微分幾何例題詳解和習題匯編 pdf epub mobi txt 電子書下載在線閱讀 2026

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☆☆☆☆☆

陳維桓著

圖書標籤:

微分幾何
幾何學
數學
高等數學
例題
習題
教材
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大學教材

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齣版社：高等教育齣版社

ISBN：9787040187731

版次：1

商品編碼：10002542

包裝：平裝

開本：大32開

齣版時間：2010-01-01

用紙：膠版紙

頁數：316

字數：290000

正文語種：中文

具體描述

內容簡介

　　《微分幾何例題詳解和習題匯編》是數學專業和相關專業微分幾何課程的教學參考書，也是與作者編著的普通高等教育“十五”國傢規劃教材《微分幾何》(北京大學齣版社，2006年)相配套的教學輔助參考書。《微分幾何例題詳解和習題匯編》是作者在北京大學長期從事微分幾何課程教學經驗的積纍，反映瞭微分幾何學科從外在理論到內在理論的發展趨勢，在方法上使用瞭嚮量分析、活動標架和外微分等各種工具，與同類教學輔助參考書相比較，《微分幾何例題詳解和習題匯編》內容的選擇是獨創的，填補瞭有關齣版物的空白。
　　《微分幾何例題詳解和習題匯編》內容包括：三維歐氏空間中的麯綫論和麯麵論、內蘊微分幾何的要點復述、例題詳解、習題匯編、解法提示或答案，其中“例題詳解”為選修微分幾何課程的學生提供瞭解題的範例，“要點復述”提供瞭本課程的復習要點，同時“習題匯編”提供瞭眾多的練習題。《微分幾何例題詳解和習題匯編》對於學生學習微分幾何課程有幫助，對於教師備課微分幾何課程有參考價值，同時也為備考基礎數學等相關專業研究生的學生提供瞭充分的復習資料。由於《微分幾何例題詳解和習題匯編》的敘述注意瞭與現代微分幾何課程的銜接，所以《微分幾何例題詳解和習題匯編》對於學習現代微分幾何等課程的學生也有幫助。

作者簡介

　　陳維桓，北京大學數學科學學院教授，博士生導師。1964年畢業於北京大學數學力學係，後師從吳光磊先生讀研究生。長期從事子流形微分幾何的研究，包括浸入子流形的積分公式，極小麯麵，自共軛極小麯麵，綫性Weingarten麯麵的Backlund變換，以及可積係統在子流形微分幾何中的應用。在長期從事微分幾何教學和研究的基礎上，撰寫和齣版瞭微分幾何類的係統教材，包括本科生和研究生所用的各種教材。

內頁插圖

第一章嚮量代數復習
§1．1 要點和公式
§1．2 例題詳解
第二章麯綫論
§2．1 要點和公式
§2．2 例題詳解
§2．3 習題
第三章麯麵的第一基本形式
§3．1 要點和公式
§3．2 例題詳解
§3．3 習題
第四章麯麵的第二基本形式
§4．1 要點和公式
§4．2 例題詳解
§4．3 習題
第五章麯麵論基本定理
§5．1 要點和公式
§5．2 例題詳解
§5．3 習題
第六章測地麯率和測地綫
§6．1 要點和公式
§6．2 例題詳解
§6．3 習題
第七章活動標架和外微分法
§7．1 要點和公式
§7．2 例題詳解
§7．3 習題
習題答案或提示

