国内外数学奥林匹克试题精选（2002-2012）组合数学部分 浙江大学出版社 数学奥赛竞赛 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

图书标签:

• 数学奥赛
• 组合数学
• 奥林匹克竞赛
• 数学竞赛
• 试题精选
• 浙江大学出版社
• 高中数学
• 竞赛辅导
• 数学问题
• 历年真题

店铺： 新知图书专营店

出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308145541

商品编码：17006576492

丛书名： 国内外数学奥林匹克试题精选 组合数学部分

....................

数学思维的熔炉：代数、几何与数论的精深探索（2002-2012） 聚焦核心竞赛领域，深度剖析经典难题的思维路径与解题艺术 本书汇集了2002年至2012年间，全球顶尖数学奥林匹克竞赛中，代数、几何、以及数论三大核心分支的精选试题。旨在为有志于提升数学思维、挑战高水平竞赛的师生及数学爱好者，提供一个全面、深入、且极具针对性的学习与参考平台。 一、 代数篇：结构、函数与抽象的魅力 本卷精选的代数部分，不仅涵盖了传统的多项式理论、不等式证明等基础内容，更侧重于展现现代奥赛代数对抽象结构、函数方程、以及高级代数技巧的运用。 1. 不等式理论的极限挑战： 我们精心挑选了大量涉及均值不等式（AM-GM、CS）、柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）、以及更具挑战性的保序和非保序不等式的题目。重点解析了“放缩法”、“构造函数求极值”和“变量替换”在证明复杂多变量不等式中的关键作用。例如，对涉及对称多项式或循环和的证明，书中详细展示了如何通过局部放缩或引入特定的代数工具（如拉格朗日乘数法的思想引入），将看似无序的表达式转化为易于处理的形式。此外，对于“Schur不等式”及其推广形式在不同代数结构中的应用，也进行了系统性的梳理和演示。 2. 函数方程的深层洞察： 函数方程是衡量选手代数功底和逻辑严密性的试金石。本部分收录的题目难度跨度极大，从基础的Cauchy泛函方程的初等解法，到涉及周期性、单射、满射性质的复杂方程。我们强调解题的关键步骤：“特殊值代入法”、“特定函数性质的探索与验证”、“构造性证明”。对于那些看似无解的复杂方程，书中会引导读者深入分析定义域、值域的约束，逐步逼近函数的唯一解或解集结构。特别关注了涉及有理函数、指数函数或三角函数的混合方程的求解策略。 3. 多项式与方程的代数之舞： 本节内容聚焦于代数方程的根的性质、有理根定理的扩展应用，以及多项式在域扩张中的表现。重点探讨了利用韦达定理进行多项式关系重构，以及如何通过齐次化处理简化高次方程的求解。对于涉及到复数根与实系数多项式的题目，书中详细阐述了共轭根定理的应用，以及如何利用多项式因子分解来揭示隐藏的结构。 二、 几何篇：空间想象与逻辑演绎的完美结合 几何部分是奥赛的传统强项，本精选集力求平衡平面几何的精妙与立体几何的宏大，强调几何直觉与代数工具的有效结合。 1. 平面几何的技巧与美学： 本部分精选了大量关于三角形、圆、四边形的最值问题和存在性证明。