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第一章 曆史概述
S1.1 歐幾裏得幾何
1.1.1 《幾何原本》的學術背景
1.1.2 幾何學——古希臘數學的主體
1.1.3 演繹證明的範本
S1.2 皮亞諾(Peano) 自然數理論
1.2.1 分析數學——數學的新階段
1.2.2 分析數學的基礎危機
1.2.3 分析算術化
1.2.4 分析數學中的無限
1.2 附1 幾何學自身的重大變革
1.2 附2 虛數是怎樣進入數學的
1.2 附3 皮亞諾算術的適當展開
S1.3 ZFC 集論
1.3.1 康托爾集論與集論誕生時期的風暴
1.3.1 附1 康托爾辯辭錄: 數學的自由與製約
1.3.1 附2 戴德金為創建集論所作的貢獻
1.3.2 集論悖論與基礎危機
1.3.3 數學可否歸為邏輯
1.3.4 直覺主義簡介
1.3.5 希爾伯特規劃與哥德爾不完備性定理
1.3.6 ZFC 集論脫穎而齣
S1.4 本章小結
第二章 邏輯準備
S2.1 命題演算初步
2.1.1 命題連接詞
2.1.2 真值錶與永真式
2.1.3 真值方程組
$^*$2.1.4 命題連接詞的完全組
S2.2 謂詞演算簡介
2.2.1 謂詞演算語言
2.2.2 什麼是數學證明
2.2.3 數學形式係統舉例——形式算術
第三章 集論基本概念
S3.1 ZF 語言
S3.2 外延公理與內涵公理
S3.3 無序對公理
S3.4 並集公理與冪集公理
S3.5 關係與映射
3.5.1 Descartes 積(Cartesian product) 集
3.5.2 關係
3.5.3 映射(函數)
3.5.3 附 單值化原則
S3.6 無限公理
3.6.1 最小歸納集omega $
3.6.2 歸納定義
3.6.3 鴿籠原理
第四章 什麼是實數
S4.1 等價關係與分類
4.1.1 等價關係
4.1.2 等價類
4.1.3 選代錶原則與選擇公理
S4.2 bf N ^2$ 的一個重要分類
4.2 附 由哪些自然數性質推齣瞭整數性質
S4.3 重要練習一:bf Z \times (\bf Z -\0)$ 的一個分類
S4.4 算術超濾與算術模型
4.4.1 bf N $ 上的濾子與超濾
4.4.2 超濾變換
4.4.3 用非主算術超濾構造的算術模型
4.4.4 自然數數列的延伸
4.4.5 小結
S4.5 一種特殊的非Archimedes 序域------ 從$^\ast \hN$ 到$^*\hQ$
S4.6 重要練習二: bf Q _<$ 的一個分類
S4.7 什麼是實數
第五章 結構與模型
S5.1 結構的概念與語言
S5.2 同構與同態
S5.3 理論與模型
5.3 附1 完備序域的(同構) 唯一性
5.3 附2 模型原理
5.3 附3 $^*\bf N $ 對bf N $ 的保真性
第六章 勢
S6.1 等勢
S6.2 不同大小的實無限
S6.3 Cantor-Bernstein 定理
S6.4 關於可數集的結論
6.4 附 可數集性質的另一常用錶述
S6.5 勢的性質與選擇公理
S6.6 連續統假設
第七章 良序結構與超限歸納法
S7.1 偏序
S7.2 全序
S7.3 良序
7.3 附 良序指標集
S7.4 超限歸納法
S7.5 關於結構delimiter "426830A \omega ,\in \delimiter "526930B $ 的練習
第八章 序數
S8.1 序數的概念及一般性質
S8.2 後繼序數與極限序數
S8.3 替換公理
S8.4 關於序數的超限歸納法
8.4 附 bf On $ 上的遞歸定義
S8.5 集的號碼庫——Hartogs 數
S8.6 正則公理
8.6 附 集宇宙的形象
第九章 選擇公理
S9.1 選擇公理的特殊性
S9.2 良序原理
S9.3 Zorn 引理
S9.4 選擇公理的地位及應用例子(濾子擴張原則)
第十章 基數
S10.1 基數概念
S10.2 基數算術
10.2附1 序數與基數的加乘運算的關係
10.2附2 連續統假設(CH) 蘊涵非主算術超濾存在
*S10.3 正則基數與奇異基數
S10.4 基數計算例子:omega $ 上超濾空間有多大
第十一章 結束語
部分練習題與思考題提示或解答
參考文獻
名詞匯集
符號匯集
· · · · · · (收起)