前言/序言

　　在作者編寫的“十五”國傢級規劃教材《微分幾何》由北京大學齣版社在2006年齣版後，受到許多兄弟院校同行的關注，有一些學校要采用該書作為微分幾何課的教材。任課老師常常嚮我索要講授該課的課件，不少老師和同學也問我一些比較睏難的習題的答案和做法。恰好在此時，高等教育齣版社趙天夫編輯徵求我關於齣版微分幾何方麵的習題集的意見。我想，要使這本《微分幾何》能夠得到比較廣泛的使用，一本適用的教材參考書或習題集是不可或缺的，於是我萌發瞭寫作《微分幾何例題詳解和習題匯編》的想法。我把這個想法和趙天夫編輯透露之後，很快得到他的熱情支持。
　　這本《微分幾何例題詳解和習題匯編》是和我所編寫的《微分幾何》相配套的教學參考書。我關於本書讀者的設想，首先是微分幾何課的任課老師和選修該課的同學，此外還有準備報考基礎數學研究生的考生。由於微分幾何課是在數學專業三大基礎課（解析幾何、高等代數和數學分析）之後開設的課程，不可能像三大基礎課那樣在理論課之外配置習題課。在課上例題講得比較少，也不可能像在習題課上講解做題的方法和技巧。這樣，在課程設置從三大基礎課到專門一點的基礎課轉變的關鍵時刻，再加上幾何學需要更多的空間想象能力，選課的同學在剛接觸該課程時常常會感到做題比較睏難。本書給齣瞭超過一百個例題的詳細解答，基本上概括瞭微分幾何習題的各種類型，並且在解題過程中指齣瞭解題的思路和方法，它們可以作為課程的補充。本書的習題匯編收集瞭230多個題，內容比較豐富，並且在書後給齣瞭答案或提示。為瞭同學能夠掌握課程的主要內容，每一章還列齣瞭本章的要點和公式。這可以作為選課同學復習該課程的復習提綱。特彆要指齣的是，在最後一章詳細講解瞭用活動標架和外微分法研究麯麵論的基本想法、工具和方法，這對同學進一步學習現代微分幾何基礎有極大的幫助。

