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内容简介

　　《数学分析教程（下册)》是供综合性大学和师范院校数学类各专业本科一、二年级学生学习数学分析课程的一部教材，分上、中、下三册。本册为下册，讲授多元函数的数学分析理论，内容包括多元函数的极限和连续性、多元函数微分学及其应用、含参变量的积分、多元函数积分学及其应用、场论初步、微分形式和斯托克斯公式等。

目录

目录
第14章 多元函数的极限和连续性 1
14.1 Rm中的点列和点集 1
14.1.1 Rm中的运算和距离 1
14.1.2 Rm中点列的极限 3
14.1.3 Rm中的点集 5
14.1.4 几个重要定理 7
习题14.1 10
14.2 多元函数的概念 12
14.3 多元函数的极限 16
14.3.1 沿集合S的极限和全极限 16
14.3.2 方向极限和沿曲线的极限 21
14.3.3 累次极限 24
14.3.4 向量函数的极限 27
习题14.3 29
14.4 多元连续函数 31
14.4.1 多元函数连续性的定义与运算 31
14.4.2 多元连续函数的性质 33
习题14.4 38
第15章 多元数量函数的微分学 41
15.1 偏导数和全微分 41
15.1.1 偏导数 41
15.1.2 全微分 45
15.1.3 全微分与偏导数的关系 46
习题15.1 50
15.2 方向导数和梯度 52
15.2.1 方向导数 52
15.2.2 梯度 53
15.2.3 微分中值定理 55
习题15.2 56
15.3 复合函数的偏导数和隐函数定理 57
15.3.1 复合函数的偏导数 57
15.3.2 复合函数的全微分 60
15.3.3 隐函数的偏导数和隐函数定理 61
习题15.3 67
15.4 高阶偏导数和泰勒公式 70
15.4.1 高阶偏导数和高阶全微分 70
15.4.2 m重指标和高阶偏导数的简写记号 75
15.4.3 泰勒公式 77
习题15.4 79
15.5 微分学的几何应用 83
习题15.5 86
第16章 多元向量函数的微分学 89
16.1 线性变换与矩阵分析初步 89
16.1.1 线性变换与矩阵的代数理论 89
16.1.2 线性变换与矩阵的范数 93
16.1.3 可逆矩阵的摄动定理 97
习题16.1 99
16.2 多元向量函数的偏导数与全微分 100
习题16.2 105
16.3 隐函数定理和反函数定理 106
16.3.1 压缩映射原理 106
16.3.2 隐函数定理 107
16.3.3 反函数定理 111
16.3.4 满射定理和单射定理 112
习题16.3 114
第17章 多元函数的极值 118
17.1 简单极值问题 118
习题17.1 123
17.2 条件极值问题 125
17.2.1 求稳定点的拉格朗日乘数法 125
17.2.2 拉格朗日乘数法的几何解释 133
习题17.2 136
第18章 含参变量的积分 139
18.1 含参变量的定积分 139
习题18.1 146
18.2 含参变量的广义积分 149
18.2.1 含参量广义积分的一致收敛 149
18.2.2 含参量广义积分的性质 153
习题18.2 161
18.3 欧拉积分 164
18.3.1 伽马函数 164
18.3.2 贝塔函数 165
习题18.3 169
第19章 重积分 171
19.1 Rm中点集的若尔当测度 171
19.1.1 若尔当测度的定义 172
19.1.2 若尔当可测的等价条件 175
19.1.3 若尔当测度的运算性质 177
习题19.1 180
19.2 重积分的定义和性质 182
19.2.1 重积分的定义 182
19.2.2 函数可积的达布准则 185
19.2.3 重积分的性质 187
习题19.2 188
19.3 重积分的计算 189
19.3.1 化重积分为累次积分 189
19.3.2 二重积分的计算 191
19.3.3 三重积分的计算 195
19.3.4 m重积分的计算 198
习题19.3 201
19.4 重积分的变元变换 204
19.4.1 变元变换的一般公式 204
19.4.2 些常用的积分变元变换 210
19.4.3 m维球坐标变换 218
习题19.4 221
19.5 曲面的面积 224
习题19.5 229
19.6 重积分的物理应用 229
19.6.1 质心的计算 230
19.6.2 转动惯量的计算 231
19.6.3 万有引力的计算 232
习题19.6 234
第20章 曲线积分和曲面积分 235
20.1 第一型曲线积分和曲面积分 235
20.1.1 第一型曲线积分 236
20.1.2 第一型曲面积分 239
20.1.3 物理应用 242
习题20.1 244
20.2 第二型曲线积分和曲面积分 246
20.2.1 第二型曲线积分 247
20.2.2 第二型曲面积分 254
习题20.2 261
20.3 三个重要公式 265
20.3.1 格林公式 265
20.3.2 高斯公式 269
20.3.3 斯托克斯公式 273
习题20.3 276
第21章 广义重积分和含参量的重积分 279
21.1 广义重积分和含参量的重积分 279
21.1.1 广义重积分 279
21.1.2 含参变量的重积分 284
习题21.1 287
21.2 函数的磨光及其应用 290
21.2.1 函数的磨光 290
21.2.2 截断函数和单位分解定理 297
21.2.3 延拓定理 299
习题21.2 303
第22章 场论初步 305
22.1 关于场的基本概念 305
22.1.1 等值面和积分曲线 306
22.1.2 方向导数和梯度 梯度场和势函数 309
习题22.1 313
22.2 向量场的通量和散度 314
22.2.1 向量场的通量 314
22.2.2 向量场的散度 316
22.2.3 无源场及其性质 318
习题22.2 319
22.3 向量场的环量和旋度 320
22.3.1 向量场的环量 320
22.3.2 向量场的旋度 321
22.3.3 无旋场及其性质 323
习题22.3 325
22.4 些重要定理 326
22.4.1 梯度、散度和旋度联合的一些运算公式 326
22.4.2 保守场及其等价条件 327
22.4.3 亥姆霍兹分解定理 330
习题22.4 337
22.5 平面和曲面上的向量场 338
22.5.1 平面上的向量场 338
22.5.2 曲面上的向量场 340
习题22.5 342
第23章 微分形式和斯托克斯公式 343
23.1 反对称多线性函数和外积 343
2 3.1.1 反对称多线性函数 343
2 3.1.2 外积运算 349
习题23.1 350
23.2 微分形式和外微分 351
23.2.1 微分形式 351
23.2.2 外微分运算 353
23.2.3 闭形式和恰当形式 356
习题23.2 360
23.3 微分形式的变元变换和积分 361
23.3.1 微分形式的变元变换 361
23.3.2 微分形式的积分 367
习题23.3 376
23.4 斯托克斯公式 379
23.4.1 微分流形 379
23.4.2 流形上的积分 386
23.4.3 斯托克斯公式 388
习题23.4 391
综合习题 393
参考文献 408

