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编辑推荐

适读人群 ：大学二年级学生和教师
《抽象代数的问题和反例》可供高年级本科生学习抽象代数和教师教学时参考. 《抽象代数的问题和反例》比较系统和完整， 也可以看作是一本用来阅读的习题解答.

内容简介

《抽象代数的问题和反例》汇集了抽象代数中的大量问题和反例， 主要内容有群论、环论、域和伽罗瓦理论等. 《抽象代数的问题和反例》通过例子对抽象代数的基本概念进行了比较仔细的对比， 考虑了很多重要定理在不同条件下是否成立的问题， 给出了抽象代数中很多值得深入思考的问题.

目录

前言
符号表
第1章群论1
1.1群的定义1
1.1.1二元运算1
1.1.2群的定义1
1.1.3群的性质-5
1.1.4元素的阶7
1.2子群12
1.2.1子群的定义12
1.2.2子群的性质15
1.2.3中心化子16
1.2.4由集合生成的子群16
1.2.5子群的乘积21
1.2.6子群的进一步思考23
1.3置换群24
1.3.1置换群的定义24
1.3.2置换的性质26
1.4陪集29
1.4.1陪集的定义29
1.4.2陪集的性质29
1.4.3Lagrange定理31
1.4.4Lagrange定理的应用一32
1.5正规子群35
1.5.1正规子群的定义35
1.5.2商群的定义38
1.5.3正规子群的性质40
1.5.4换位子群42
1.6交错群-45
1.6.1交错群的性质45
1.6.2单群的定义和例子46
1.7群的同态47
1.7.1群同态的基本概念47
1.7.2群同态的性质48
1.7.3同态和同构的定理52
1.7.4变换群的定义53
1.7.5Cayley定理--54
1.8群的直积54
1.8.1群的内直积54
1.8.2群的外直积55
1.9有限生成的交换群的结构56
1.10拓扑群57
1.10.1拓扑的定义57
1.10.2拓扑群的定义58
1.10.3拓扑群的性质58
第2章环和域62
2.1基本概念62
2.1.1环的定义62
2.1.2环的性质68
2.1.3零因子和整环70
2.1.4可除环73
2.1.5子环74
2.1.6子环RH75
2.2理想和商环76
2.2.1理想的定义76
2.2.2理想与子环的关系78
2.2.3商环79
2.2.4单环80
2.2.5理想的性质81
2.2.6主理想85
2.3环的同态87
2.3.1环同态的定义和性质87
2.3.2环的同态和同构定理90
2.4域92
2.4.1域的定义92
2.4.2域中的理想94
2.4.3域的同态95
2.4.4分式域95
2.4.5极大理想96
2.4.6环和域的特征98
2.4.7素理想101
2.4.8准素理想104
第3章环上的多项式106
3.1多项式106
3.1.1多项式的定义106
3.1.2多项式的运算106
3.1.3多项式的性质107
3.2带余除法109
3.2.1带余除法109
3.2.2整除的性质110
3.2.3余数定理110
3.2.4域上多项式环的任何理想都是主理想111
3.3因式分解115
3.3.1整除、相伴、素元和不可约元115
3.3.2唯一因子分解环116
3.3.3多项式的重因式122
3.4本原多项式123
3.5唯一因子分解环上的多项式124
3.6非交换环上的多项式124
第4章向量空间与模128
4.1向量空间128
4.1.1向量空间的定义128
4.1.2向量空间的性质128
4.1.3问量空间的子空间129
4.1.4线性无关和基132
4.1.5线性映射134
4.2内积空间134
4.2.1内积的定义134
4.2.2正交和正交基135
4.3模135
4.3.1模的定义135
4.3.2模的性质136
第5章Sylow定理和可解群140
5.1群作用140
5.1.1群作用的定义140
5.1.2群作用的轨道和稳定子群141
5.1.3轨道的性质141
5.1.4有限群的类方程142
5.1.5p群的定义144
5.2Svlow定理148
5.2.1p-Sylow子群的定义148
5.2.2Sylow定理149
5.2.3Sylow定理的应用151
5.3可解群161
5.3.1合成群列的定义161
5.3.2合成群列的性质163
5.3.3可解群的定义163
5.3.4可解群的性质165
第6章域的扩张170
6.1子域和扩域170
6.1.1子域和扩域170
6.1.2域的素子域和特征170
6.1.3集合S在F上生成的子域171
6.1.4单扩域171
6.1.5域扩张的次数172
6.1.6域扩张的次数公式173
6.2代数扩张～176
6.2.1代数元和超越元176
6.2.2极小多项式179
6.2.3极小多项式的性质179
6.2.4域的代数扩张181
6.2.5代数扩张的传递性183
6.2.6代数闭域183
6.3Galois域和分裂域187
6.3.1Galois域的定义187
6.3.2Galois域的元素个数187
6.3.3多项式的分裂域的定义188
6.3.4多项式的分裂域的存在性和唯一性188
6.3.5Galois域是其素子域的单扩域190
6.3.6正规扩域190
6.4方程的根式解191
6.4.1Galois群191
6.4.2Galois群的性质192
6.4.3Galois群的阶192
6.4.4礼次多项式的Galois群193
参考文献196
索引197

