《代數基本概念》
《數學概覽》序言
中文版前言
前言
第1節 什麼是代數？
坐標化的思想。例子：量子力學詞匯錶，關聯公理和平行性的有限模型的坐標化。
第2節 域
域的公理，同構。獨立變量的有理函數域；平麵代數麯綫的函數域。laurent級數域和形式 laurent 級數域。
第3節 交換環
環的公理；零因子和整環。分式域。多項式環。平麵代數麯綫上的多項式函數環。冪級數環與形式冪級數環。boole環。環的直和。連續函數環。因子分解；唯一因子分解整環（ufd）ufd的例子。
第4節 同態和理想
同態，理想，商環。同態定理。函數環中的限製同態。主理想整環；與ufd的關係。理想的積。域的特徵。給定多項式有根的擴張。代數閉域。有限域。用極大理想和素理想上的函數錶示一般環的元素。作為函數的整數。超積與非標準分析。交換的微分算子。
第5節 模
直和與自由模。張量積。模的張量冪、對稱冪和外冪，對偶模。等價的理想和模的同構。微分形式模和嚮量場。嚮量空間族與模族。
第6節 從代數角度看維數
模的秩。有限型模。主理想整環上的有限型模。noether 模和noether環。noether環和有限型環。分次環的情形。擴張的超越次數。有限擴張。
第7節 無窮小概念的代數觀點模2階無窮小的函數和流形的切空間。奇點。嚮量場與1階微分算子。高階無窮小。射流和微分算子。環的完備化，p進數。賦範域。有理數域和有理函數域的賦值。數論中的p進數域。
第8節 非交換環
基本定義。環上的代數。模的自同態環。群代數。四元數與可除代數。扭麯子縴維化。可除代數上n維嚮量空間的自同態。張量代數和非交換多項式環。外代數；超代數；cli?ord代數。單環和單代數。可除代數上嚮量空間自同態環的左理想和右理想。
第9節 非交換環上的模
.模和錶示。代數用矩陣形式的錶示。單模，閤成列，jordan-holder定理。環或模的長度。模的自同態環。schur引理。
第10節 半單模和半單環
半單性。群代數是半單的。半單環上的模。有限長度的半單環；wedderburn定理。有限長度的單環與射影幾何基本定理。因式和連續幾何。代數閉域上有限秩的半單代數。對有限群錶示的應用。
第11節 有限秩的可除代數
r或有限域上的有限秩可除代數。tsen定理和擬代數閉域。p進數域和有理域上有限秩的中心可除代數。
第12節 群的概念
變換群，對稱，自同構。動力係統的對稱和守恒律。物理定律的對稱。群，正則作用。子群，正規子群，商群。元素的階。理想類群。模的擴張的群。brauer 群。兩個群的直積。
第13節 群的例子：有限群
對稱群和交錯群。正多邊形和正多麵體的對稱群。格的對稱群。晶體的類。由反射生成的有限群。
第14節 群的例子：無限離散群
離散變換群。晶體群。lobachevsky平麵的離散運動群。模群。自由群。由生成元和關係確定的群。邏輯問題。基本群。紐結群。辮群。
第15節 群的例子：lie 群和代數群
lie群。環麵。在liouville定理中的作用。
a 緊緻lie群
典型的緊緻群以及它們之間的一些關係。
b 復解析lie群
典型的復lie群。其他一些lie群。lorentz群。
c 代數群
代數群，ad`ele群。tamagawa數。
第16節 群論的一般結果
直積。wedderburn-remak-shmidt 定理。閤成列，jordan-h¨older
定理。單群，可解群。單緊緻 lie 群。單復 lie 群。有限單群，分類。
第17節 群錶示
a 有限群的錶示
錶示，正交關係。
b 緊緻lie群的錶示
緊緻群的錶示。在群上積分。helmholtz-lie 理論。緊緻 abel 群的特徵標和 fourier 級數。4維riemann幾何中的weyl和ricci 張量。su(2)和so(3)的錶示。zeeman 效應。
c 典型復 lie 群的錶示
非緊緻lie群的錶示。有限維典型復lie群錶示的完全不可約性。
第18節 群的一些應用
a galois 理論
galois理論。根式解方程。
b 綫性微分方程的galois理論(picard-vessiot 理論)
c 非分歧覆蓋的分類
非分歧覆蓋的分類和基本群。
d 不變式理論
不變式理論的第一基本定理。
e 群錶示和基本粒子的分類
第19節 lie 代數和非結閤代數
a lie 代數
poisson括號作為lie代數的例子。lie環和lie代數。
b lie 理論
lie群的lie代數。
c lie 代數的應用
lie 群與剛體運動。
d 其他非結閤代數
cayley 數。8 維空間的 6 維子流形上的殆復結構。非結閤的實可除代數。
第20節 範疇
圖和範疇。泛映射問題。函子。拓撲中發生的函子：圈空間，雙角錐。範疇中的群對象。同倫群。
第21節 同調代數。
a 同調代數概念的拓撲起源
復形及其同調。多麵體的同調和上同調。不動點定理。微分形式和 de rham 上同調；de rham 定理。長正閤上同調序列。
b 模和群的上同調
模的上同調。群上同調。離散群上同調的拓撲意義。
c 層上同調
層；層上同調。有限性定理。riemann-roch 定理。
第22節 k-理論
a 拓撲 k-理論
嚮量叢和函子 vec(x)。周期性和函子 kn(x)。k1(x) 和無限維綫性群。橢圓微分算子的符號。指標定理。
b 代數 k-理論
投射模類的群。環的 k0，k1 和 kn，域的 k2 及其與 brauer群的關係。k-理論和算術。
關於文獻的注釋
參考文獻
人名索引
主題索引
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