普通高等教育“十一五”***规划教材/中国科学技术大学数学教学丛书：数值计算方法与算法（第三版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张韵华 著

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• 数值计算
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• 算法
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• 数学
• 科学计算
• 计算机科学
• 中国科学技术大学
• 第三版

出版社： 科学出版社有限责任公司

ISBN：9787030496997

版次：3

商品编码：11966317

包装：平装

丛书名： 中国科学技术大学数学教学丛书

开本：16开

出版时间：2016-08-01

用纸：胶版纸

页数：224

字数：282000

正文语种：中文

产品特色

编辑推荐

适读人群 ：计算机是数值计算方法最常用的计算工具，随着计算机技术的迅速发展和普及，计算方法课程已成为所有理工科学生的必修课程。
中国科学技术大学考研指定图书，内容经典，高屋建瓴。

内容简介

本书覆盖了计算方法最基本的内容，内容的顺序为“插值”、“数值微分和数值积分”、“曲线拟合”、“非线性方程求根”、“解线性方程组的直接法”、“解线性方程组的迭代法”、 “计算矩阵特征值和特征向量”和“常微分方程数值解”。最后一章给出用符号计算语言Mathematica做各章计算方法的例题。
本书参考了国内外多本计算方法教材，例如，由教育部高等教育司推荐的国外优秀信息科学与技术系列教学用书，Richard L. Burden数值分析（Numerical Analysis），并吸取了他们的优点，例如，给出大部分方法对应的算法。通过算法缩短数学方法和计算机实现的距离。
本书例题丰富，通过典型例题帮助学生进一步理解计算对象、计算公式、限定条件和计算步骤。学习计算方法中的逼近和迭代等数学思想，掌握常用的数值方法，获取近似计算的能力，激发学生的学习兴趣，扩大学生数值计算的知识面，并能触类旁通地应用到各自的科研和技术领域中，培养学生的数学综合分析能力和计算能力。

作者简介

张韵华，中国，汉，1972.4至1975.12就读于中国科学技术大学数学系计算数学专业，毕业后留校任教至今，1991.10获中国科学技术大学计算机系软件硕士学位。1991.10获中国科学技术大学计算机系软件硕士学位。从事数值计算方法、符号计算系统的和计算机辅助教学的应用。已发表相关论文10多篇和著作7部。

目录

第三版目录
第1章 插 值
1.1拉格朗日（Lagrange）插值多项式
1.1.1线性插值
1.1.2 二次插值
1.1.3 n次拉格朗日插值多项式
1.2牛顿(Newton) 插值多项式
1.2.1 差商及其计算
1.2.2 Newton插值
*1.3 Hermite插值
1.4 三次样条函数
1.4.1分段插值
1.4.2 三次样条插值的M关系式
1.4.3 三次样条插值的m关系式
习题1
第2章?最小二乘拟合
2.1拟合函数
2.2多项式拟合
2.3矛盾方程组
习题2
第3章 非线性方程求解
3.1 迭代法
3.1.1实根的对分法
3.1.2 不动点迭代
3.1.2 不动点迭代
3.2牛顿迭代法
3.3弦截法
3.4求解非线性方程组的牛顿方法
习题3
第4章?求解线性方程组的直接法
4.1 Gauss消元法
4.1.1 Gauss顺序消元法
4.1.2 Gauss列主元消元法
4.2 直接分解法
4.2.1 Doolittle分解
4.2.2 Crout分解
4.2.3 特殊线性方程组
习题4
第5章 求解线性方程组的迭代方法
5.1 简单（Jacobi）迭代
5.1.1 Jacobi迭代计算公式
5.1.2 Jacobi 迭代收敛条件
5.2高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代
5.2.1高斯-赛德尔迭代计算
5.2.2 高斯-赛德尔迭代矩阵
5.3 松弛迭代
5.3.1松弛迭代计算公式
5.3.2 松弛迭代矩阵
习题5
第6章数值积分和数值微分
6.1 牛顿-柯特斯数值积分
6.1.1 插值型数值积分
6.1.2 牛顿-柯特斯（Newton-Cote’s）积分
6.2 复化数值积分
6.2.1 复化梯形积分
6.2.2复化Simpson积分
6.2.3自动控制误差的复化积分
6.2.4龙贝格 (Romberg )积分
*6.3 重积分计算
*6.4 高斯(Gauss)型积分
6.5 数值微分
6.5.1 差商与数值微分
6.5.2插值型数值微分
习 题 6
第7章 常微分方程数值解
7.1 欧拉(Euler)公式
7.1.1 基于数值微商的欧拉公式
*7.1.2 欧拉公式的收敛性
7.1.3 基于数值积分的近似公式
7.2 龙格-库塔方法
7.2.1二阶龙格-库塔方法
7.2.2 四阶龙格-库塔格式
7.3 线性多步法
7.4 常微分方程组的数值解法
7.4.1 一阶常微分方程组的数值解法
7.4.2 高阶常微分方程数值方法
*7.5常微分方程的稳定性
习题7
第8章 计算矩阵的特征值和特征向量
8.1 幂法
8.1.1 幂法计算
8.1.2 幂法的规范运算
8.2反幂法
*8.3 实对称矩阵的Jacobi方法
*8.4 QR方法简介
8.4.1 QR方法初步
8.4.2矩阵的QR分解
习题8
附录1 上机作业题
附录2 C语言程序示例
程序1 构造Newton插值多项式
程序2 弦截法求根
程序3 超松弛迭代求解方程组
程序4 龙贝格( Romberg )积分算法
程序5 四阶龙格—库塔法求解常微分方程初值问题
附录3 在符号语言Mathematica中做题
1插值
2曲线拟合
3求解非线性方程
4求解线性方程组
5数值积分
6常第1章 插 值
第2章?最小二乘拟合
第3章 非线性方程求解
第4章?求解线性方程组的直接法
第5章 求解线性方程组的迭代方法
第6章数值积分和数值微分
第7章 常微分方程数值解
第8章 计算矩阵的特征值和特征向量
附录1 上机作业题
附录2 C语言程序示例
附录3 在符号语言Mathematica中做题