重点突出“辅助线”的构建艺术，包括：“黄金分割点的引入”、“相似三角形的构造”、“圆的性质转化”。书中对正交性、共轭性在几何问题中的体现进行了深入剖析。对于复杂的角度计算或线段长度证明，我们展示了如何熟练运用三角函数、向量法（侧重于几何意义的解释而非纯代数运算）以及复数法（在证明共圆性或共线性的特定情境下）来简化步骤。 2. 欧几里得几何的进阶： 几何的难度提升往往体现在对几何定理的灵活应用和创造性转化上。本卷对圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）中的焦点、准线、切线性质在竞赛中的应用进行了专项训练。对于涉及线段关系的证明，我们强调“几何变换”（如旋转、平移、反演）的视角转换能力，这往往是传统纯粹的几何推理难以企及的捷径。特别是“反演几何”在处理圆与直线关系，以及消除复杂交点问题时的强大效用，提供了详尽的案例解析。 3. 立体几何与解析法的平衡： 立体几何部分兼顾了传统的三视图、空间向量法和解析几何的严谨性。针对空间关系（如异面直线夹角、平面夹角、点到面距离），书中指导读者如何高效地建立空间直角坐标系，并侧重于“法向量的确定”这一核心技能。对于涉及多面体、旋转体的体积或表面积问题，则强调利用“微积分思想的几何直观替代”（如分割与求和的极限思想），在不直接使用积分的情况下，解决结构复杂的体积问题。 三、 数论篇：整除、同余与丢番图方程的奥秘 数论是奥赛中对思维的深度和广度要求最高的领域之一。本书的数论部分旨在夯实数论基础，并向更抽象的代数数论概念过渡。 1. 基础数论的深度挖掘： 本部分对整除性、最大公约数、最小公倍数的性质进行了系统性复习，但重点放在了“裴蜀等式（Bezout's Identity）的扩展应用”和“扩展欧几里得算法”在求解线性丢番图方程中的实际操作。对于与阶乘、连乘积相关的数论问题，我们详细解析了“勒让德公式”在计算质因数指数时的准确应用。 2. 同余理论的精炼应用： 同余理论是解决数论问题的核心工具。我们精选了大量涉及欧拉定理、费马小定理、原根等概念的题目。重点训练的是“模运算的线性化处理”，即如何将复杂的指数或连乘积问题转化为在模$n$下的简化表达式。书中特别分析了“中国剩余定理”在处理多模系统下的求解策略，以及如何识别和利用周期性来简化计算。 3. 丢番图方程与不定方程的求解艺术： 丢番图方程（特别是整数解问题）的难度在于其非线性特征。本部分侧重于“因式分解法”、“求模法（降阶法）”和“构造法”在处理二次或高次不定方程时的运用。对于涉及平方数或立方数的方程，书中引导读者通过“构造一个界限（Bound）”，将无限解空间压缩为有限的检查范围。对于 Pell 方程（$x^2 - Dy^2 = 1$）的初等解法及其在最小正整数解求解中的重要性，也有专门的论述。 总结与展望 本书严格遵循2002年至2012年间国际和国内顶级数学竞赛的出题风格和难度梯度，完全不涉及组合数学的内容。通过对代数、几何、数论三大支柱的深入剖析，读者不仅能掌握标准解题技巧，更能培养在面对陌生问题时，迅速定位核心数学工具、进行多角度分析的综合能力。每一道精选例题都附带详细的解题思路和步骤，力求实现知识的系统化、方法论的精细化。