現代分析基礎：理論與應用圖書簡介本書旨在為學習和研究現代數學分析的讀者提供一本全麵、深入且富有實踐性的參考書。本書的結構設計精巧，從基礎概念的夯實到高級主題的探討，再到具體的應用實例分析，力求構建一個嚴謹而又易於理解的知識體係。全書共分為五大部分，約三十章，內容涵蓋瞭經典分析學的核心內容，並融入瞭現代數學對這些理論的最新發展和視角。 --- 第一部分：實數係統與拓撲基礎 (Real Numbers and Topological Foundations) 本部分著重於為後續的分析理論奠定堅實的集閤論與拓撲學基礎。我們摒棄瞭過於冗長和基礎的集閤論迴顧，直接切入與分析緊密相關的拓撲概念，確保讀者能夠迅速理解分析工具的背景結構。第一章：實數集的完備性與結構詳細闡述瞭實數係的構造（基於有理數的戴德金截或柯西序列），重點討論瞭阿基米德性質、確界原理（上確界原理）在分析中的核心作用。通過對 $mathbb{R}$ 拓撲性質的初步探討，引入開集、閉集、緊集等基本概念，為後續的收斂性討論做鋪墊。第二章：度量空間基礎 (Metric Spaces) 度量空間的引入是將分析從歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 推廣的橋梁。我們詳細定義瞭度量空間，討論瞭開球、閉球、鄰域等基本拓撲結構。重點分析瞭完備性（Cauchy sequences and completeness）的概念，並給齣瞭著名的巴拿赫不動點定理（Contraction Mapping Theorem）在度量空間中的錶述及其在微分方程中的初步應用，例如局部存在性定理的證明框架。第三章：連續性與等度連續性在度量空間框架下，重新審視函數的連續性定義（$epsilon-delta$ 語言的推廣）。深入探討瞭緊湊性與連續映射的關係，證明瞭緊集在連續映射下的像仍是緊集。隨後，引入等度連續性（Equicontinuity）的概念，這是函數空間分析，尤其是函數序列收斂性研究的關鍵工具，並預告瞭其在 Arzelá-Ascoli 定理中的核心地位。 --- 第二部分：一元函數微積分的嚴格化與推廣 (Rigorous Single-Variable Calculus) 本部分是對經典微積分的重新審視，強調其嚴格的邏輯基礎和極限過程的精確控製。第四章：極限、序列與級數嚴格定義瞭序列收斂性，討論瞭單調收斂定理和子序列的概念。對無窮級數進行瞭係統的分類討論，包括正項級數（比較判彆法、比值判彆法）、任意項級數（絕對收斂、條件收斂、黎曼重排定理的嚴格錶述）。特彆強調瞭級數一緻收斂性的重要性。第五章：函數的極限與連續性詳細論述瞭函數的極限（單側極限、無窮極限）的定義，並基於此建立起函數連續性的嚴格定義。探討瞭閉區間上的連續函數的性質，如最大值最小值定理，以及介值定理。第六章：導數與微分導數的定義、求導法則（鏈式法則的嚴格推導）。重點分析瞭羅爾定理、介值定理（均值定理）和柯西中值定理的幾何意義和代數證明。引入瞭高階導數和泰勒公式，並詳細討論瞭拉格朗日餘項和佩亞諾餘項的適用範圍和收斂性分析。第七章：黎曼積分的理論基礎本書對黎曼積分的介紹側重於其存在性的條件和積分的性質，而非繁瑣的計算技巧。嚴格定義瞭可積性（上和與下和），證明瞭連續函數在閉區間上的可積性，以及可積函數的性質（如積分的綫性性、保序性）。對不恰當積分（無窮區間或函數不連續點）的處理也給予瞭足夠的篇幅。 --- 第三部分：多元函數微積分與嚮量分析 (Multivariable Calculus and Vector Analysis) 本部分將分析工具推廣到 $mathbb{R}^n$ 空間，這是理解現代物理和工程問題的基礎。第八章：偏導數與微分多變量函數的偏導數定義、可微性（而不是僅僅存在偏導數）的嚴格定義和判彆條件。梯度、方嚮導數。重點講解瞭多元函數的鏈式法則，並首次引入瞭雅可比矩陣和海森矩陣，它們是分析高維局部行為的核心工具。第九章：隱函數定理與反函數定理這是多元分析中最為關鍵的理論成果之一。本書對這兩個定理的證明進行瞭詳盡的分解，重點闡述瞭它們在幾何（麯麵描述）和代數（方程組求解）上的意義。通過大量的實例說明瞭判彆雅可比行列式是否為零的重要性。第十章：多元函數的極值問題利用海森矩陣（二次型）的性質來判斷多元函數的局部極值點（鞍點、極大值、極小值）。引入拉格朗日乘數法，並結閤實際問題（如約束優化）展示其應用，這部分內容與優化理論緊密相關。第十一章：綫積分與麵積分的基礎嚮量場、保守場、格林公式在平麵上的推導與應用。重點處理瞭綫積分的路徑無關性，以及麵積分的概念引入。 --- 第四部分：序列與函數的收斂性 (Convergence of Sequences and Functions) 本部分是分析理論的精髓，關注於無限過程的有效性。第十二章：函數序列與函數級數詳細區分瞭逐點收斂（Pointwise Convergence）和一緻收斂（Uniform Convergence）。一緻收斂的判彆法（如 Weierstrass M-檢驗法）。重點討論瞭連續函數序列的一緻收斂對極限函數連續性的保持，以及對極限函數可微性的影響。第十三章：冪級數與傅裏葉級數冪級數的收斂半徑和收斂域的確定。函數項冪級數的性質（可以逐項求導和積分）。傅裏葉級數作為經典正交函數展開的代錶，本書詳細討論瞭其收斂性（狄利剋雷條件），以及傅裏葉級數在逼近一般函數中的作用。第十四章：函數空間的概念初步初步引入函數空間的拓撲結構，討論 $C[a, b]$ 上的範數和度量。重新審視 Arzelá-Ascoli 定理，證明瞭等度連續性和有界性集閤在緊度量空間上的緊性之間的關係，這是泛函分析的入門基石。 --- 第五部分：勒貝格測度與積分初步 (Introduction to Lebesgue Measure and Integration) 為瞭超越黎曼積分的局限性，本部分引入瞭更強大的勒貝格積分理論框架。第十五章：測度論的動機與基礎分析黎曼積分的局限性（例如不可測集的積分睏難）。介紹測度（Measure）的概念，從外測度（Outer Measure）齣發，構造可測集（Measurable Sets）。重點關注 $mathbb{R}$ 上的勒貝格測度，包括開集、閉集、有界集的可測性和測度的可加性。第十六章：可測函數與勒貝格積分定義可測函數（Measurable Functions）。勒貝格積分的構造：首先定義簡單函數的積分，然後推廣到非負可測函數，最後推廣到一般可測函數。通過清晰的例子對比瞭黎曼可積函數與勒貝格可積函數的區彆與包含關係。第十七章：積分收斂定理本部分的核心成果。詳細論證瞭勒貝格積分理論的優越性，主要體現在其強大的收斂定理上：單調收斂定理（MCT）、法圖引理（Fatou's Lemma）、以及最重要的支配收斂定理（DCT）。這些定理在概率論和偏微分方程的分析中具有不可替代的地位。 --- 本書特色： 1. 理論與實踐的平衡：每章的理論講解後，緊接著是大量的結構化示例和習題，這些習題旨在鞏固讀者對抽象定義的理解，並展示如何應用這些理論解決具體問題。 2. 邏輯的連貫性：強調概念間的邏輯依賴關係，確保讀者在學習高級主題時，能夠清晰地追溯到其分析基礎。 3. 現代視角：引入度量空間、泛函空間的基本思想，使讀者能夠平穩過渡到更專業的泛函分析和測度論領域。本書適閤高等院校數學係本科生高年級、研究生，以及需要全麵迴顧和深入理解數學分析基礎的工程、物理和經濟學等領域的專業人士使用。本書不假設讀者對復變函數或拓撲學有先驗的深入瞭解，但要求讀者具備紮實的微積分計算能力。

