现代数学基础丛书·典藏版46：对称性分岔理论基础 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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唐云 著

图书标签:

• 数学
• 分岔理论
• 对称性
• 动力系统
• 非线性科学
• 拓扑学
• 数学物理
• 典藏版
• 基础教材
• 理论研究

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030061393

版次：1

商品编码：12139150

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书·典藏版46

开本：16开

出版时间：1998-03-01

用纸：胶版纸

页数：308

字数：259000

正文语种：中文

内容简介

　　近十多年来迅速发展起来的对称性分岔理论方法因其深刻的数学基础，以及在固体力学、流体力学、物理学、化学、生物学及一些工程领域中的重要应用，已受到许多数学及应用科学工作者的日益关注，特别地，近年来关于对称混沌吸引子的一些结果已成为等变动力系统理论中一个值得注意的方向。《现代数学基础丛书·典藏版46：对称性分岔理论基础》系统地阐述与对称性有关的分岔和混沌吸引子的理论、方法及其应用，《现代数学基础丛书·典藏版46：对称性分岔理论基础》论证严谨、深入浅出，能使读者在较短的时间内掌握对称性分岔与混沌吸引子的理论基础，并较快地深入到与此相关的各种问题的研究中去，每章末附有习题，以便于读者深入理解《现代数学基础丛书·典藏版46：对称性分岔理论基础》内容。
　　读者对象为理工科大学数学系、应用数学系和其他相关专业的大学生、研究生、教师及有关的科学工作者。

内页插图

目录

第一章 引论
§1．1 对称性分岔问题和方法
1．1．1 分岔问题
1．1．2 对称性
1．1．3 稳定性和对称性的变化
1．1．4 Hopf分岔
1．1．5 离散系统的对称性分岔问题
1．1．6 对称性分岔问题的处理方式
§1．2 泛函分析工具
1．2．1 Banach空间中的微分运算
1．2．2 反函数和隐函数定理
1．2．3 静态分岔存在的必要条件
1．2．4 Fredholm算子
§1．3 Liapunov-Schmidt简约
1．3．1 Liapunov-Schmidt简约的基本步骤
1．3．2 系数计算公式
1．3．3 Fredholm算子情形
1．3．4 应用
§1．4 奇点理论初步
1．4．1 有关的代数知识
1．4．2 芽空间
1．4．3 Malgrange预备定理
§1．5 Malgrange预备定理的证明
1．5．1 除法定理
1．5．2 Malgrange预备定理的证明
1．5．3 引理1．5．3 的证明
1．5．4 Nirenberg延拓定理的证明
习题一

第二章 单变量分岔理论
§2．1 轨道切空间
2．1．1 等价和强等价
2．1．2 轨道切空间
2．1．3 轨道切空间的基本定理及推论
§2．2 内蕴理想与识别问题
2．2．1 内蕴理想
2．2．2 最大和最小内蕴理想
……
第三章 群论方法
第四章 等变分岔理论
第五章 向量场的局部分岔理论方法
第六章 对称破缺理论
第七章 离散系统中吸引子的对称性
参考文献

前言/序言

　　对称性是指在某个群的作用下不变的性质，具有对称性的分岔问题在参数通过分岔值时，其解的个数，稳定性及对称性都可能发生变化。由于这种变化所揭示的现象带有普遍性，对称性分岔理论在固体力学、流体力学、物理学、化学、生物学及一些工程领域中都有着重要应用，并已成为许多数学及应用科学工作者关注的课题。
　　对称性分岔理论用到的数学工具除微分方程、泛函分析等分岔理论通常采用的方法外，还以奇点理论和群论方法作为其理论基础，奇点理论最初在1970年前后由R.Thom以突变理论的形式提出，并由J.Mather[Mat1-3]给出了严格的数学论证，V.I.Arnold还在向量场的局部分岔应用方面作了发展。自本世纪70年代末以来，M.Golubitsky等人[GSc1，2]将奇点理论同群论方法结合起来，系统地用于分岔问题的研究，以后又将群论工具用于离散系统吸引子的对称结构研究。他们的工作大大丰富和发展了这方面的理论，并在一系列应用问题方面取得了举世瞩目的成效。
　　奇点概念描述了系统连续变化过程中出现的间断结构，引进群的对称性之后，进一步丰富了它的研究对象。运用奇点理论和群论方法来研究分岔理论大致能比较满意地处理以下几方面的问题：
　　（1）将映射的分岔问题化为比较简单的正规形（识别问题），并通过分岔问题级数展式的前有限项来确定其多重解的性态（有限确定性）。
　　（2）研究分岔问题在一般扰动下的解的结构（普适开折）及其不变性质（持续性），并对所涉及的分岔问题按余维数进行分类（分类问题）。
　　（3）通过运用群表示论和不变量理论工具将分岔理论的研究范围拓广到具有对称形式的解的结构变化并使计算过程简化。
　　（4）对于Hopf分岔及与周期解、拟周期解有关的分岔问题作出统一的处理，并给出可行的计算公式。
　　（5）运用群论方法对于分岔问题的对称破缺和增加过程，及分岔解的稳定性质作出较为有效的处理。
　　（6）群论工具还可用来研究等变离散系统的吸引子，特别是混沌吸引子的对称性结构，增减和转迁过程。