精彩书摘

绪论
0.1数值计算方法与算法
数值计算方法，是一种研究数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。它的计算对象是那些在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题，以及没有解析解的数学问题。例如，解一个有300个未知量的线性方程组；计算6阶矩阵的全部特征值。
在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如，在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字字样设计中都有计算方法的踪影。在70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的必修课程。
计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科，计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征。计算方法的前提课程是微积分，线性代数，常微分方程和一门计算机语言。
大多数人学习计算方法的目的是为了使用方法，在学习计算方法中，在套用计算公式、修改计算公式和创建计算公式中，都需要不同程度的专业知识和数学基础。要注重学习计算方法中的逼近和迭代等数学思想和常用手法，获取近似计算的能力，并能触类旁通地应用到各个领域中。一些有创造力的工程师不仅擅长使用某些计算方法，并能创建出简便有效的计算方法。例如，样条函数、快速富里叶变换和有限元方法都是有创造力的工程师们创建的，再由数学家们完善这些方法的理论基础，并从理论上进行提高和推广。
从方法的计算公式到在计算机上实际运行，两者之间还有距离，这是数学能力与计算机应用技术能力之间的距离，还与计算机的运行环境和编程工具有关，为了缩小两者之间的距离，本文将给出部分计算公式的算法描述。用算法容易准确而简便地描述计算公式，在算法中能简洁地表达计算公式中的“循环”和“迭代”等操作。有了方法的算法，将它转化成C或PASCAL等语言的程序上机运行也就容易了。
在学习计算方法过程中，如果能用某种语言编制该方法的程序并运行通过，那么有利于准确而深刻地掌握该方法的计算步骤和过程。
本教材中提供了部分上机作业题，在平时作业中布置一些上机编程题目，其目的是通过编程上机，加深对方法实施的理解和体会，训练和提高数学与计算机应用能力和水平。
0.2 误差与有效数字
绝对误差与绝对误差界
近似计算必然产生误差，误差表示精确值与近似值的距离。
定义0.1 设 为精确值（或准确值）， 是 的一个近似值，称 为近似值 的绝对误差或误差。
绝对误差 = 精确值 ? 近似值
误差 的值可正可负，如果得不到精确值 ，也就算不出绝对误差 的值。常用限制误差绝对值的范围 描述和控制误差的范围。
定义0.2 如果精确值 与近似值 的误差的绝对值不超过某正数 ，即

称 为绝对误差限或误差限。
精确值 也可表示为： 。通常，在误差允许的范围内的近似值 即认为是精确值，这也是计算中控制循环中止的常用手段。
例0.1 若经四舍五入得到 ，对于数 , 的近似值都是 ，
即第四位小数大于5时，必然进位到第三位小数；第四位小数小于5时，必然舍去。
它的误差限是：