精彩书摘

第1章群论
群只有一种代数运算，因此比较容易深入讨论．群的左右单位元和逆元的相关问题应该仔细讨论，元素的阶对揭示群的结构起着重要的作用，通过群的阶可以给出群的一些重要性质，但一般来说，两个不同元素的阶无法决定它们的乘积的阶，元素的阶是研究群的一个重要工具．子群继承了群的一些重要性质，通过子群可以了解群的很多性质，但群与子群的关系是复杂而密切的．正规子群是一个重要的概念，具有很好的性质．对称群是一类性质比较清楚的群，它给群提供了很多重要而简明的反例．群的同态和同构让不同的群可以比较，使得群的分类简单明了。
1.1群的定义
1.1.1二元运算
问题1.1.1二元运算是什么？
从SxS到S的一个映射，称为S上的一个二元运算
问题1.1.2SxS上的映射，都是S上的一个二元运算吗？
不一定。设S一{(a1，n2，a3)a1，n2，a。都是实数）是3维欧氏空间，则内积不再是向量，因此内积不是二元运算。
1.1.2群的定义
问题1.1.3什么是群？
设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算，满足
(1)结合律：对任何n扣，c∈G，有，则称G是一个半群(sem1group)，记作(G)若(G)还满足。
(2)存在单位元，使对任何有
(3)对任何有0.1∈G，使得，则称(G)是一个群(group)。
如果半群中也有单位元，则称为幺半群(mono1d)。
如果群适合交换律：对任何以，则称G为交换群或Abel群。
群中的乘法运算一般简记为ab。
问题1.1.4什么是群的可逆元？
如果ab=ba=e，那么就称血为一个可逆元(1nvert1bleelement)，并称b为n的逆元。可逆元的逆元通常记作
问题1.1.5从SxS到S的二元运算都满足结合律吗？
不一定。取S为实数全体所构成的集合，将映射。
定义为
则二元运算，不满足结合律．
问题1.1.6若SxS到S的二元运算满足交换律，则它一定满足结合律吗？
不一定。设R为实数，在RxR上，定义
则运算。满足交换律，但它不满足结合律。
问题1.1.7幺半群一定是群吗？
不一定。整数集Z对于乘法是一个幺半群，但它不是群。
问题1.1.8什么是左单位元和右单位元？
设G是一个半群，若存在使对任何有，则称为G的左单位元。
设G是一个半群，若存在，使对任何有，则称为G的右单位元。
问题1.1.9半群G的左单位元一定是半群G的右单位元吗？若半群G有左单位元和右单位元，则它们一定相等吗？
左单位元不一定是半群G的右单位元，若半群G有左单位元和右单位元，则它们也不一定相等。
设，定义则G是一个半群，并且n是G的左单位元，但ba≠b，因此n不是G的右单位元．明显地，是G的右单位元。
问题1.1.10什么是左逆元和右逆元？
设G是一个有单位元的半群，若，满足，则称为n的右逆元为的左逆元。
问题1.1.11若G是一个有单位元的半群，则G的左逆元一定是右逆元吗？
不一定。设G是所有正整数Z+到Z+的映射，则在复合作为乘法的运算下，G是一个半群，并且单位元e为恒等映射，令为定义Z+到Z+的映射为：当n为偶数时，当为奇数时，（1，则容易验证：但不等于，因此，n的左逆元不是它的右逆元。
问题1.1.12若G是一个有单位元的半群，若acG的左逆元6和右逆元c都存在，则n的逆元一定存在吗？
是的。若n∈G的左逆元和右逆元c都存在，则因此，并且故所以，o的逆元为6。
问题1.1.13若G是一个有单位元的半群，则有右逆元和左逆元c，则a-定是可逆元吗？
是的。由于，所以故，从而因此n是可逆元。
问题1.1.14若半群G有左单位元e，并且任意n∈G，存在6∈G，使得，则G-定是群吗？
不一定。设，定义，则G是半群，e是左单位元，并且，但没有左逆元，否则的话，由，可得，矛盾。所以，G不是群。
问题1.1.15若半群G有右单位元e，并且任意o∈G，存在6∈G，使得ab=e，则G-定是群吗？
是的。存在e∈G，使得对任意o∈G，有．对于o∈G，有，使得．对，存在c∈G，使得，因此故．另外，因此，e是G的单位元，并且6是o的逆元，所以，G是群。
问题1.1.16若半群G有右单位元，并且任意n∈G，存在，使得，则G-定是群吗？