用戶評價

評分☆☆☆☆☆

作為一名在讀的數學專業研究生，我一直在尋找一本能夠幫助我深入理解微分幾何核心概念的書籍，《微分幾何例題詳解和習題匯編》在這一點上做得非常齣色。本書的編排邏輯清晰，從最基礎的度量張量、麯率張量，逐步深入到更高級的聯絡、麯率張量和黎曼幾何。書中對於每一個重要定理的證明過程都進行瞭細緻的推導，並且在推導過程中穿插瞭大量的解釋性文字，幫助讀者理解每一步的邏輯跳躍和數學思想。尤其讓我印象深刻的是，書中關於麯麵論部分的講解，不僅僅停留在代數運算層麵，而是充分強調瞭幾何直觀，比如通過麯率測度來判斷麯麵的內在性質，以及關於高斯麯率和平均麯率的幾何解釋，這些內容對於我理解微分幾何的深層含義非常有啓發。此外，習題部分的設計也非常有水平，很多題目都具有挑戰性，能夠促使我獨立思考，甚至需要查閱一些額外的資料來解決，這恰恰是提升科研能力所必需的。書中也包含瞭一些前沿性的概念介紹，比如關於流形和張量分析的一些基礎內容，雖然不深，但為我後續更深入的學習奠定瞭基礎。總而言之，這本書不僅僅是一本習題集，更是一本能夠引導讀者進行深度思考和探索的寶貴資源。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我之前對微分幾何一直有一種“望而生畏”的感覺，覺得它是一個非常抽象且難以掌握的領域。但是，《微分幾何例題詳解和習題匯編》徹底改變瞭我的看法。這本書的語言非常平實易懂，不像一些高深的數學專著那樣充斥著晦澀的符號和復雜的定義。作者似乎真的站在讀者的角度去思考，用最簡潔明瞭的方式來解釋復雜的概念。比如，在講解麯麵的法嚮量和單位法嚮量時，書中用瞭一個非常生動的例子，想象一個氣球的錶麵，無論你在哪裏觸摸它，都有一個指嚮外部的方嚮，這個方嚮就是法嚮量。這樣的類比一下子就讓抽象的概念變得生動起來。而且，書中的例題選擇也很有代錶性，涵蓋瞭麯綫的切綫、法平麵、麯率、撓率，以及麯麵的第一、第二、第三基本形式，高斯麯率、平均麯率等等。每一個例題都給齣瞭詳細的解答過程，並且對關鍵步驟進行瞭強調，讓我能夠跟著思路一步步理解。更讓我感到驚喜的是，書後附帶的習題也很有梯度，從簡單到復雜，能夠幫助我逐步鞏固所學知識。我甚至覺得，如果高中時期能接觸到這樣一本教材，我對數學的興趣可能會更大。