若 ，则它的误差限是：

相对误差与相对误差限
在很多情况下，绝对误差并不能全面的反映近似程度。例如，某电器公司两次进货的某型号电风扇分别为1000台和2000台，其中开箱不合格电风扇分别为8和12（绝对误差的值）。不合格率分别为8/1000=0.8%和12/2000=0.6 %（相对误差的值），这说明该电风扇的质量有所提高。我们把近似值与准确值的比值定义为相对误差。
定义0.3 设 为精确值， 是 的一个近似值
称 为近似值 的相对误差。
在实际计算中，有时得不到精确值 ，当 较小时 可用近似值 代替，即

相对误差 = 或 相对误差 =
相对误差 的值也可正可负，与绝对误差一样不易计算，常用相对误差限控制相对误差的范围。
定义0.4 如果有正数 使得 ，则称 为 的相对误差限。
产生误差的因素很多，产生误差的原因主要有
原始误差
由客观存在的模型抽象到物理模型产生的误差。包括模型误差和原始数据误差。
截断误差
用有限项近似无限项时，由截取函数的部分项而产生的误差，称为截断误差。
例如： ，在计算中用
的截断误差
舍入误差
在数值计算中，通常都按有限位进行运算。例如，按照4舍5入的原则，2 / 3=0.666667
或2 / 3=0.667，由舍入产生的误差，称为舍入误差。
在实际计算中的数据通常是近似值，它们由观察、估计或一些计算而得到，这些数在计算机表示后也会带来进一步误差，即误差的积累和传播。关于误差的传播似乎没有多少统一的理论，通常积累误差的界是以通例分析为基础而建立的。
有效位数
定义0.5 当 的误差限为某一位的半个单位，则这一位到第一个非零位的位数称为 的有效位数。
例如， = 12.34 , = 0.004067均有4位有效数字，而3.00与3.0000分别有3位和5位有效位数。
有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差，因此，在计算中也应注意保持一定的有效位数。

数值计算的近似计算免不了有误差相随，只能尽量约束和控制误差。
选择收敛的稳定的方法
对同一问题选择不同的数值计算方法，可能得到不同的计算结果。在计算方法中，除了给出方法的数值计算公式，还要讨论计算公式的收敛性、稳定性和截断误差的特性。选择收敛性要求低、稳定性好的方法是约束误差扩张最重要的措施。例如，样条插值函数比高次多项式的效果好的多，是构造插值函数的首选方法。
提高数值计算精度
数值在计算机中存放的位数称为字长。有限位的字长是带来舍入误差和抑制数值计算精度的根源。对同一种方法，在字长大的计算机上的计算效果要比在字长小的计算机上优越。
同一计算问题，简化计算步骤、减少运算次数、控制除法中分母的值等措施都会约束和减少舍入误差.
例如：将多项式表达式 ，改写为

在计算机上，用同一种数值计算方法对数据选用不同的数值类型，有时会直接影响到计算效果。例如，对病态的线性方程组，采用单精度数据的Gauss消元方法，其数据解大大失真，而用双精度数据Gauss列主元消元方法却可得到满意的数值解。

0.3 矩阵和向量范数
0.3.1向量范数
1. 向量范数的定义
在一维空间中，实轴上任意两点 的距离用两点坐标差的绝对值 表示. 绝对值是单变量的一种度量距离的定义.
范数是在广义长度意义下，对函数、向量和矩阵的一种度量定义. 任何对象的范数值都是一个非负实数. 使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离. 向量范数是度量向量长度的一种定义形式. 范数有多种定义形式，只要满足定义1.1中的三个条件即可定义一个范数.
对任一向量 ，按照一个规则确定一个非负实数与它对应，记该实数为 ，若 满足下面三个性质：
(1) 任取 ，有 ,当且仅当 时， （非负性）
(2) 任取 ， 有 （齐次性）
(3) 任取 ，有 (三角不等式）
那么称实数 为向量 的范数.
定义 0.6 向量 的 范数（ 范数）定义为
, （0.1）
其中，经常使用三种 向量范数是 .
1-范数(曼哈顿范数)

2-范数(欧几里得范数)

或写成
-范数

注：

例0.2 计算向量 的向量范数.
,


例0.3 设A是一个正定矩阵，对任何向量 ，定义函数 ,
是一种向量范数.
例0.4 当 ， 不是向量范数.
证明 取 则
，

不是向量范数.
2. 不同向量范数的关系
同一向量，在不同的范数定义下，得到不同的范数值. 定理0.1给出有限维线性空间 中任意向量范数都是等价的.
定理0.1 若 是 上两种不同的范数定义，则必存在 ，使 ，均有
（0.2）
或 （证明略）
可以验证，对于向量的1、2和 范数有下列等价关系
，


例0.5 图示 中向量1范数、2范数、4范数和 范数的单位“圆”.

