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[苏] 索伯列夫 著

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• 泛函分析
• 数学物理
• 应用数学
• 偏微分方程
• 算子理论
• 希尔伯特空间
• 谱分析
• 变分法
• 量子力学
• 数值分析

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560372211

版次：1

商品编码：12351623

包装：平装

开本：16

出版时间：2018-03-01

用纸：胶版纸

编辑推荐

本书适合高等院校师生及数学爱好者研读。

内容简介

这本书是索伯列夫院士的名著。他是一个用广义函数与广义导数的概念，并利用泛函分析的方法，解决了许多数理方程中的问题的学者。此书共分三章：泛函分析中的特殊问题、数学物理中的变分方法、双曲型偏微分方程理论。书中对每一个概念都有所交代，所以读者只要具备实变函数、重积分、偏微分方程及变分法方面的基础知识，即可读懂本书而无困难。

目录

目录

第1章 泛函分析中俄特殊问题

第2章 数学物理中的变分方法

第3章 双曲型偏微分方程理论

《泛函分析在数学物理中的应用》 一、 导言 数学物理，作为一门连接抽象数学理论与具体物理现象的桥梁，其发展历程始终伴随着数学工具的革新与深化。十九世纪以来，波动、热传导、电磁场等诸多物理现象的涌现，对当时的数学分析工具提出了前所未有的挑战。傅里叶级数、积分变换等一系列方法应运而生，并逐渐展现出其处理无限维空间的潜力。进入二十世纪，量子力学、相对论等革命性的物理理论的建立，更是将数学分析的疆域推向了更为广阔的抽象空间。在这一历史进程中，泛函分析作为一门研究函数空间及其上算子性质的数学分支，以其独特的视角和强大的分析能力，逐渐成为现代数学物理不可或缺的基石。 本书旨在系统地阐述泛函分析的基本理论，并着重探讨其在诸多数学物理分支中的具体应用。我们力求在保持数学严谨性的同时，清晰地揭示泛函分析的直观思想和物理意义，帮助读者建立起理论联系实际的桥梁。从希尔伯特空间的基本结构到算子代数的理论，再到分布理论的抽象框架，本书将带领读者深入理解这些数学工具如何被有效地应用于描述和解决复杂的物理问题。 二、 希尔伯特空间与量子力学 量子力学的诞生是二十世纪物理学最伟大的成就之一。其核心思想在于，微观粒子的状态不再是经典意义下的确定轨迹，而是由一系列概率幅所描述的量子态。而描述这些量子态的理想数学空间，正是希尔伯特空间。 本书将从希尔伯特空间的构造入手，详细介绍内积、范数、完备性等核心概念。我们将探讨各种重要的希尔伯特空间，如 $L^2$ 空间（平方可积函数空间）以及序列空间 $l^2$。这些空间为描述波函数提供了坚实的数学基础。 接着，本书将深入分析算子在希尔伯特空间中的作用。在量子力学中，物理量（如位置、动量、能量）对应着希尔伯特空间上的自伴算子。本书将详细讨论自伴算子（Hermitian operators）的谱分解理论，并阐释其在测量理论中的关键作用。例如，我们将会看到，一个物理量的所有可能测量值就是其对应算子的谱（本征值），而量子态的演化可以通过薛定谔方程来描述，该方程本质上是一个关于算子作用的微分方程。 更进一步，我们将考察有界算子和无界算子在希尔伯特空间中的性质。许多物理算子，如拉普拉斯算子，是无界算子，其理论分析需要更深入的工具。本书将介绍闭算子、稠定算子以及算子的自伴性条件，这些都是理解量子力学中哈密顿算子（能量算子）性质的关键。 三、 算子代数与量子场论 量子场论（Quantum Field Theory, QFT）是描述基本粒子及其相互作用的理论框架。在量子场论中，物理系统被视为场量的集合，而这些场的量子化过程需要更为抽象的数学工具，其中算子代数扮演着核心角色。 本书将介绍 C-代数和 von Neumann 代数等算子代数的概念。这些代数结构能够有效地描述量子系统的状态空间以及作用在这些状态上的算子集合。我们将探讨这些代数的分类和基本性质，例如交换性、正元以及迹。 