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編輯推薦

適讀人群 ：大學二年級學生和教師
《抽象代數的問題和反例》可供高年級本科生學習抽象代數和教師教學時參考. 《抽象代數的問題和反例》比較係統和完整， 也可以看作是一本用來閱讀的習題解答.

內容簡介

《抽象代數的問題和反例》匯集瞭抽象代數中的大量問題和反例， 主要內容有群論、環論、域和伽羅瓦理論等. 《抽象代數的問題和反例》通過例子對抽象代數的基本概念進行瞭比較仔細的對比， 考慮瞭很多重要定理在不同條件下是否成立的問題， 給齣瞭抽象代數中很多值得深入思考的問題.

目錄

前言
符號錶
第1章群論1
1.1群的定義1
1.1.1二元運算1
1.1.2群的定義1
1.1.3群的性質-5
1.1.4元素的階7
1.2子群12
1.2.1子群的定義12
1.2.2子群的性質15
1.2.3中心化子16
1.2.4由集閤生成的子群16
1.2.5子群的乘積21
1.2.6子群的進一步思考23
1.3置換群24
1.3.1置換群的定義24
1.3.2置換的性質26
1.4陪集29
1.4.1陪集的定義29
1.4.2陪集的性質29
1.4.3Lagrange定理31
1.4.4Lagrange定理的應用一32
1.5正規子群35
1.5.1正規子群的定義35
1.5.2商群的定義38
1.5.3正規子群的性質40
1.5.4換位子群42
1.6交錯群-45
1.6.1交錯群的性質45
1.6.2單群的定義和例子46
1.7群的同態47
1.7.1群同態的基本概念47
1.7.2群同態的性質48
1.7.3同態和同構的定理52
1.7.4變換群的定義53
1.7.5Cayley定理--54
1.8群的直積54
1.8.1群的內直積54
1.8.2群的外直積55
1.9有限生成的交換群的結構56
1.10拓撲群57
1.10.1拓撲的定義57
1.10.2拓撲群的定義58
1.10.3拓撲群的性質58
第2章環和域62
2.1基本概念62
2.1.1環的定義62
2.1.2環的性質68
2.1.3零因子和整環70
2.1.4可除環73
2.1.5子環74
2.1.6子環RH75
2.2理想和商環76
2.2.1理想的定義76
2.2.2理想與子環的關係78
2.2.3商環79
2.2.4單環80
2.2.5理想的性質81
2.2.6主理想85
2.3環的同態87
2.3.1環同態的定義和性質87
2.3.2環的同態和同構定理90
2.4域92
2.4.1域的定義92
2.4.2域中的理想94
2.4.3域的同態95
2.4.4分式域95
2.4.5極大理想96
2.4.6環和域的特徵98
2.4.7素理想101
2.4.8準素理想104
第3章環上的多項式106
3.1多項式106
3.1.1多項式的定義106
3.1.2多項式的運算106
3.1.3多項式的性質107
3.2帶餘除法109
3.2.1帶餘除法109
3.2.2整除的性質110
3.2.3餘數定理110
3.2.4域上多項式環的任何理想都是主理想111
3.3因式分解115
3.3.1整除、相伴、素元和不可約元115
3.3.2唯一因子分解環116
3.3.3多項式的重因式122
3.4本原多項式123
3.5唯一因子分解環上的多項式124
3.6非交換環上的多項式124
第4章嚮量空間與模128
4.1嚮量空間128
4.1.1嚮量空間的定義128
4.1.2嚮量空間的性質128
4.1.3問量空間的子空間129
4.1.4綫性無關和基132
4.1.5綫性映射134
4.2內積空間134
4.2.1內積的定義134
4.2.2正交和正交基135
4.3模135
4.3.1模的定義135
4.3.2模的性質136
第5章Sylow定理和可解群140
5.1群作用140
5.1.1群作用的定義140
5.1.2群作用的軌道和穩定子群141
5.1.3軌道的性質141
5.1.4有限群的類方程142
5.1.5p群的定義144
5.2Svlow定理148
5.2.1p-Sylow子群的定義148
5.2.2Sylow定理149
5.2.3Sylow定理的應用151
5.3可解群161
5.3.1閤成群列的定義161
5.3.2閤成群列的性質163
5.3.3可解群的定義163
5.3.4可解群的性質165
第6章域的擴張170
6.1子域和擴域170
6.1.1子域和擴域170
6.1.2域的素子域和特徵170
6.1.3集閤S在F上生成的子域171
6.1.4單擴域171
6.1.5域擴張的次數172
6.1.6域擴張的次數公式173
6.2代數擴張～176
6.2.1代數元和超越元176
6.2.2極小多項式179
6.2.3極小多項式的性質179
6.2.4域的代數擴張181
6.2.5代數擴張的傳遞性183
6.2.6代數閉域183
6.3Galois域和分裂域187
6.3.1Galois域的定義187
6.3.2Galois域的元素個數187
6.3.3多項式的分裂域的定義188
6.3.4多項式的分裂域的存在性和唯一性188
6.3.5Galois域是其素子域的單擴域190
6.3.6正規擴域190
6.4方程的根式解191
6.4.1Galois群191
6.4.2Galois群的性質192
6.4.3Galois群的階192
6.4.4禮次多項式的Galois群193
參考文獻196
索引197