图0-1范数的单位“圆”
向量的极限
向量范数的定义提供了度量两个向量的距离标准，即可定义向量的极限和收敛概念了.
定义 0.7 设 为 上向量序列，若存在向量??
有 ，则称向量列 是收敛的， 称为该向量序列的极限.
由向量范数的等价性，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关. 向量的极限是通过它的所有分量的极限定义的。不论选取那种范数,向量序列 收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即 存在. 若 ，则 就是向量序列 的极限. 在数值计算中，当迭代的向量序列中相邻两个向量的误差 给定精度时，视 为极限向量 .
0.3.2矩阵范数
1. 矩阵范数定义
设 ，记方阵 的范数为 ，矩阵范数满足下列性质：
(1) 当且仅当 时， （非负性）
（2） （齐次性）
（3） 对于任意两个同阶矩阵 有
(三角不等式）
（4）设 为同阶矩阵,则 （相容性）
（5）设 为 阶阵,对 ，
恒有
只要满足(1) (2) (3)就可以定义一个矩阵范数。矩阵范数可用向量范数定义.
定义 0.8 设 ，定义矩阵范数 （0.3）
下面简化矩阵范数的（0.3）式的定义.
，设 且 ，则

即：
这样，在 上 的选取范围由一张平面压缩到单位圆周上；在 上选取范围由三维空间压缩到单位球面上.
定义0.9 设 是 上的一个向量范数，则由
（0.4）
定义的实值函数 是一个矩阵范数。
这类范数称为算子范数，诱导范数或从属范数。几何直观上，矩阵范数是矩阵对向量的最大拉伸。
2. 常用矩阵范数
对应于向量的三种范数，相应的三种矩阵范数形式为：
（列和范数）
（行和范数）
，其中 ， 是 的特征值
* 证明： 矩阵的范数是 上满足 向量范数 的上确界，那么，找到这个上确界也就找到了矩阵的范数.
（1） 任取 设 ，则


即
设极大值在 列达到，有 ，取 ， 除第 个分量为1外，其余分量均为0，
于是有 .
由定义和 ，故 . 因此有

（2） 任取 设 ，则

即
另一方面设极大值在k行达到，取
这里
于是 . 故

（3） 为半正定对称矩阵，具有非负特征值，并具有n个相互正交的单位特征向量.
设 的特征值为 ，相应的特征向量为 ，其中 为相互正交的单位向量.
设 ，并且 ， . 则


即对任意 均有：
故 . 取 ，则有

得到 .
如果A是对称矩阵，那么 ，设 的特征值是 ；则有
.
按(0.8)定义的矩阵范数满足矩阵范数中所需的各种条件，称它为从属于该向量范数的矩阵范数. 由(0.8)定义对一切非零向量Ｘ，有
　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 （0.5）
使得(0.5)成立的矩阵与向量范数称为相容性. 根据定义，对任一种从属范数有 ，即单位矩阵的范数是1.
还要介绍一种矩阵范数，称为弗罗贝尼乌斯（Frobenius），用 表示，其定义为
　　　　　　　　　　　（0.6）
因为Frobenius范数易于计算，在实用中是一种十分有用的范数. 但它不能从属于任何一种向量范数，因为 .
与向量范数的等价性质类似，不同定义的矩阵范数之间也是等价的.
例0.6 A = , 分别求 ， ， ，
解 = max , = 10
= max , = 12
= = .
的特征值为： ,
=
=
3. 谱半径与收敛矩阵
若?是矩阵 的特征值， 为其特征向量， ，对任一相容的矩阵范数

（0.7）
即矩阵特征值的模不大于矩阵的任一范数.
定义 0.10 ，这里 为 的特征值， 称为 的谱半径.
由矩阵谱半径定义，可得到矩阵范数的另一重要性质， . 由矩阵谱半径定义，记
定义 0.11 设{ }为 上的矩阵序列，若存在 ，使得

