、简洁和直观的展示 . (a)凸分析，特别是与优化的联系 . (b)优化与小大问题的对偶理论，特别是在凸性框架中的情形 .它们是在广泛的实际应用中相关的两个主题.优化的重点在于推导出约束问题存在原始和对偶优解的条件 .约束问题的例子是 minimize f(x) subject to x ∈ X, gj(x) . 0,j =1, ··· , r. 其他类型的优化问题，包括从 Fenchel对偶性产生的问题，也属于我们考虑的范围.小大问题的重点是推导保证等式 inf sup φ(x, z) = sup inf φ(x, z)x∈Xz∈Zz∈Zx∈X 成立，以及下确界 “inf”和上确界 “sup”可取到的条件.凸性的理论内容介绍得比较详细 .囊括了这个领域几乎所有重要的方面，对于凸优化中核心的分析问题的展开是足够了 .数学预备知识是线性代数和实分析的入门知识 .附录中包含了用到的有关知识的总结 .除了这些少量背景外，本书的内容是自足的，严格的证明会贯穿全书 .线性和非线性优化理论的先修知识不是必需的，尽管作为背景知识无疑它们是有帮助的 .我们的目标是尽量发挥凸性理论在以一种统一的方式建立强的对偶性方面的作用 .为此，我们的分析常会偏离 Rockafellar 1970年的经典著作的思路，而是遵从 Fenchel/Rockafellar的框架 .例如，我们采用不同的方式来处理闭集相交理论和线性变换下闭包的保持 (1.4.2和 1.4.3节)；我们用约束优化情形下的对偶性来发展次微分运算 (5.4.2节)；此外，我们没有凸优化理论使用下确界卷积 (in.mal convolution)、函数图像 (image)、极性集合和函数 (polar sets and functions)、双函数 (bifunctions)和共轭鞍点函数 (conjugate saddle functions)等概念 .类似于 Fenchel/Rockafellar，我们的理论体系是基于 Legendre/Fenchel共轭的思想，不过相比之下，在几何和可视化方面要来得直观得多.我们的对偶框架是基于两个简单的几何问题：小公共点问题 (min mon point problem)和大相交点问题 (max crossing point problem).小公共点 /大相交点 (MC/MC)框架的突出优点在于其几何上的直观性.借助这个框架，对偶性理论的核心问题都变得显然，并且可以采用统一的方法处理 .我们的方法是先在 MC/MC框架里得到许多广泛可用的定理，然后把它们用于解决特定问题 (约束优化、 Fenchel对偶性、小大问题等)上.我们处理所有对偶性问题 (对偶间隙的存在性、对偶优解的存在性、对偶优解集合的结构 )和其他问题 (次微分理论、择一定理、对偶间隙估计)都按照这样的思路.从根本上说， MC/MC框架与共轭性框架存在着密切的联系 .也正因为如此， MC/MC框架在理论上很有用也有一般性 .不过，这两个框架在分析对偶性和提供几何解释上扮演者互补的角色：共轭性强调函数 /代数描述，而 MC/MC强调集合 /上图描述 . MC/MC框架更简单，而且看起来更适合可视化和研究强对偶性和对偶优解的存在性问题 .共轭性框架，由于强调函数的描述，更适合凸函数的数学运算比较复杂，而且共轭函数的计算可以用于分析和计算.本书源自作者早期的著作 (与 A. Nedi′c和 A. Ozdaglar合著 )，但具有不同的特点 . 2003年的书内容很多，从结构上更像是学术专著，目标是利用非光滑分析的概念建立凸的和非凸的优化问题之间的联系 .本书的组织与此不同，本书集中于介绍凸优化问题 .尽管有这些区别，两本书在写作风格、数学基础和某些内容上还是有共同之处 .本书各章的内容如下:第 1章:本章给出后续各章描述对偶性理论所需要的全部凸分析工具 .会介绍基本的代数概念，如凸锥、超平面、拓扑概念，如相对内点、闭包、线性变换下闭性的保持，超平面分离 .另外，本章还会给出与对偶和优化相关的特定概念，如回收锥和共轭函数 .第 2章:本章介绍多面体凸性概念:顶点、 Farkas和 Minkowski-Weyl定理及其在线性规划中的应用 .