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内容简介

　　《差分方程及其应用》在大学数学课程的基础上较系统地介绍差分方程的基本概念、求解方法、线性差分方程组的基本理论、差分方程的定性、稳定性分析方法和分支理论等知识，特别是Liapunov函数、差分不等式和比较定理、鞍结点分支、Flip分支和不变解曲线的分支等知识，以便为读者进行差分方程的应用和理论研究提供基础。《差分方程及其应用》中给出了大量的应用例子来展示差分方程或差分方程组在物理学、经济学、生态学和传染病动力学等方面的广泛应用，包括我们近年来在研究人口增长、艾滋病和结核传播、甲型流感防控等问题中建立的差分方程模型的分析和应用。这是一本差分方程基础知识介绍和应用研究相结合的专著，我们希望《差分方程及其应用》能引导读者在差分方程的应用方面尽快地从学习基本理论和方法走到研究的前沿，能建立和应用差分方程研究和解决一些应用问题，并探索一些差分方程复杂的动力学性态。

内页插图

目录

第1章 绪论1.1 一些应用差分方程的例子1.1.1 兔子对数的递推关系1.1.2 从两个简单问题导出的差分方程1.1.3 近似计算与差分方程1.1.4 经济学中两个问题1.1.5 随机现象中概率的递推1.1.6 一个种群数量变化的描述 1.2 差分方程的概念和求解1.2.1 差分算子及其性质1.2.2 初等函数的差分1.2.3 不定和1.2.4 差分方程1.3 简单差分方程的复杂性态1.3.1 差分方程的平衡解及其稳定性1.3.2 虫口方程的倍周期分叉1.3.3 一个非线性模型的混沌性态1.3.4 帐篷映射习题1

第2章 线性差分方程2.1 线性差分方程解的一般理论2.1.1 n阶线性差分方程及其解的存在唯一性2.1.2 函数组的线性相关2.1.3 齐次线性差分方程解的一般理论2.1.4 非齐次线性差分方程解的叠加原理2.2 n阶常系数线性差分方程2.2.1 常系数线性齐次差分方程的解2.2.2 常系数线性非齐次差分方程2.2.3 算子法2.2.4 可以转换为线性方程的情形2.2.5 线性差分方程的应用举例2.3 线性差分方程组2.3.1 线性常系数齐次差分方程组2.3.2 线性差分方程组的一般理论2.3.3 常系数线性齐次差分方程组的解2.3.4 线性非齐次差分方程组的解2.3.5 线性周期差分方程组2.4 线性差分方程组的应用举例2.4.1 Markov链2.4.2 两个国家的国民收入和贸易2.4.3 热传导方程习题2

第3章 差分方程的稳定性3.1 解对初始值和参数的连续性3.1.1 向量的模3.1.2 差分不等式3.1.3 解对初始值的依赖性3.1.4 解对参数的依赖性3.2 稳定性的一些概念3.2.1 平衡解稳定性的定义3.2.2 稳定性的几个例子3.2.3 差分方程的比较原理3.2.4 动力系统3.3 线性差分方程平衡解的稳定性3.3.1 稳定性讨论的几个具体例子3.3.2 线性差分方程组零解的稳定性3.3.3 常系数线性差分方程组零解的稳定性3.4 稳定性研究中的线性化近似方法3.4.1 线性非自治方程组零解稳定性的比较方法3.4.2 非线性差分方程组与线性差分方程组的比较3.4.3 判断非线性差分方程组平衡解稳定性的线性化方法3.4.4 平衡解稳定性研究中的比较原理3.5 Liapunov直接方法3.5.1 Liapunov函数的定义3.5.2 Liapunov稳定性定理3.5.3 LaSalle不变性原理3.5.4 Liapunov不稳定性定理3.5.5 Liapunov函数的存在性3.6 差分方程模型的稳定性分析举例3.6.1 两阶段的种群模型3.6.2 一个具有时滞的种群模型平衡解的稳定性3.6.3 两种群相互竞争的模型习题3

第4章 差分方程的分支4.1 平衡解的分支4.1.1 分支点的定义4.1.2 逐次消元法4.1.3 零因子消去法4.2 一维差分方程平衡解的分支4.2.1 鞍结点分支4.2.2 跨临界分支4.2.3 音叉分支（pitchfork bifurcation）4.2.4 反转分支（flip bifurcation）4.3 二维差分方程组平衡解和稳定性的分支4.3.1 常系数线性齐次方程组平衡解的稳定性和相图4.3.2 一个非线性差分方程组平衡解的稳定性和分支4.4 不变闭曲线的分支4.4.1 Hopf分支4.4.2 不变闭曲线族的分支4.5 生态模型中的分支4.5.1 Beverton-Holt模型的分支4.5.2 两阶段种群模型平衡解的分支4.5.3 p=□时模型（4.5.2）的Flip分支4.5.4 p=□时模型（4.5.2）的Hopf分支？4.6 一个传染病模型的分支4.6.1 模型及其平衡解4.6.2 平衡解的稳定性4.6.3 模型（4.6.5）的Flip分支4.6.4 模型（4.6.5）的鞍结点分支4.6.5 模型（4.6.5）的Hopf分支习题4

第5章 差分方程在生态和传染病问题中的应用5.1 人口和种群增长的Leslie矩阵模型5.1.1 模型建立5.1.2 模型的分析5.1.3 一个非线性Leslie模型5.1.4 具有一般结构的Liesle模型5.2 离散传染病模型5.2.1 传染病问题的重要性5.2.2 几个基本的离散传染病模型5.2.3 具有感染阶段的艾滋病模型5.2.4 具有感染阶段的艾滋病模型的应用5.3 结核病传播的差分方程模型5.3.1 结核的传播过程5.3.2 结核的流行现状5.3.3 结核的建模与研究情况5.3.4 具有季节性的结核病模型5.3.5 具有年龄结构的结核模型5.4 Beverton-Holt模型5.4.1 自治Beverton-Holt模型的稳定性5.4.2 非自治Beverton-Holt模型的周期解5.4.3 具有脉冲收获策略的非自治Beverton-Holt离散模型习题5

附录A 映射的中心流形定理A.1 问题的提出A.2 差分方程组中心流形定理的几个结论A.3 中心流形定理在判定平衡解稳定性时的应用举例A.4 中心流形定理在研究分支问题时的应用举例附录B 2006年中国人口的一些统计数据附录C 2003年北京市sARs流行期间的数据参考文献索引

前言/序言

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10，有限增量定理、连续可微映射、中值定理、映射的高阶微分与偏导数、高阶微分的运算、映射的Taylor公式、映射的局部极值、、切平面、法向量、切向量。

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1，逻辑符号、集合与集合的初等运算、函数与映射、集合的势、公理集合论。

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微分方程的解法一共就那么3种。

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微分方程的特解：微分方程的解事完全确定的（不含任意常数）

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5，Euler定理、拓扑等价、Euclid空间中映射的连续性、同胚、闭曲面的分类定理、拓扑不变量。

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2，实数的公理系统、上下确界、自然数集、有理数集、无理数集、数学归纳法、Archimedes原理、数直线、实数的q进制表示、Dedekind分割。

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1，数项级数的收敛与发散、绝对收敛、非负数项级数收敛的充要条件、比较判别法、Weierstrass比较判别法、 Cauchy判别法、D‘Aleert判别法、Gauss判别法、Rabbe判别法、Kummer判别法、Bertrand判别法、Cauchy- Maclaurin积分判别法。

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