则称序列{ }是收敛的，并称 为该序列的极限。
由矩阵范数的等价性，矩阵序列 的收敛性与矩阵范数的定义无关。
定义 0.12 当 称 为收敛矩阵。
定理 0.2 的充分必要条件是 .
证明 每个复方阵都可以相似到Jordan标准形，故只需考虑 是Jordan块的情形． ，其中 是关于 的 次多项式．当 时， ．当 时， 不成立．证毕．
推论： 的充分条件是存在一个范数 ，使得 .
证明: . 则
.
由范数的性质得 .
0.3.3 矩阵的条件数
在解方程组时，我们总是假定系数矩阵 和常数项 是准确的，而在实际问题中，系数矩阵 和常数项 往往是由于前面的近似计算所得，元素的误差是不可避免的. 这些误差会对方程组 的解 有多大的影响？矩阵的条件数给出一种粗略的衡量尺度.
定义0.13 若 非奇异，称 为 的条件数. 其中 表示矩阵的某种范数.
，当 为正交矩阵时 。
注：
用矩阵 及其逆矩阵 的范数的乘积表示矩阵的条件数，由于矩阵范数的定义不同，因而其条件数也不同，但是由于矩阵范数的等价性，故在不同范数下的条件数也是等价的.
对于线性方程组 ,若常数项 有小扰动 ，设 ， 受到 的影响表示为 ：
(0. 8)
分析：


若系数矩阵有小扰动 ，这时方程组的解也有扰动 ，于是 ， 受到 的影响表示为 ：
(0.9)
定理0.3 设 ， 非奇异， 和 是 和 的扰动， ，则
(0.10)
矩阵条件数的大小是衡量矩阵”好”或”坏”的标志. 因此，称 大的矩阵为“坏矩阵”或“病态矩阵” ，对于 大的矩阵，小的误差可能会引起解的失真. 一般说来， 若 的按模最大特征值与按模最小特征值之比值较大时，矩阵就会呈病态.
例0.7方程组

方程组的准确解为：
对常数项 引入小扰动 = , 则
，
，故 ,
, 解的相对误差是右端项相对误差的2500倍。
从几何上看，这两个方程是平面上的两条直线，求方程组的解是求两条直线的交点，条件数大表明这两条直线接近平行，求解中对误差必然敏感。
对常数项 引入小扰动 = , 则
，
对常数项 引入小扰动 = , 则
，
注：本节矩阵范数内容可以放在第4章中。

前言/序言

第三版前言
本教材从2000年1月第一版第一次印刷至今已历经16年，2006年9月修订为第二版，其后又修订过两次, 并入选高等教育“十一五”国家规划教材。
在修订本版教材前征求我校信息与计算科学专业的相关教师和主讲教师的意见，张梦萍教授、徐炎教授、童伟华副教授、段雅丽副教授、夏银华副教授、张明波博士和陈先进博士都提出了建设性的修改建议和意见，在此深表感谢。
下列本版教材的修订内容：
对章节目录做了适合教学结构的部分调整，对有些章节的顺序做了变动。将原版各章C语言例题统一放在附录2中，将用数学软件mathematica做题的例题放在附录3中；
增加了部分内容的定理证明。例如：（第4章附录中）直接法误差分析；（第5章中）Gauss-Seidel迭代的收敛性证明等；
在部分章节增加了图示，用图示表明数学定义或公式的几何意义。例如：图示向量范数，图示复化Simpson积分公式积分系数；
在部分章节增加了例题，将拓宽的内容融合在例题中供选用。例如：构造中心差商的外推公式，用Householder变换作出矩阵A的QR分解。

本教材仅提供了数值计算方法课程的基本内容，主讲教师在教学中常会对针对所在院系会对部分章节内容做更深入的展开，也会根据学时的要求做相应的内容删减。为适应不同学时的课程要求将教材中部分内容表以星号供选择。

本教材的C语言程序和大部分插图由中国科学技术大学陈长松博士（现公安部第三研究所的研究员）和窦斗博士（现南京大学数学学院副教授）完成，在此向他们表示感谢！
感谢使用校内外本教材的教师和学生!
感谢科学出版社和中国科学技术大学教务处对第三版教材的出版支持！