在后续章节中不会用到，首次阅读时可以跳过 . 前言 XI第 3章:本章集中在优化的基本概念上：极小值的类型、解的存在性和对偶理论专题，如部分小化和小大理论 .第 4章:本章介绍 MC/MC对偶框架 .我们会讨论它和共轭理论之间的联系，及在约束优化和小大问题上的应用 .本章后给出与强对偶性和对偶优解存在性有关的应用广泛的定理.第 5章:本章把第 4章的对偶定理应用到线性规划、凸规划和小大理论等专题上 .我们还应用这些定理作为进一步发展凸分析工具的辅助 .这些工具包括强有力的 Farkas引理的非线性版本、次微分理论、择一定理 .后一节主要侧重于可分问题，给出非凸问题和对偶间隙的估计 .为了简洁起见，我们略去了教师们可能会感兴趣的一些话题 .例如把理论应用到特定结构的问题 ; Boyd和 Vanderbergue的著作 ，以及我和 John Tsitsiklis合著的关于并行与分布式计算的著作 包含了这方面的许多材料 (这两本书都可在线访问).另外一个忽略的重要部分是计算方法 .不过，我补充了一个很长的第 6章 (超过 100页)，其中有常见的凸优化算法 (和一些新算法)，并且可以从本书的网站下载 (.athenasc./convexduality.html).本章和更全面的凸分析、优化、对偶性以及算法等内容一起，将成为作者正在编著的教材的一部分 .到那时，本章将在对偶性之外，为教师们提供凸优化算法内容 (如作者在麻省理工学院所做的 ).本章是一个定期更新的 “活”的章节 .它的当前内容是 :算法方面的第 6章: 6.1.问题结构与计算方法; 6.2.算法中的递减性 ; 6.3.次梯度法 ; 6.4.多面体近似方法 ; 6.5.邻近性和 Bundle方法 ; 6.6.对偶邻近点算法 ; 6.7.内点法 ; 6.8.近似次梯度法 ; 6.9.优算法和复杂性.虽然作者没有在书中提供习题，但是在本书的网站上提供了大量的习题 (并附有详细的解答 ).读者 /教师也可以使用 中给出的章节后习题 (共 175道).这些习题的风格和符号与本书类似 .习题解答在本书的网站可以下载，也可以在线获取 (.athenasc./convexity.html).本书可以作为凸优化理论课程的教材，作者在过去十年在麻省理工学院和其他场所教授过类似课程 .本书也可以作为非线性规划课程的补充材料，或者作为凸优化模型 (而不是理论)方面课程的理论基础.本书的组织使得读者 /教师可以选择性地使用其中的内容 .例如，第 2章多面体凸性的材料完全可以略去，因为第 3～5章完全不涉及这部分内容.类似地，小大理论 (3.4，4.2.5和 5.5节)可以被略去；并且如果是XII凸优化理论这样，那么 3.3和 5.3.4节这些使用部分小化工具的内容也可以略去 .另外，5.4～5.7节处在 “末端 ”，都可以略去而不会影响其他章节 .如作者在麻省理工学院的“非线性规划”课程 (加上网站上补充的关于算法的第 6章)上所做的，一种 “小的”选项包含以下内容： .第 1章，除去 1.3.3和 1.4.1节.  .第 3.1节.  .第 4章，除去 4.2.5节.  .第 5章，除去 5.2，5.3.4和 5.5～5.7节.这种组合侧重于非线性凸优化，而完全不涉及多面体凸性和小大理论.作者感谢同事们对本书的贡献 .作者与 Angelia Nedi′c和 Asuman Ozdaglar在他们的 2003年的著作上的合作为本书打下了基础 . Huizhen (Janey) Yu仔细阅读了本书部分内容的早期书稿，并给出了一些很有启发的建议 . Paul Tseng通过与作者在集合相交理论方面的合作研究，对本书做出了实质性的贡献 .部分体现在 1.4.2节 (这项研究受到与 Angelia Nedi′c的早期合作的启发 ).非常感谢 Dimitris Bisias，Vivek Borkar，John Tsitsiklis，Mengdi Wang和 Yunjian Xu等学生和同事提供的反馈信息 .后，作者希望感谢课堂上的许多学生所不断提供的动力和灵感 .