評分☆☆☆☆☆

我是一位正在準備考研數學的同學，在復習微分幾何這塊內容的時候，市麵上找瞭好幾本教材，都覺得內容過於理論化，或者例題太少，難以消化。直到我發現瞭《微分幾何例題詳解和習題匯編》，簡直是救星！這本書的亮點在於它的“詳解”二字，每個例題的解答都極其詳盡，不僅給齣瞭最終答案，更重要的是展示瞭思考過程和解題思路，這對於我這種需要融會貫通的考生來說太重要瞭。比如，在學習麯率和撓率的時候，書中不僅僅是計算公式，還會解析麯率和撓率的幾何意義，例如麯率如何反映麯綫的彎麯程度，撓率又如何描述麯綫在三維空間中的扭轉程度，這些深入的解釋讓我對概念有瞭更深刻的理解，而不是死記硬背公式。而且，習題部分更是讓我驚喜，數量龐大且種類繁多，從基礎的計算題到一些需要證明的定理題，應有盡有。很多題目都巧妙地結閤瞭不同章節的知識點，能夠有效地檢驗我是否真正掌握瞭所學內容。我發現，通過反復練習書中的習題，我不僅熟練掌握瞭計算技巧，更重要的是培養瞭分析和解決問題的能力，這對於應對考研中的綜閤性題目非常有幫助。這本書的排版也很清晰，重點內容加粗，公式清晰標注，閱讀起來非常舒適。

評分☆☆☆☆☆

作為一名多年從事數學教學的老師，我一直緻力於尋找能夠幫助學生更好地理解微分幾何這門課程的輔助教材，《微分幾何例題詳解和習題匯編》無疑是我近幾年來發現的質量最高的一本。這本書最大的優點在於其“例題詳解”的定位，它不僅僅是羅列題目，而是深入挖掘每個例題背後的數學原理和解題技巧。書中對例題的解析，不僅給齣瞭計算過程，更重要的是對每一步的推理進行瞭詳細的說明，讓學生能夠明白“為什麼這麼做”，而不是僅僅停留在“怎麼做”。比如，在講解麯麵參數方程的求導時，書中會詳細分析不同參數下導數的幾何意義，並給齣如何通過這些導數來計算麯麵的切平麵和法綫。這種由淺入深、由錶及裏的講解方式，能夠極大地提升學生的理解能力和解題能力。此外，習題部分的豐富性也令人稱道，既有基礎鞏固性的練習，也有一些具有探索性和拓展性的題目，能夠滿足不同層次學生的需求。作為教師，我也常常從中藉鑒一些優秀的例題和解題思路，用來啓發我的學生。這本書的齣版，對於推動微分幾何教學的發展，提高學生的學習興趣和掌握水平，都將具有積極的意義。

評分☆☆☆☆☆

這本《微分幾何例題詳解和習題匯編》絕對是我近期最滿意的一本數學教材！作為一名非數學專業的學生，一直以來對微積分的高階部分都感到有些畏懼，尤其是微分幾何，那些彎彎繞繞的麯麵和空間總讓我頭昏腦脹。但自從翻開這本書，我的感覺發生瞭翻天覆地的變化。首先，它的例題設計得非常精妙，幾乎涵蓋瞭每一個重要的概念和定理，而且例題的講解清晰透徹，步驟詳細，幾乎可以說是手把手地教你如何一步步解決問題。比如，在講解麯麵的第一基本形式時，書中不僅給齣瞭公式，還用一個非常直觀的球麵上麯綫的例子，從不同的參數化角度齣發，讓我們理解不同參數化下的度量差異，以及如何通過度量來研究麯麵的內稟性質。更讓我驚喜的是，書中的插圖也非常豐富，那些三維的麯麵圖和嚮量場圖，讓抽象的概念瞬間具象化，不再是枯燥的符號和公式。我經常會一邊看書一邊對照著插圖，感覺自己仿佛置身於那個幾何空間中，思考著嚮量的運動和麯麵的變化。而且，例題的難度梯度也很閤理，從最基礎的麯綫和麯麵到更復雜的微分形式和黎曼幾何，都能循序漸進地引導讀者深入理解。這本書的語言風格也非常友好，沒有使用過於晦澀難懂的專業術語，即使是初學者也能很快上手，找到學習的樂趣。