编 者
2016.7

内容简介 本书是一本面向高等院校本科生和研究生，涵盖数值计算方法与算法核心内容的经典教材。在继承前两版精髓的基础上，第三版对全书内容进行了系统梳理与更新，力求在理论深度、算法广度以及教学实践方面达到新的高度，使其更加契合当前科学技术发展对计算方法的需求。 本书的编写宗旨在于帮助读者掌握解决各类数学问题的数值计算方法，理解不同算法的原理、优缺点及适用范围，并具备初步的算法设计与实现能力。通过深入学习本书内容，读者将能够运用数值计算的思想和工具，有效地解决工程、科学研究以及其他领域中遇到的复杂计算问题。 全书共分为十章，内容编排由浅入深，逻辑清晰。 第一章 引言 概述了数值计算在现代科学技术中的重要地位和应用领域，介绍了数值计算的基本概念，如误差的来源与分类（截断误差、舍入误差），以及数值计算的基本要求（精度、收敛性、稳定性、效率）。本章旨在建立读者对数值计算方法的整体认识，激发学习兴趣。 第二章 非线性方程的求根 详细介绍了求解单变量非线性方程的几种经典迭代方法，包括二分法、试位法、不动点迭代法、牛顿法及其变种（割线法）。重点讨论了这些方法的收敛性条件、收敛阶以及实际应用中的注意事项。 第三章 线性方程组的求解 阐述了直接法和迭代法两类求解大型稀疏线性方程组的方法。直接法包括高斯消元法、Doolittle分解法、Crout分解法、Cholesky分解法，并分析了其计算量与稳定性。迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、逐次超松弛（SOR）方法，并深入探讨了它们的收敛性判据。 第四章 矩阵特征值与特征向量的计算 介绍了计算矩阵特征值和特征向量的常用方法，如幂法、反幂法、位移反幂法、QR算法及其简化形式。这些方法在振动分析、稳定性分析等领域有着广泛的应用。 第五章 插值与逼近 讲解了多项式插值（牛顿插值、拉格朗日插值）、样条插值（三次样条）等概念，以及最佳逼近的概念和常用方法（如最小二乘法）。本章内容是数据分析、函数拟合和信号处理的基础。 第六章 数值微分与积分 介绍了如何利用离散数据点进行数值微分和数值积分。数值微分的方法包括差商法；数值积分则涵盖了梯形法则、辛普森法则、复化求积公式以及高斯型求积公式，并分析了它们的精度和误差。 第七章 常微分方程初值问题的数值解法 重点讲解了求解常微分方程初值问题（IVP）的数值方法，包括欧拉法（前向、后向）、改进欧拉法、经典四阶龙格-库塔法，以及多步法（如Adams-Bashforth法、Adams-Moulton法）。本章内容是解决动态系统模拟的关键。 第八章 偏微分方程的数值解法 简要介绍了求解偏微分方程（PDE）的基本思想和常用方法，如有限差分法。以一维热传导方程和波动方程为例，讲解了显式和隐式差分格式的构造、稳定性和收敛性分析。 第九章 优化方法 介绍了无约束优化问题和约束优化问题的基本概念，并重点讲解了无约束优化中的梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法，以及约束优化中的乘子法和序列二次规划法（SQP）等。 第十章 傅里叶变换的数值计算 介绍了离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法——快速傅里叶变换（FFT）。FFT在信号处理、图像处理、数据压缩等领域具有极其重要的应用价值。 本书的特点在于： 1. 理论与实践相结合：每章都详细阐述了数值方法的数学原理，并提供了清晰的算法描述，同时结合了典型的算例和习题，帮助读者巩固所学知识。 2. 算法多样性与前沿性：涵盖了数值计算领域的经典算法，并适当引入了一些近年来发展较快的算法，以反映该领域的最新进展。 3. 严谨的数学分析：对算法的收敛性、稳定性和误差进行了深入的数学分析，帮助读者理解算法的局限性，并学会选择合适的算法。 4. 丰富的应用背景：在介绍算法时，穿插了相关的工程和科学应用背景，使读者能够理解数值计算的实际意义。 5. 精心设计的习题：每章末尾配有不同难度和类型的习题，旨在检验读者对理论知识的掌握程度，并锻炼其算法设计和分析能力。 本书不仅可以作为高等院校数学、计算数学、应用数学、计算机科学、工程类等专业本科生和研究生的教材，也是从事相关领域研究和开发的科技人员的重要参考书。通过学习本书，读者将能够建立扎实的数值计算理论基础，掌握解决实际问题的有效计算工具，为进一步的深入学习和科研实践奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书，让我深刻体会到数值计算方法在科学探索中的基石作用。在“最小二乘法”的讲解中，作者们用生动形象的例子，展示了如何利用有限的数据去估计未知参数，以及如何量化这种估计的不确定性。书中不仅详细阐述了正规方程法，还讨论了奇异值分解（SVD）在解决最小二乘问题中的应用，并对其数值稳定性进行了分析。这种从基本概念到高级方法的循序渐进的讲解方式，极大地增强了我对这一重要数值工具的理解。我特别欣赏书中对SVD的讲解，它揭示了矩阵的内在结构，为理解最小二乘问题的解以及其唯一性提供了深刻的洞察。