凸优化理论：探索高效决策与最优解的奥秘 在现代科学、工程、经济以及人工智能等诸多领域，我们常常面临着在复杂约束条件下寻找最佳解决方案的挑战。从优化生产流程以降低成本，到设计高效的机器学习算法，再到制定最优的投资组合策略，寻找“最优解”的本质驱动着无数的创新与发展。而“凸优化”正是解答这些难题的强大理论框架。它提供了一套严谨的数学工具，用于分析和求解一类特殊的最优化问题——凸优化问题，这类问题具有一个极其诱人的性质：局部最优解即全局最优解。 这本书籍，《凸优化理论》，旨在深入浅出地剖析凸优化的核心概念、基本理论、关键算法以及其在不同领域的广泛应用。我们将从基础出发，循序渐进地构建起读者对凸优化的深刻理解，最终能够独立运用所学知识解决实际问题。 第一部分：凸集与凸函数——构建凸优化的基石 理解凸优化，首先需要掌握其最基本的两个概念：凸集与凸函数。 凸集：一个集合被称为凸集，如果连接集合中任意两点的线段上的所有点都仍在该集合内。这一性质看似简单，却蕴含着深刻的几何意义。我们将详细介绍各种重要的凸集类型，例如超平面、半空间、多面体、锥、球体以及它们的一些组合（如交集、和集）。我们会探讨凸集的刻画方法，例如通过指示函数、支撑函数以及它们的性质，为后续的优化分析奠定坚实基础。理解凸集的结构，能够帮助我们判断一个问题是否可能通过凸优化方法求解，并为设计算法提供方向。 凸函数：一个函数被称为凸函数，如果其图像上任意两点之间的弦都在函数的图像之上或与图像重合。这个定义是凸函数的核心，它保证了在局部最优处遇到的梯度信息能够可靠地指向全局最优。我们将深入研究凸函数的定义、判别条件（例如二阶导数条件），以及一些常见的凸函数，如仿射函数、二次函数、范数函数、指数函数、对数函数等。此外，我们还会探讨凸函数的运算，例如求和、逐点最大值、复合（在特定条件下）等如何保持凸性，以及如何通过对偶概念来理解凸函数及其性质。 第二部分：凸优化的基本理论——理解最优解的性质 一旦我们掌握了凸集和凸函数的概念，就可以开始深入研究凸优化问题的基本理论。 凸优化问题：本书将清晰地定义什么是凸优化问题，即在凸集上最小化一个凸函数。我们会讨论凸优化问题的标准形式，例如无约束凸优化问题、等式约束凸优化问题、不等式约束凸优化问题，以及更一般的约束凸优化问题。 最优性条件：对于一个给定的凸优化问题，如何判断一个点是否为其最优解？我们将详细介绍KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是约束优化问题最优性的一个必要条件，并且在凸优化问题中，它也是一个充分条件。我们将逐一解析KKT条件中的各个组成部分：梯度零点、可行性、互补松弛性以及拉格朗日乘子。理解KKT条件，是分析和验证优化算法收敛性的关键。 对偶理论：对偶理论是凸优化中最强大、最富有洞察力的工具之一。它能够从一个“对偶”的角度来审视原问题，从而获得关于原问题解的界和结构的信息。我们将引入拉格朗日函数、拉格朗日对偶函数以及拉格朗日对偶问题。我们会证明强对偶性定理（例如Slater条件下的强对偶性），并解释对偶间隙如何反映原问题和对偶问题的最优值之间的差异。对偶理论不仅有助于理解问题结构，也为许多高效算法（如对偶上升法）提供了理论基础。 第三部分：凸优化算法——求解最优解的实用方法 理论的建立是为了更好地解决实际问题。本书将详细介绍各种经典且高效的凸优化算法。 无约束优化算法： 梯度下降法 (Gradient Descent)：这是最基本也是最重要的迭代优化算法之一。我们将详细介绍其原理，包括步长选择（固定步长、线搜索、回溯线搜索）、收敛性分析（收敛速度），以及其变种，如批量梯度下降 (Batch Gradient Descent)、随机梯度下降 (Stochastic Gradient Descent, SGD) 和小批量梯度下降 (Mini-batch Gradient Descent)。 牛顿法 (Newton's Method)：相比于梯度下降，牛顿法利用了二阶导数信息，能够实现更快的收敛速度（二次收敛），尤其是在局部。我们将介绍牛顿法的迭代公式，探讨其优点与缺点（例如计算Hessian矩阵的成本），以及一些改进方法，如拟牛顿法 (Quasi-Newton Methods)（如BFGS算法），它通过近似Hessian矩阵来规避直接计算的困难。 