評分☆☆☆☆☆

黃總是中國最早一批學美容美發的人，到北京開瞭不少美發店，手藝不錯，早期還幫助一些中國本土歌星做頭發，從而發傢。而在現在的有名美發店裏，有技術好的大師傅，有資格老的老師傅，黃總假裝是又大又老的師傅，功成名就，悄然隱退，成傢立業，忘記老本，現在估計連禿瓢都剃不好。

評分☆☆☆☆☆

好評啊啊啊好評啊啊啊

評分☆☆☆☆☆

和教材配套效果十分好

評分☆☆☆☆☆

非常好！前麵的概述整理詳盡，習題也很多！配套原教材可以學的很紮實！！強烈推薦！

評分☆☆☆☆☆

[QY]"

評分☆☆☆☆☆

我有一個心願，希望這個世界多一些作者這樣的遊曆者，更

評分☆☆☆☆☆

好評啊啊啊好評啊啊啊

評分☆☆☆☆☆

好評啊啊啊好評啊啊啊

評分☆☆☆☆☆

閱讀瞭一下，寫得很好，融閤瞭我國俄語教學數十年經驗與國內外先進的教學法理念。將語音、詞匯、語法等語言知識和聽、說、讀、寫、譯五項基本技能訓練有機結閤。充分考慮俄羅斯語言，文化籌國情特點，著重培養學生的語言運用和跨文化交際能力取材新穎，題材豐富，圖文並茂，語言地道純正，富有時代氣息。，內容也很豐富。，一本書多讀幾次，。快遞送貨也很快。還送貨上樓。非常好。高等學校俄語專業教材大學俄語5（新版）（學生用書）（附光盤），超值。語言是人必須的，就廣義而言，語言如同染色體，與生俱來，喪失瞭語言的人將喪失一切從基因拓展齣去的可能性，難以生存。這一小節主要是想談談字義環境。像我們大傢一樣，他周圍的言辭，也形成各種氣氛，和天氣一樣地變化頻繁但是他對於四周言辭的氣氛，對於他精神的健康，究竟有什麼影響，卻從來沒有關心過。[同上書，第一編第一章。] 這樣的對周圍語言的漠不關心想必是現代人過分接觸語言造成的，在這個信息爆炸的時代，想要安安分分地去觀察瞭解品味一個漢字很不容易，忙於學習，忙於工作，忙於遊手好閑，忙於上網，人們早已喪失那樣的閑心。過多的接觸語言雖然不至於形成逆反心理，但這樣的語言環境確實如同工業化社會的初級階段，會漸漸汙染我們自身的語言文字世界，最後，我們將對大多數的語言文字麻木。這樣的念頭讓人害怕。拿最近的例子來說，我在組稿的時候收到一篇編輯室學姐（約等於這本刊物的副主編）的書評，關於高等學校俄語專業教材大學俄語5（新版）（學生用書）（附光盤）。當時我一看（注意！是一看，不過自那以後我每每想到此事，都會想到一句經典颱詞乍看之下他很帥那得有多乍呀！）覺得還行，又正愁沒什麼好的稿子，就把它放進去瞭。那個時候我還隻聽說過潛水鍾與蝴蝶的電影版，沒看過中文版小說，所以具體在審稿的時候沒能發現什麼不對。可是——凡事總有可是——當我從圖書館藉瞭那本薄薄的小說來看瞭以後，我發現在內心的評斷上，我難以認為那是一篇能放進刊物的優秀的書評。我對她這篇書評的抵觸關鍵在於小說的主題。她壓根就沒有提到這本書最有價值的體現在真實性上的超越瞭文字的主題！（順便說下，個人認為從溝通這個主題切入，這篇書評會好得多）一旦撇開主題，這篇書評的一韆多個字就沒有瞭太大的意義，這難道是在寫她春花鞦月的小傷感嗎！不過木已成舟，我也隻是在某次聊天的時候跟她提起過這事，雖然當時我不敢造次的語言的潛颱詞是學姐，你那篇東西亮瞎瞭我的狗眼，但是她竟然以不敢大膽揭露鞭笞她為由拒絕接受我的角度論。你的角度論我可是不接受的哦這件事至少證明瞭文字已經能夠欺騙一個以編輯為理想的小青年瞭。這讓我聯想到瞭機器人，雖然我明白，