评分☆☆☆☆☆

这本书的第三版，相比于之前的版本，在内容上进行了相当的更新和完善，这一点对于经历过前几个版本的读者来说，是显而易见的进步。我尤其欣赏它在“数值积分”这一章节的处理。以前的版本虽然也覆盖了这一主题，但第三版在内容的深度和广度上都有了显著提升。它不仅详细介绍了复化梯形公式、复化辛普森公式等基本方法，还对高斯积分等更高级的数值积分技术进行了深入的剖析。更让我惊喜的是，书中增加了关于“自适应”数值积分的思想，这对于处理具有复杂变化行为的被积函数至关重要。作者们通过清晰的图示和严谨的数学推导，解释了如何根据被积函数的局部特征来动态地调整积分的步长，从而在保证精度的前提下，最大程度地提高计算效率。这不仅展示了数值计算在理论上的前沿发展，也体现了作者们紧跟时代步伐，将最新研究成果融入教材的良苦用心。读到这一部分时，我脑海中立刻闪现出许多实际应用场景，比如在物理模拟、工程设计中，复杂积分的计算往往是瓶颈，而书中介绍的这些方法，无疑为解决这些难题提供了强有力的工具。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，这本书的编排方式是我见过最人性化的之一。对于“非线性方程的求根”这一章节，作者们显然投入了极大的精力。他们并没有简单地罗列牛顿法、二分法、割线法等，而是从根源上分析了这些方法的原理，并对它们的收敛速度、适用条件做了详尽的比较。我特别喜欢书中通过图示来形象地展示每种方法的迭代过程，这使得抽象的数学概念变得生动具体。例如，在介绍不动点迭代法时，书中用简单的图形展示了迭代点如何在函数图像上“跳跃”，直到收敛到不动点，这种可视化教学的方式极大地降低了理解门槛。此外，书中还对多根问题、病态方程组等实际计算中可能遇到的难题进行了预警和探讨，并给出了一些应对策略，这对于初学者来说是非常宝贵的指导。读完这一章节，我不仅掌握了求解非线性方程的各种方法，更重要的是，我理解了不同方法背后的设计思想，以及如何根据具体问题的特点来选择最合适的方法。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，一开始我被这本书的“普通高等教育‘十一五’规划教材”和“中国科学技术大学数学教学丛书”这样的名头所吸引，认为它会是一本极其理论化、学院派的著作，可能会枯燥乏味。然而，事实证明我的顾虑是多余的。这本书在保持学术严谨性的同时，非常注重与实际应用的联系。比如，在讨论“线性方程组的数值解法”时，作者们并没有仅仅停留在高斯消元法、LU分解等基本算法的讲解上，而是深入探讨了这些方法在实际问题中的优劣，并引入了迭代法（如雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代）等更加灵活的求解策略。更难能可贵的是，书中穿插了大量的具体算例，这些算例并非凭空捏造，而是源自工程、科学研究等真实场景，例如求解大型稀疏矩阵方程组在有限元分析中的应用。通过这些鲜活的例子，我们能够直观地感受到数值计算方法的重要性，理解为什么掌握这些方法对于成为一名合格的工程师或科研人员至关重要。书中还对不同算法的收敛性、稳定性和计算量进行了详细的分析，这使得读者在面对实际问题时，能够做出更明智的选择。

评分☆☆☆☆☆

这本书在“特征值与特征向量的计算”这一部分，给我留下了深刻的印象。相较于我之前接触过的其他教材，这本书的处理方式更加系统和深入。作者们首先从理论上阐述了特征值问题的意义和重要性，然后详细介绍了幂法、反幂法、QR算法等主流的数值计算方法。我尤其赞赏书中对QR算法的讲解，它不仅给出了算法的详细步骤，还对算法的收敛性进行了理论分析，并解释了其在实际应用中的优势。书中还讨论了大规模稀疏矩阵特征值问题的求解策略，比如子空间迭代法等，这对于解决现代科学计算中的许多问题非常有指导意义。我读到这一部分时，脑海中立刻浮现出许多物理学、工程学中与振动、稳定性分析相关的应用，这本书提供的正是解决这些问题的核心工具。