现代数学基础丛书·典藏版47：非线性动力学导论 丛书系列： 现代数学基础丛书·典藏版 本卷编号： 47 书名： 非线性动力学导论 --- 内容简介 《非线性动力学导论》旨在为读者提供一个全面而深入的非线性动力学系统研究的入门指南。本书聚焦于超越传统线性系统分析范畴的复杂系统行为，特别是那些在自然科学、工程技术和社会经济领域中普遍存在的非线性现象。本卷内容设计精妙，结构严谨，从基础概念的建立到前沿研究方法的探讨，力求构建一个坚实的理论框架。 本书首先从动力系统的一般性描述入手，详细阐述了连续时间系统（常微分方程组）和离散时间系统（映射）的基本数学工具和相空间（Phase Space）分析方法。重点介绍了相平面分析技术，包括平衡点（不动点）的分类、稳定性判据（如李雅普诺夫稳定性理论在非线性系统中的应用），以及相轨迹的几何特性。 随后，本书深入探讨了非线性系统特有的复杂行为。其中一个核心部分是极限环（Limit Cycles）的分析。读者将学习如何运用庞加莱-本迪克森理论（Poincaré-Bendixson Theorem）来确定二维系统中周期解的存在性，并了解如何使用谐波平衡法和平均场方法对周期解进行初步估计。 本书的另一大亮点是对混沌（Chaos）现象的系统性阐述。作者清晰地界定了混沌的数学特征，如对初始条件的敏感依赖性（蝴蝶效应的数学基础）、拓扑混合性以及遍历性。为量化和识别混沌，本书详细介绍了庞加莱截面（Poincaré Sections）的构建与应用，以及李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）的计算及其物理意义。通过对经典模型（如洛伦兹系统、Rössler吸引子）的深入剖析，读者可以直观地理解高维、非周期性运动的内在规律。 在方法论层面，本书详尽介绍了分岔理论的基础，尽管本书的重点并非专门探讨分岔的分类，但它为理解系统参数变化时定性结构的变化奠定了必要的基础。内容涵盖了鞍点环化（Saddle-Node Bifurcation）、超临界和次临界Hopf分岔（Supercritical and Subcritical Hopf Bifurcation）等最基本的局部分岔，以及这些分岔如何将平静状态导向周期振荡或更复杂的吸引子。 此外，本书特别关注了高维系统的复杂性。在介绍耗散结构（Dissipative Structures）时，探讨了奇异吸引子（Strange Attractors）的几何特性，如分形维数（Fractal Dimension）的概念及其计算方法，这为理解湍流、气候模型等宏观复杂现象提供了数学工具。 全书的叙述风格旨在平衡数学的严谨性和应用的直观性。每章末尾均附有精心设计的习题，涵盖理论推导、数值模拟和实际案例分析，以期培养读者运用非线性工具解决实际问题的能力。 适用读者： 本书适合具有扎实微积分、线性代数和常微分方程基础的数学、物理、工程学、生物学和经济学等相关专业的高年级本科生、研究生以及从事相关研究的科研人员。对于希望系统了解非线性动力学核心概念的自学者而言，本书也是一个理想的起点。 --- 核心章节提要 第一部分：动力系统的基础与分析工具 1. 动力系统的数学框架： 状态空间、流的概念、解的性质。 2. 一阶与二阶自治系统： 平衡点的稳定性分析，相轨迹的定性描绘。 3. 李雅普诺夫稳定性理论： 直接法与间接法，全局稳定性概念。 4. 庞加莱映射与离散系统基础： 映射的迭代、周期点与稳定性。 第二部分：周期运动与分岔的初步考察 5. 极限环的生成与存在性： 庞加莱-本迪克森理论的应用。 6. 极限环的稳定性与初级分岔： 局部性质的改变，鞍点连接与周期解的出现（为后续深入研究分岔现象作铺垫）。 7. 周期倍增与碰撞现象： 简单周期振荡向复杂行为的过渡。 第三部分：复杂行为的量化与识别——混沌动力学 8. 对初始条件的敏感性： 混沌的定义与可预测性的边界。 9. 庞加莱截面的运用： 将高维连续系统转化为低维离散映射，辅助分析。 10. 拓扑不变量与特征量： 系统的扩张/收缩率——李雅普诺夫指数的物理意义及其计算。 11. 经典混沌模型研习： 洛伦兹吸引子与热对流模型。 第四部分：结构的复杂性与高维吸引子 12. 奇异吸引子的几何特征： 吸引子的概念延伸，分形维数与信息维度的初步介绍。 13. 耗散系统中的湍流行为： 速度场的非周期性演化与统计特性。 14. 耦合系统的动力学： 相互作用对整体稳定性的影响（简要概述）。 附录： 数值方法简介（如龙格-库塔法在动力学模拟中的应用）。 --- 本书特色： 深度与广度兼顾： 不仅覆盖了动力学的经典分析方法，也注重引入现代量化工具（如李雅普诺夫指数）。 严格的数学推导： 确保读者对理论背后的数学原理有清晰的认识。 强调几何直觉： 大量使用相图、流场图示，帮助读者建立对高维运动的直观理解。 本书是理解复杂系统科学的基石之一，对于跨越数学与应用科学边界的研究者具有不可替代的价值。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计和装帧实在是太有品位了，典藏版的质感扑面而来，拿在手里沉甸甸的，那种对知识的尊重感油然而生。我平时非常喜欢收藏那些设计精良、内容扎实的数学书籍，而这本《现代数学基础丛书》的系列特质在这本分册上体现得淋漓尽致。内页的纸张选择也让人感到舒适，即便是长时间阅读，眼睛的疲劳感也减轻了不少。装订非常结实，看得出出版社在制作上的用心，相信即使是经常翻阅，也能保持良好的品相。光是看着它静静地躺在书架上，就觉得整个书房的格调都提升了一个档次，它不仅仅是一本工具书，更像是一件值得珍藏的艺术品。那种厚重的历史感和现代数学的严谨性完美地融合在了这本实体书的每一个细节里，从字体排布到章节划分，都透露出一种对读者体验的极致追求。