精彩書摘

第1章群論
群隻有一種代數運算，因此比較容易深入討論．群的左右單位元和逆元的相關問題應該仔細討論，元素的階對揭示群的結構起著重要的作用，通過群的階可以給齣群的一些重要性質，但一般來說，兩個不同元素的階無法決定它們的乘積的階，元素的階是研究群的一個重要工具．子群繼承瞭群的一些重要性質，通過子群可以瞭解群的很多性質，但群與子群的關係是復雜而密切的．正規子群是一個重要的概念，具有很好的性質．對稱群是一類性質比較清楚的群，它給群提供瞭很多重要而簡明的反例．群的同態和同構讓不同的群可以比較，使得群的分類簡單明瞭。
1.1群的定義
1.1.1二元運算
問題1.1.1二元運算是什麼？
從SxS到S的一個映射，稱為S上的一個二元運算
問題1.1.2SxS上的映射，都是S上的一個二元運算嗎？
不一定。設S一{(a1，n2，a3)a1，n2，a。都是實數）是3維歐氏空間，則內積不再是嚮量，因此內積不是二元運算。
1.1.2群的定義
問題1.1.3什麼是群？
設G是一個非空集閤，若在G上定義一個二元運算，滿足
(1)結閤律：對任何n扣，c∈G，有，則稱G是一個半群(sem1group)，記作(G)若(G)還滿足。
(2)存在單位元，使對任何有
(3)對任何有0.1∈G，使得，則稱(G)是一個群(group)。
如果半群中也有單位元，則稱為幺半群(mono1d)。
如果群適閤交換律：對任何以，則稱G為交換群或Abel群。
群中的乘法運算一般簡記為ab。
問題1.1.4什麼是群的可逆元？
如果ab=ba=e，那麼就稱血為一個可逆元(1nvert1bleelement)，並稱b為n的逆元。可逆元的逆元通常記作
問題1.1.5從SxS到S的二元運算都滿足結閤律嗎？
不一定。取S為實數全體所構成的集閤，將映射。
定義為
則二元運算，不滿足結閤律．
問題1.1.6若SxS到S的二元運算滿足交換律，則它一定滿足結閤律嗎？
不一定。設R為實數，在RxR上，定義
則運算。滿足交換律，但它不滿足結閤律。
問題1.1.7幺半群一定是群嗎？
不一定。整數集Z對於乘法是一個幺半群，但它不是群。
問題1.1.8什麼是左單位元和右單位元？
設G是一個半群，若存在使對任何有，則稱為G的左單位元。
設G是一個半群，若存在，使對任何有，則稱為G的右單位元。
問題1.1.9半群G的左單位元一定是半群G的右單位元嗎？若半群G有左單位元和右單位元，則它們一定相等嗎？
左單位元不一定是半群G的右單位元，若半群G有左單位元和右單位元，則它們也不一定相等。
設，定義則G是一個半群，並且n是G的左單位元，但ba≠b，因此n不是G的右單位元．明顯地，是G的右單位元。
問題1.1.10什麼是左逆元和右逆元？
設G是一個有單位元的半群，若，滿足，則稱為n的右逆元為的左逆元。
問題1.1.11若G是一個有單位元的半群，則G的左逆元一定是右逆元嗎？
不一定。設G是所有正整數Z+到Z+的映射，則在復閤作為乘法的運算下，G是一個半群，並且單位元e為恒等映射，令為定義Z+到Z+的映射為：當n為偶數時，當為奇數時，（1，則容易驗證：但不等於，因此，n的左逆元不是它的右逆元。
問題1.1.12若G是一個有單位元的半群，若acG的左逆元6和右逆元c都存在，則n的逆元一定存在嗎？
是的。若n∈G的左逆元和右逆元c都存在，則因此，並且故所以，o的逆元為6。
問題1.1.13若G是一個有單位元的半群，則有右逆元和左逆元c，則a-定是可逆元嗎？
是的。由於，所以故，從而因此n是可逆元。
問題1.1.14若半群G有左單位元e，並且任意n∈G，存在6∈G，使得，則G-定是群嗎？
不一定。設，定義，則G是半群，e是左單位元，並且，但沒有左逆元，否則的話，由，可得，矛盾。所以，G不是群。
問題1.1.15若半群G有右單位元e，並且任意o∈G，存在6∈G，使得ab=e，則G-定是群嗎？
是的。存在e∈G，使得對任意o∈G，有．對於o∈G，有，使得．對，存在c∈G，使得，因此故．另外，因此，e是G的單位元，並且6是o的逆元，所以，G是群。
問題1.1.16若半群G有右單位元，並且任意n∈G，存在，使得，則G-定是群嗎？
不一定。設，e≠n，定義則G是半群，e是右單位元，但n沒有右逆元，否則的話，由可得矛盾．所以，G不是群。
問題1.1.17若半群G有左單位元e，並且任意o∈G，存在6∈G，使得ba=e，則G-定是群嗎？
是的．證明與前麵問題類似。
容易知道，若e是群G的單位元，則
問題1.1.18設G是群，滿足則定是單位元嗎？
是的。由於，故，所以，