在量子场论中，算子代数被用来构建格林函数、重整化群等关键概念。本书将通过具体的例子，展示如何利用算子代数来处理量子场论中的无穷大问题，以及如何通过算子代数来理解对称性在量子场论中的破缺。 此外，我们还将简要介绍量子信息理论与算子代数之间的联系，探讨量子纠缠、量子计算等前沿领域中泛函分析所扮演的角色。 四、 分布理论与偏微分方程 偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述物理现象（如热传导、流体力学、波动传播）的标准数学语言。然而，许多物理方程的解并非处处光滑，例如激波、点源等，这给传统的微分方程理论带来了挑战。分布理论（Theory of Distributions）应运而生，为处理这类“广义解”提供了强大的数学框架。 本书将详细介绍分布的基本概念，包括测试函数空间、线性泛函以及分布的运算（如卷积、求导、乘法）。我们将重点介绍狄拉克 $delta$ 函数及其在物理学中的广泛应用，例如描述点电荷、点质量等。 然后，我们将深入探讨分布理论在求解偏微分方程中的应用。本书将展示如何利用分布理论来理解和求解那些传统方法难以处理的方程，例如具有奇点的方程或在广义意义下求解方程。我们将介绍傅里叶变换与分布理论的结合，这对于求解线性偏微分方程至关重要。 此外，本书还将触及 Sobolev 空间的概念，这是一个结合了范数和微分性质的函数空间，对于分析偏微分方程的解的正则性至关重要。通过 Sobolev 空间，我们可以更严格地讨论解的存在性、唯一性和光滑性。 五、 专题讨论：数学物理中的其他应用 除了上述核心领域，泛函分析在数学物理的众多分支中都有着广泛而深刻的应用。本书将在这一部分选择若干具有代表性的专题进行简要介绍，以期展现泛函分析的普适性。 统计力学与谱理论： 在统计力学中，系统的宏观性质往往与微观自由度的集体行为密切相关。利用格林函数等工具，可以从微观动力学推导出宏观热力学性质。泛函分析的谱理论为理解这些集体激发和相变现象提供了重要的数学工具。 傅里叶分析在信号处理与图像分析中的应用： 尽管本书聚焦于数学物理，但傅里叶分析作为泛函分析的重要组成部分，其在信号处理、图像压缩、数据去噪等现代工程技术中的应用已经渗透到我们生活的方方面面。我们将在本书中回顾傅里叶级数和傅里叶变换的基本性质，并简要提及它们在物理信号分析中的作用，例如光谱分析。 微分几何与算子理论： 在更抽象的几何理论中，例如黎曼几何，微分算子（如拉普拉斯-贝尔特拉米算子）在研究流形的性质中扮演着关键角色。本书将简要介绍这些算子在几何分析中的作用，以及它们如何与泛函分析中的谱理论相互关联。 六、 结论 泛函分析以其抽象而强大的数学语言，为理解和描述复杂的物理世界提供了深刻的洞见。从微观的量子世界到宏观的场论，从经典物理的演化方程到现代物理的尖端理论，泛函分析的身影无处不在。本书的写作旨在为读者提供一个坚实的泛函分析理论基础，并展示其在数学物理各个分支中的丰富应用。我们希望通过本书的阐述，读者能够深刻体会到数学的抽象之美如何转化为对物理现象的深刻理解，并能够启发进一步的学习和研究。 数学物理的魅力在于其不断探索未知，而泛函分析作为一门日臻完善的学科，无疑将继续为这一探索提供强有力的支持。本书希望能够成为读者在这条探索之路上的一份有益的指引。

评分☆☆☆☆☆

《泛函分析在数学物理中的应用》这个书名，让我对它所能带来的知识感到无比期待，也引发了我对书中内容的诸多猜测。我一直在想，这本书会不会是一扇窗户，让我得以窥见数学的抽象世界如何精妙地映射到我们所处的物理现实。我预感，书中可能会详细讲解如何运用诸如积分变换、傅里叶分析等泛函分析的工具，来处理信号处理、图像识别等现代物理问题。又或者，它会深入探讨算子代数在量子信息科学中的作用，解释量子比特的操控和量子纠缠的数学描述。我也猜想，这本书或许会包含一些关于近似方法和数值方法的讨论，如何利用泛函分析的理论来设计和分析求解复杂物理问题的算法。我渴望从这本书中获得一种全新的视角，将数学的严谨与物理的直观融为一体，看到那些抽象的数学概念如何在解决实际物理难题时发挥出惊人的力量。