评分☆☆☆☆☆

我对非线性动力学和系统稳定性分析领域一直抱有浓厚的兴趣，总觉得在那些看似稳定的系统中，隐藏着瞬间崩溃或剧烈转变的潜力，这简直是数学中最引人入胜的部分之一。我一直在寻找那些能够系统性地梳理从稳定平衡态到复杂周期解或混沌状态演化路径的著作。理想中的读物，应该能详尽地展示诸如不动点分析、雅可比矩阵的特征值、以及如何通过参数变化来观察系统行为的定性变化。更重要的是，我希望它能提供足够多的案例研究，哪怕是简化的模型，也能帮助我理解为什么某些微小的扰动会导致系统状态的剧烈重构，那种从有序到无序的“质变”过程，才是最吸引我的地方。

评分☆☆☆☆☆

我最近在阅读一些关于复杂系统建模的论文，发现其中频繁引用了一些关于系统“相变”的数学工具，但很多时候，我只能囫囵吞枣地理解其表层含义，无法深究其背后的数学机理。我需要一本能够提供扎实数学根基的书籍，来彻底厘清这些概念是如何从基础的微积分和线性代数概念中生长出来的。特别是关于某些函数形式的微小变化如何导致全局行为的巨大差异，这种“灵敏度”分析是构建任何可靠预测模型的基石。我希望这本书能像一个资深的导师一样，耐心地引导我理解这些复杂现象背后的简洁而深刻的数学原理，而非仅仅停留在公式的堆砌上。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对计算科学有一定了解的爱好者，我深知在数值模拟中，算法的收敛性和步进策略的稳定性是多么关键。很多时候，我们使用有限差分或有限元方法去逼近一个连续系统的解，但如果不对系统的固有特性，比如它对小扰动的敏感度有深刻的认识，那么得到的数值结果很可能就是毫无意义的噪声。因此，我非常希望能找到一本能够深入剖析在数值求解过程中，如何通过数学理论来指导选择最优的步长和迭代方法，以避免在遇到系统临界点时计算崩溃的书籍。这种结合了纯理论与工程实践的交叉视角，对于提升模拟的可靠性至关重要。

评分☆☆☆☆☆

最近我沉迷于探究那些看似抽象的数学概念如何在现实世界中找到对应的物理现象，尤其是那些涉及到结构稳定性与突变的地方。我尝试着去寻找那些能清晰阐述“临界点”概念的权威著作，希望能建立一个坚实的概念框架。很多教材往往过于侧重于纯粹的理论推导，而忽略了对现象背后驱动力的直观描述，导致理解起来总像隔着一层纱。我期待能找到一本能够将严密的数学语言与生动的物理图像有效结合起来的书，让那些原本枯燥的函数行为变化，能够在我脑海中形成清晰的动态画面，而不是仅仅停留在符号演算的层面。寻找一本能真正搭建起抽象模型与具体应用之间的桥梁的书籍，一直是我近期的阅读目标。