不一定。设，e≠n，定义则G是半群，e是右单位元，但n没有右逆元，否则的话，由可得矛盾．所以，G不是群。
问题1.1.17若半群G有左单位元e，并且任意o∈G，存在6∈G，使得ba=e，则G-定是群吗？
是的．证明与前面问题类似。
容易知道，若e是群G的单位元，则
问题1.1.18设G是群，满足则定是单位元吗？
是的。由于，故，所以，
问题1.1.19设G是半群，若对于任意o，b∈G，都存在x，可∈G，使可，则G定是群吗？
不一定。设G={e，o），e≠o，定义则G是半群，存在n，e，使得，并且，但n没有逆元，否则的话，由可得，矛盾．所以，G不是群。
问题1.1.20设G是半群，若对于任意n，beG，方程xa=b，ay=b都有解，则G-定是群吗？
是的．取定则由有解可知存在，使得．对于任意，由有解可知存在，使得，故对任意成立，因此为的右单位元．
类似地，由xa=血有解可知存在，使得．对于任意，由有解可知存在使得故对任意成立，因此力G的左单位元，从而，由可知为G的单位元，不妨记
对于任意acG，由方程都有解，可得可，因此，z=可，从而z是n的逆元，所以，G是群．
明显地，在交换群中，对于是一定成立的。
问题1.1.21设G是群，则一定成立吗？
不一定。在非交换群S3中，设，则，故并且，因此，
问题1.1.22存在l，2，3阶的非循环交换群吗？
不存在。设K4=则K4是克莱因四元群(Kleinfour-group)，K4是阶最小的非循环交换群．
1.1.3群的性质
问题1.1.23群中的消去律成立吗？
成立。设群G中的元素n，b，c满足或，则．
问题1.1.24若G是一个半群，并且在G中消去律成立，则G定是群吗？
不一定。设G为所有非零整数，则G在整数的乘法下是一个半群，并且在G中消去律成立，但G的元素不一定有逆元，因此G不是群。
问题1.1.25若G是一个有单位元的有限半群，并且在G中消去律成立，则G-定是群吗？
是的。对于任意o∈G，由于G是有限的，故一定存在正整数m>n>0，使得，故由”可得因而，所以，G是群．
问题1.1.26群中的元素的乘积的逆是什么？
设n，6是群G中的两个元素，则
明显地，若G是交换群，则对任意，都有。
问题1.1.27若群G中的任意两个元素，都有，则G-定是交换群吗？
是的。对任意n，6∈G，都有，另外，由可知ab=阮对任意o，beG都成立，因此，G一定是交换群。
明显地，若G是交换群，则对任意都有，反过来呢？
问题1.1.28若群G中的任意两个元素都有，则G-定是交换群吗？
是的。由于，并且，故所以，对任意n，b∈G成立，所以，G是交换群。
问题1.1.29若群G中的任意两个元素o，b∈G，都有(ab)3=a3b3和(ab)5=a5b5，则G-定是交换群吗？
是的。由可知ababab=aaabbb.故baba=aabb.类似地，由知道ababababab=aaaaabbbbb，故，因此，因而，再根据可知a，所以，对于任意，都有ba=ab。
问题1.1.30若群G中的任意两个元素n，bcG，都有(ab)3=a3b3，则G-定是交换群吗？
不一定．设G为所有满足当时，有的3x3矩阵，则容易验证，对于任意，有是单位矩阵，因此，对于任意，都有，但G不是交换群。
问题1.1.31设G是群，若任意非单位元，的阶都是，则G-定是交换群吗？
是的．由于，故对于任意n∈G都成立．因此对于任意，有，所以，G是交换群。
问题1.1.32设G是群，若任意非单位元，n的阶都是3，则G-定是交换群吗？
不一定．设z，可，z∈23，则所有形如的矩阵在矩阵乘法下构成一个27阶的群G，并且对于任意aeG，n的阶都是3，但对于故bc≠cb，所以，G不是交换群，
问题1.1.33元素个数最少的非交换群是什么？
容易验证，1，2，3，4，5阶群都一定是交换群，对称群S3是6阶的非交换群，因此阶最小的非交换群的阶是
问题1.1.34设G是群。若，则定成立吗？
不一定．在克莱因四元群K4={e，a，b，ab）中，但
问题1.1.35设G是群，a-定有平方根吗？即一定存在，使得吗？

前言/序言

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