問題1.1.19設G是半群，若對於任意o，b∈G，都存在x，可∈G，使可，則G定是群嗎？
不一定。設G={e，o），e≠o，定義則G是半群，存在n，e，使得，並且，但n沒有逆元，否則的話，由可得，矛盾．所以，G不是群。
問題1.1.20設G是半群，若對於任意n，beG，方程xa=b，ay=b都有解，則G-定是群嗎？
是的．取定則由有解可知存在，使得．對於任意，由有解可知存在，使得，故對任意成立，因此為的右單位元．
類似地，由xa=血有解可知存在，使得．對於任意，由有解可知存在使得故對任意成立，因此力G的左單位元，從而，由可知為G的單位元，不妨記
對於任意acG，由方程都有解，可得可，因此，z=可，從而z是n的逆元，所以，G是群．
明顯地，在交換群中，對於是一定成立的。
問題1.1.21設G是群，則一定成立嗎？
不一定。在非交換群S3中，設，則，故並且，因此，
問題1.1.22存在l，2，3階的非循環交換群嗎？
不存在。設K4=則K4是剋萊因四元群(Kleinfour-group)，K4是階最小的非循環交換群．
1.1.3群的性質
問題1.1.23群中的消去律成立嗎？
成立。設群G中的元素n，b，c滿足或，則．
問題1.1.24若G是一個半群，並且在G中消去律成立，則G定是群嗎？
不一定。設G為所有非零整數，則G在整數的乘法下是一個半群，並且在G中消去律成立，但G的元素不一定有逆元，因此G不是群。
問題1.1.25若G是一個有單位元的有限半群，並且在G中消去律成立，則G-定是群嗎？
是的。對於任意o∈G，由於G是有限的，故一定存在正整數m>n>0，使得，故由”可得因而，所以，G是群．
問題1.1.26群中的元素的乘積的逆是什麼？
設n，6是群G中的兩個元素，則
明顯地，若G是交換群，則對任意，都有。
問題1.1.27若群G中的任意兩個元素，都有，則G-定是交換群嗎？
是的。對任意n，6∈G，都有，另外，由可知ab=阮對任意o，beG都成立，因此，G一定是交換群。
明顯地，若G是交換群，則對任意都有，反過來呢？
問題1.1.28若群G中的任意兩個元素都有，則G-定是交換群嗎？
是的。由於，並且，故所以，對任意n，b∈G成立，所以，G是交換群。
問題1.1.29若群G中的任意兩個元素o，b∈G，都有(ab)3=a3b3和(ab)5=a5b5，則G-定是交換群嗎？
是的。由可知ababab=aaabbb.故baba=aabb.類似地，由知道ababababab=aaaaabbbbb，故，因此，因而，再根據可知a，所以，對於任意，都有ba=ab。
問題1.1.30若群G中的任意兩個元素n，bcG，都有(ab)3=a3b3，則G-定是交換群嗎？
不一定．設G為所有滿足當時，有的3x3矩陣，則容易驗證，對於任意，有是單位矩陣，因此，對於任意，都有，但G不是交換群。
問題1.1.31設G是群，若任意非單位元，的階都是，則G-定是交換群嗎？
是的．由於，故對於任意n∈G都成立．因此對於任意，有，所以，G是交換群。
問題1.1.32設G是群，若任意非單位元，n的階都是3，則G-定是交換群嗎？
不一定．設z，可，z∈23，則所有形如的矩陣在矩陣乘法下構成一個27階的群G，並且對於任意aeG，n的階都是3，但對於故bc≠cb，所以，G不是交換群，
問題1.1.33元素個數最少的非交換群是什麼？
容易驗證，1，2，3，4，5階群都一定是交換群，對稱群S3是6階的非交換群，因此階最小的非交換群的階是
問題1.1.34設G是群。若，則定成立嗎？
不一定．在剋萊因四元群K4={e，a，b，ab）中，但
問題1.1.35設G是群，a-定有平方根嗎？即一定存在，使得嗎？

前言/序言

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代數學-1

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4，二重極限可叫喚的條件、函數族的極限函數的連續性、冪級數的和函數的連續性、Dini定理、函數族極限函數的可積性、函數族的極限函數的可微性、冪級數的和函數的可微性、Cesaro和、Tauber定理。

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數學分析(A)-4

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不錯

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