其他无约束算法：我们还会简要介绍共轭梯度法等其他经典的无约束优化算法。 约束优化算法： 内点法 (Interior-Point Methods)：这是当前求解大规模凸优化问题最强大、最普遍的方法之一。我们将深入介绍内点法的基本思想，包括如何构造障碍函数（如对数障碍函数）来处理不等式约束，以及如何利用牛顿法在障碍函数的“内部”进行迭代。我们将解析中心路径法、短步长法等内点法的具体实现。 投影梯度法 (Projected Gradient Methods)：对于一些结构简单的约束（例如盒约束），投影梯度法是一种简单有效的选择。我们将介绍其迭代过程，即将梯度下降后的点投影回可行集。 增广拉格朗日法 (Augmented Lagrangian Methods)：这种方法结合了拉格朗日乘子法和二次惩罚项，能够有效处理等式和不等式约束。 分解方法 (Decomposition Methods)：对于一些大规模的分布式优化问题，分解方法（如ADMM - Alternating Direction Method of Multipliers）能够将原问题分解为若干个易于求解的子问题，然后通过迭代协调子问题的解。 第四部分：凸优化的应用领域——解决现实世界的挑战 理论与算法的最终目的是解决实际问题。本书将重点阐述凸优化在各个领域的广泛应用。 机器学习与深度学习：这是凸优化最活跃的应用领域之一。训练大量的机器学习模型（如支持向量机、逻辑回归）本质上就是求解一个凸优化问题。在深度学习中，虽然损失函数通常是非凸的，但理解其凸优化基础仍然至关重要，而且许多局部最优解也表现出很好的泛化能力。我们将介绍如何将一些机器学习模型转化为凸优化问题，以及如何利用梯度下降等算法进行训练。 信号处理与通信：在信号恢复、信道估计、压缩感知等问题中，凸优化扮演着核心角色。例如，压缩感知利用L1范数最小化来恢复稀疏信号，这是一个典型的凸优化问题。 控制理论：在现代控制系统中，例如模型预测控制 (MPC)，常常需要求解一系列的凸优化问题来生成最优控制序列。 金融工程：在投资组合优化、风险管理等领域，凸优化能够帮助投资者找到风险收益最优的配置方案。例如，均值-方差组合优化就是一个典型的凸优化问题。 运筹学与生产制造：在资源分配、生产调度、路径规划等问题中，凸优化也发挥着重要作用，帮助企业实现效率最大化和成本最小化。 统计学：在参数估计、模型选择等统计推断问题中，凸优化技术常常被用于寻找最优的估计量。 本书特色与阅读建议： 本书力求在理论的严谨性和应用的实用性之间取得平衡。我们不仅会提供详细的数学推导和证明，还会辅以丰富的例子和图示，帮助读者直观理解抽象的概念。对于算法部分，我们会剖析其实现细节和收敛性保证，并给出在实际应用中的一些技巧和注意事项。 阅读本书，建议读者具备一定的数学基础，包括微积分、线性代数以及基础的概率论知识。从第一部分的基础概念开始，循序渐进地深入到理论和算法，最终尝试将所学应用于实际问题。本书也提供了大量的参考文献，供读者进一步深入研究。 结语： 《凸优化理论》并非仅仅是一本关于数学的教材，它更是一把开启高效决策与最优解之门的钥匙。掌握凸优化的理论与方法，将极大地提升您解决复杂问题的能力，无论您是在学术研究、工程实践还是商业决策中，都将受益匪浅。我们期待本书能成为您探索最优世界的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

我一直相信，扎实的理论基础是解决一切复杂问题的关键。《凸优化理论》这个书名，让我看到了一个系统学习优化理论的绝佳机会。我希望这本书能够为我构建一个完整、清晰的理论体系。我特别关注的是书中对于凸集和凸函数的定义、性质以及相互关系的阐述。例如，我希望能够理解凸集的重要性质，如凸集的交集仍然是凸集，以及它们在优化问题中的作用。同时，对于凸函数，我希望能够深入理解其一阶和二阶条件，以及与全局最优解的关系。我非常期待书中能够详细介绍凸优化问题的标准形式，以及各种约束类型的处理方法。在求解方面，我希望能够全面了解各种凸优化算法的原理，包括它们是如何利用凸优化的性质来保证找到最优解的。我更希望这本书能提供一些关于如何将实际问题抽象成凸优化模型的方法论，这样我才能将所学的理论应用到更广泛的领域。这是一本让我期待已久的、能够提升我数学功底和解决问题能力的著作。