评分☆☆☆☆☆

作为一本理工科的教材，这本书在“插值与逼近”章节的设计上，充分体现了理论与实践相结合的理念。作者们并没有止步于各种插值多项式的定义和计算，而是深入探讨了它们在数据拟合、函数逼近等领域的应用。我特别喜欢书中关于“最佳平方逼近”的讲解，它将最小二乘法的思想巧妙地融入到函数逼近中，为我们提供了一种更为鲁棒和灵活的逼近策略。书中还详细解释了样条插值，并给出了三次样条的构造方法。通过实例，我能够直观地感受到样条插值在处理复杂曲线和曲面时的优越性。这种既有理论深度，又有实际应用指导的讲解方式，让我觉得这本书不仅仅是在传授知识，更是在培养解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的“数据拟合”章节，以一种极其务实的方式，将数值计算的理论应用于解决实际问题。作者们没有回避数据拟合中可能遇到的各种挑战，比如噪声、奇异性等，而是积极地探讨了相应的解决办法。我印象深刻的是关于“多项式拟合”的讨论，书中不仅介绍了最小二乘法，还对其进行了深入的数学推导，并分析了多项式次数的选择对拟合效果的影响。此外，书中还引入了更高级的拟合方法，例如基于样条函数的拟合，以及非线性拟合的思路。这些内容为我打开了新的视野，让我意识到数据拟合远不止是简单的曲线绘制，而是需要严谨的数学方法来支撑。

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一本好的教材，能够激发读者的思考，而这本《数值计算方法与算法》恰恰做到了这一点。在“常微分方程初值问题”的求解部分，我被作者们对求解方法的分类和比较深深吸引。他们不仅仅是介绍了欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等经典方法，更重要的是，对这些方法的误差分析进行了非常透彻的讲解。通过数学推导和具体算例，我清晰地理解了局部截断误差和全局截断误差的概念，以及它们如何影响到数值解的精度。书中还引入了“稳定性”的概念，这对于理解为什么某些方法在某些情况下会失效至关重要。我记得书中举了一个例子，说明即使是看起来很精确的方法，如果稳定性处理不当，在长时间积分时也会导致结果发散。这种对细节的关注和严谨的分析，让我深刻体会到数值计算并非简单的“套公式”，而是需要深刻理解其内在机制的学科。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让人耳目一新、又无比怀念的经典教材。记得第一次翻开它时，还是本科的懵懂少年，面对数值计算这门似乎只存在于理论证明和抽象公式中的课程，常常感到束手无策。然而，这本书就像一位循循善诱的良师益友，用它清晰的逻辑、严谨的推导和大量的实例，一点点地揭开了数值计算的神秘面纱。它不仅仅是知识的堆砌，更是对理解力的培养。作者们显然深谙教学之道，将复杂的算法分解成易于理解的步骤，并辅以精心设计的例子，让我们能够亲手实践，体会算法的精妙之处。比如，在介绍插值与逼近时，书中不仅仅罗列了牛顿插值、拉格朗日插值等几种方法，更重要的是，它深入浅出地分析了各种方法的优缺点、适用范围以及背后的数学原理，让我们明白为什么在不同的场景下需要选择不同的插值方式。而当我尝试着用代码实现这些算法时，书中提供的伪代码更是成为了我最得力的助手，它准确无误地指引着我，让我少走了许多弯路。读着读着，那种“原来如此”的顿悟感油然而生，曾经认为遥不可及的数值计算，在手中逐渐变得鲜活起来。这本书的价值，远不止于传授知识，更在于它点燃了我对数学探索的热情，让我看到了数学在解决实际问题中的巨大力量。即使在多年后，当我再次回顾那些算法，书中那些清晰的论述和直观的图示，依然能迅速将我带回那个充满求知欲的时代。

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这本书最令我赞赏的一点是，它不仅仅罗列了各种数值计算的算法，更重要的是，它在每一个算法的介绍中，都强调了算法背后的数学原理、计算复杂度以及在实际应用中的注意事项。例如，在讨论“迭代法求解线性方程组”时，作者们详细分析了雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的收敛条件，并给出了收敛性的证明。我尤其喜欢书中关于“预条件”的讲解，它为改善迭代法的收敛速度提供了有效的手段，并在实际应用中发挥着至关重要的作用。读到这里，我仿佛看到了那些隐藏在各种复杂科学模拟背后的辛勤计算，也更加理解了掌握这些算法对于进行高效计算的必要性。

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正版图书，质量不错，价格实惠，物流速度也挺快的。

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很好，我很喜欢

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大学时的教材 很好的课本

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书有点褶皱，其他都还好。

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这书真好用啊~~

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很不错

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很经典的教材，韦来生写的，中科大研究生用书，没有涉及抽样方法等等，如果要精读数理统计学，还需要补充一定知识，望周知。

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是正版书 应该不会简单的

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科大的书真是简洁啊，一个多余的字都没有！