评分☆☆☆☆☆

这本书的标题《泛函分析在数学物理中的应用》激起了我莫名的好奇心，让我脑海中浮现出各种可能性。我一直在猜测，这本书是否会带领我穿越数学的抽象殿堂，去探寻它与物理世界的碰撞火花。我想象着，或许它会从一些经典的应用讲起，比如利用泛函分析的工具来解决诸如薛定谔方程、麦克斯韦方程组等重要的物理方程。我希望它能深入解析这些方程的解的性质，以及泛函分析如何帮助我们理解这些解的稳定性和存在性。甚至，我推测书中可能会触及一些更前沿的研究领域，例如在谱理论、分布理论方面的应用，它们在量子场论、凝聚态物理等领域扮演着至关重要的角色。我非常期待，通过阅读这本书，能够拓展我对物理问题数学化处理的视野，领略泛函分析作为一种强大的解析工具，如何赋予我们更深刻洞察物理世界的能力，甚至启发我思考一些未解之谜。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《泛函分析在数学物理中的应用》这个书名时，我脑海里立刻涌现出许多关于它内容的猜测，这让我对它充满了浓厚的兴趣。我一直在思考，这本书是否会深入探讨那些深邃的数学理论，例如勒贝克积分、测度论，以及它们如何成为理解物理世界中连续变化和随机过程的基础。我希望书中能够阐述，如何在统计物理和概率论中应用这些工具，来描述大量粒子的集体行为，或者理解随机过程的动态演化。我也在猜想，它是否会涉及一些更具挑战性的内容，比如非线性泛函分析，以及它在混沌理论、湍流研究等领域的应用。这本书能否帮助我建立起对复杂物理系统深刻的数学理解，让我能够更准确地把握它们的本质和行为，这是我非常期待的。

评分☆☆☆☆☆

这本书名《泛函分析在数学物理中的应用》听起来就非常有深度，我一直在思考它究竟能为我们揭示哪些数学的奥秘，以及这些奥秘如何巧妙地与物理世界的规律相连接。我猜想，这本书可能会深入探讨诸如希尔伯特空间、巴拿赫空间这类抽象的数学结构，它们如同精密的数学语言，为描述物理现象提供了强大的工具。我特别好奇，书中是否会详细阐述如何利用这些空间来理解量子力学中的态矢量，以及算符在量子系统演化中的作用。或许，它还会涉及更广泛的应用，比如在连续介质力学中，如何运用泛函分析的工具来解决偏微分方程，描述流体动力学或弹性力学的行为。想象一下，那些看似纷繁复杂的物理现象，在泛函分析的严谨框架下，能够被如此清晰、系统地刻画和分析，这本身就是一种令人着迷的智力冒险。我期待它能帮助我建立起一套更深刻的数学物理理解体系，看到那些隐藏在现象背后的普适性原理。

评分☆☆☆☆☆

《泛函分析在数学物理中的应用》这个书名，让我对它所包含的知识领域产生了强烈的探知欲，并引发了我对书中内容的多种猜想。我一直在揣摩，这本书是否会从基础的概念出发，循序渐进地介绍泛函分析的核心思想，比如向量空间、线性算符、拓扑空间等等，然后巧妙地将它们与物理学中的具体问题联系起来。我猜想，书中可能会包含对一些经典物理模型，如简谐振子、量子谐振子等，进行泛函分析式解读的章节，展示如何用更抽象、更强大的数学语言来描述它们的性质。我也在设想，这本书是否会涉及一些更具挑战性的数学工具，例如分布理论，以及它在描述狄拉克δ函数等奇异函数，并应用于解决物理学中的边界值问题。我渴望通过阅读这本书，能够打下坚实的数学基础，从而更自信地去探索那些复杂的物理现象背后的数学本质。