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计虽然简洁，但“凸优化理论”这几个字本身就自带一种严谨和深邃的气质。我一直觉得，数学理论的学习就像是在攀登一座高峰，而凸优化理论无疑是其中一个重要的山峰。很多看似复杂的问题，一旦被纳入凸优化的框架，就能变得清晰起来。我尤其关注的是书中关于算法的部分。理论再美，终究要落实到实践。我希望书中能够详细介绍各种经典的凸优化算法，比如梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等等，并且分析它们的收敛性、计算复杂度以及适用范围。在实际应用中，我们常常需要根据问题的规模和特性选择最合适的算法。例如，对于大规模的优化问题，可能需要采用一些近似算法或者分布式算法。我期望这本书能够在这方面给予我指导，让我能够根据实际需求，灵活运用所学的算法。此外，对于一些实际应用中的难点，比如如何将非凸问题转化为凸问题，或者如何处理约束条件等，我也希望书中能有相关的讨论和方法。这本书的出现，让我觉得在求解复杂问题的道路上，又多了一个强大的工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字实在是太吸引人了，就是《凸优化理论》。我一直对数学中的优化问题很感兴趣，尤其是在工程和经济学领域，优化理论的应用简直无处不在。这本书的作者阵容也让我十分期待，特别是“博克斯”这个名字，总让人联想到一些经典的大师级著作，而赵千川和王梦迪老师的加入，更是增加了这本书的本土化和学术深度。我个人在学习过程中，常常会遇到各种复杂的优化模型，很多时候需要深入理解其理论基础才能有效地解决实际问题。比如，在机器学习中，训练模型的本质就是求解一个目标函数的最小值，而这个目标函数往往具有非线性甚至是不凸的特性，这时如果能掌握了扎实的凸优化理论，就能更清晰地理解算法的原理，甚至指导我们设计更有效的优化策略。我希望这本书能为我提供一个系统、深入的框架，让我能够理解凸优化问题的基本概念、性质、以及求解方法。我特别想知道书中对于不同类型的凸优化问题，例如线性规划、二次规划、半定规划等等，是否有详尽的介绍和分析。同时，对于凸函数本身的一些关键性质，比如次梯度、对偶性等，我也希望能够有清晰的阐述，因为这些概念往往是理解更复杂理论的关键。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对前沿技术充满好奇的读者，我一直对人工智能和机器学习的底层数学原理感到着迷。而凸优化理论，正是这些领域不可或缺的基石。我常常听到“深度学习的优化”或者“支持向量机的求解”等术语，背后都离不开凸优化的思想。我特别希望这本书能够深入浅出地讲解凸优化理论在这些热门领域的具体应用。比如，在深度学习中，尽管训练过程中的损失函数往往是非凸的，但理解凸优化中的一些基本概念，例如局部最优解和全局最优解的区别，以及优化算法的收敛性，对于我们理解深度学习的训练过程和改进算法仍然至关重要。我希望能在这本书中找到关于如何理解和处理非凸优化问题的思路，即使它主要聚焦于凸优化。另外，像经济学中的资源分配问题、运筹学中的路径选择问题等，也都是凸优化理论的经典应用场景。我期待这本书能够提供一些鲜活的案例，帮助我将抽象的数学理论与实际应用联系起来，从而更深刻地理解凸优化理论的价值和意义。

评分☆☆☆☆☆

最近在研究一些图像处理的算法，很多时候会遇到需要最小化某种能量函数的情况，而这些能量函数往往涉及一些凸函数。这本书的名字《凸优化理论》一下子就抓住了我的眼球，我觉得它可能为我解答不少实际操作中的疑问。我一直觉得，学习数学理论，最怕的就是理论脱离实际，变成一本“只能看不能用”的书。我希望这本书能够非常务实，不仅有理论深度，更能提供一些实用的技巧和指导。比如，在实际应用中，我们常常需要对模型进行正则化，以防止过拟合，而很多正则化项本身就是凸函数，比如L1和L2正则化。如何将这些正则化项巧妙地融入到优化问题中，从而达到更好的模型效果，是我一直想深入了解的。此外，我还对一些关于凸集和凸函数性质的判定方法感兴趣。在实际操作中，能够快速准确地判断一个集合是否为凸集，一个函数是否为凸函数，对于选择合适的优化方法至关重要。这本书的出现，让我看到了解决这些实际问题的希望。