评分☆☆☆☆☆

这本书的章节划分和难度递进安排，简直是为自学和系统训练量身打造的完美路径。我注意到，它并非简单地将所有年份的题目堆砌在一起，而是采取了一种“主题式”的聚合策略，比如专门开辟了图论基础、生成函数应用、容斥原理的巧妙运用等几个核心模块。这种结构的好处是，读者可以针对性地去攻克某个知识盲点。比如，当我发现自己对“鸽巢原理”的变体掌握不够熟练时，可以直接翻到对应章节，那里汇集了十余年间所有涉及此概念的压轴难题，而且每道题的解析都详尽得令人感动。更绝妙的是，它在每部分开头都辅以了简短而精炼的理论回顾，不是大段枯燥的证明，而是直击考点、直击思维方式的提炼，这极大地提高了学习效率。很多竞赛辅导书只是罗列题目，这本书却像一位循循善诱的良师，它不仅告诉你“怎么做”，更重要的是告诉你“为什么会想到这样做”。对于我这种需要进行高强度刷题训练以应对竞赛的选手来说，这种逻辑清晰、结构合理的编排，简直是效率的倍增器，避免了在不同年份的试题中盲目搜寻知识点的浪费时间。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计实在是太让人眼前一亮了，封面那种沉稳又不失活力的蓝色调，配上清晰的字体排版，拿在手里就感觉分量十足，仿佛提前预示了内容的深度和广度。我尤其喜欢它在细节上的处理，比如纸张的质感，虽然是针对竞赛用书，但用料上并没有马虎，翻阅起来触感非常舒服，即便是长时间伏案钻研那些复杂的组合图形和排列构造，眼睛也不会感到过分疲劳。侧面看，书籍的装订也非常结实，对于经常需要反复翻阅、圈点勾画的参考书来说，这是至关重要的。它不像有些出版社为了降低成本而采用的轻飘飘的纸张，让人总担心翻几次就会散架。这本书的封面设计没有采用那种老套的、堆砌公式的元素，反而用了一种抽象的几何图形来点题，透露出一种学术的严谨性，但又不失年轻读者喜欢的现代感。这本教材从外观上就给人一种“可靠、专业、值得信赖”的印象，放在书架上也是一个非常赏心悦目的存在，让人每次拿起它都充满学习的动力。可以说，出版社在图书的物理呈现上是下足了功夫的，这对于一套精选的竞赛真题集而言，是成功的第一步，它不仅仅是知识的载体，更像是一件精心制作的工具，激发着每一个数学爱好者的探索欲。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的解析部分给予最高的评价，这绝对是区分一本优秀教材与平庸参考书的关键所在。解析的深度和广度超出了我的预期。很多难题，尤其是那些涉及到代数与组合交叉领域的题目，往往存在不止一种解法，这本书非常负责任地呈现了“标准解法”与“巧妙解法”的对比。以某道关于序列计数的难题为例，其解析部分不仅清晰地展示了如何通过构造函数来求解，还用图示的方式阐释了另一种基于对称性划分的组合论证过程。这种多角度的解析，极大地拓展了读者的思路边界，让人意识到数学问题往往是殊途同归的，关键在于能否找到那个“最优雅的切入点”。此外，对于那些非常依赖于特定竞赛背景知识的题目，解析还会附带一个“背景知识补充”的小栏目，简要介绍该知识点在组合数学中的地位和常用技巧，真正做到了“授人以渔”。比起那些只有一两行结论性的解答，这本书的详尽剖析，是帮助我们把知识点真正内化为自身解题能力的坚实阶梯。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的不仅仅是解题技巧的提升，更是一种对组合数学本质美学的深刻体会。那些看似枯燥的集合、排列、组合，在经过一番抽丝剥茧的分析后，展现出令人惊叹的内在规律和结构美感。这本书的选材非常精到，它没有收录太多偏门冷僻、考点重复的“注水”题目，而是集中了那些真正能体现组合学思想精髓的“压轴好题”。例如，涉及代数结构（如群论的初步概念）与组合构造相结合的题目，在书中占有相当比重，这充分体现了现代数学竞赛对综合能力的要求。阅读并消化这些题目后，我发现自己看待日常事物的方式都发生了一些微妙的变化，对“可能性”和“结构”的敏感度提高了。这套书已经超越了一般的“工具书”范畴，它更像是一本引领读者深入数学思维殿堂的“引路明灯”。它不仅仅是为了“赢在赛场”，更是为了培养一种严谨、创新且富有创造力的数学心性，这才是对于任何一个热爱数学的人来说，最宝贵的收获。

评分☆☆☆☆☆

时间跨度上的选择——2002年至2012年，这十年恰恰是国内数学奥赛体系经历深刻变革和创新的关键时期。我发现，这本书巧妙地捕捉了这一时期的“风向标”变化。早期的试题（例如2002-2005年）可能更侧重于对经典原理的扎实应用，计算量适中，而越往后，特别是临近2012年的题目，其抽象程度和对跨学科思维整合的要求明显提高。通过对比这十年的真题，我能清晰地看到竞赛难度螺旋上升的轨迹。这本书的存在，就像一个时间胶囊，让我们得以窥见历届命题人思维的演变。对于准备参加后续年份考试的考生而言，理解这十年的演变趋势至关重要，它能帮助我们预判未来可能出现的创新点和陷阱设置。这种跨越式的时间纵深感，远非只关注近几年热门题型的资料所能比拟，它提供了一种宏观的历史视角，让我们的复习更具前瞻性和针对性，避免了在已经过时的题型上浪费过多精力。