前言/序言

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8，乘积拓扑、乘积空间、Tychonoff乘积定理、连通的拓扑空间、商拓扑、Alexandroff定理、粘合拓扑、完备的度量空间、度量空间的完备化、闭球套引理、第一纲集与第二纲集、Baire纲定理、拓扑空间上的映射的极限、拓扑空间上的映射的连续与一致连续、二重极限与累次极限、压缩映像原理。

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1，积分的物理与几何背景、Riemann积分的定义、Riemann可积函数、可积函数空间、Lebesgue定理、Riemann积分积分区间的可加性、积分的估计、积分中值定理、一些重要的积分不等式。

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9，线性赋范空间、Banach空间、Euclid空间、Hilbert空间、线性算子、算子的范数、连续算子空间、赋范空间上的可微映射、映射的微分与导数、映射的微分的Jacobi矩阵、函数的连续性与可微性、微分的算术运算、复合映射的微分、逆映射的微分、映射的偏导数与微分、方向导数与梯度。

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12，R^n中的k维子流形、切空间的定义、条件极值、Lagrange乘子法。

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2，变上限的积分、Newton-Leibniz公式、定积分的分部积分与变量替换、积分余项的Talyor公式、面积原理、一元积分学的应用。

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3，函数列的收敛集、含参变量的函数族、收敛与一致收敛、Cauchy准则、复数域的收敛与复数项级数、幂级数、Cauchy-Hadamard公式、 Abel定理、函数的幂级数表示、幂级数的解析性、Weierstrass优级数判别法、Abel-Dirichlet判别法。

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2，实数的公理系统、上下确界、自然数集、有理数集、无理数集、数学归纳法、Archimedes原理、数直线、实数的q进制表示、Dedekind分割。

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11，用微分学研究自然科学的一些例子。

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