好玩的数学:数学聊斋(修订版) epub pdf mobi txt 电子书 下载 2024
发表于2024-12-23
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《数学聊斋》对算术、几何和图论当中的上百个十分重要、十分动人的问题 进行趣味盎然的另类解答,例如2 + 2为什么等于4、韩信点兵多多益 善、清点太阳神的牛群、无字数学论文、蜂巢颂、雪花几何、三角形内 角和究竟多少度、图是什么、乱点鸳鸯谱、贪官聚餐、颜色多项式、妖 怪的色数、多心夫妻渡河、计算机的心腹之患、同生共死NPC等。《数学聊斋》 集趣味性、
01算术篇
万物皆数,若没有数,则既不能描述也不能理解任何事物。
-毕达哥拉斯(Pythagoras,希腊数学家,公元前580—前500)
1.1从2+2=4谈起
一位聪明天真的小朋友问妈妈:“为什么2加2等于4?”妈妈答:“傻孩子,连这么简单的算术都不懂!”于是这位母亲伸出左手的两个指头,又伸出右手的两个指头,左右的两个指头往一起一并,说:“这就叫2加2,你数一数,看是不是4?”孩子勉强点头,接着又问:“可是4是什么玩意儿呢?”妈妈欲言而无语。是呀,如果母亲说这些指头的数目就叫做4,孩子再追问什么叫做999999999,那可就不好用指头之类的东西来比划着解释了!
事实上,反思我们小时候对加法的学习,确实是非理性的,完全是老师和家长向我们的脑子里灌进去而记住了的七加八一十五,七加五一十二之类的指令而已;认真思考起来,究竟每个自然数是如何定义的,加法是什么,为什么2+2=4,4+4=8,等等,确实是一个严肃的数学问题。
原始人已有自然数的初始概念,他们用小石头来记录捕捉的猎物的个数(或用“结绳记事”法)。有人捕来一只野兔,他们就在小坑里放上一颗石子,又有人捕来一只野兔,他们就在小坑中又投放一颗石子,等等。事实上,这逐一地向小坑中投石子的过程恰是加法运算的真谛,投一颗石子就叫做加上1,1加1得到的数量就叫做2,2再加1得到的数量就叫做3,等等。再后来,人们发现了加法的结合律,即1+1+1+1=(1+1)+(1+1),等等。公元6世纪,印度数学家引人零的符号“0”,它是自然数的“排头”。到了19世纪,皮亚诺(G.Peano,1858!1932)提出了五条算术公理,才从理论上彻底解决了什么是自然数,为什么2+2=4等数学上的这些基本问题,他的三个概念与五个公理是:
0,后继和自然数,以及如下五条公理:
公理1,0是自然数。
公理2任何自然数的后继是自然数。
公理30不是任何数的后继。
公理4不同的自然数后继不同。
公理5对于某一性质,若0有此性质,而且若某自然数有此性质时,它的后继也有此性质,则一切自然数都有此性质。
具体地说,0的后继中国人叫做一,美国人叫做one,1的后继中国人叫做二,美国人叫做two,等等。第五公理谈的是数学归纳法。一个自然数生出它的后继的过程是加法,记成0+1=1,1+1=2,2+1=3,3+1=4,n+1=(n+1),等等。
由皮先生的公理可以明确无误地回答什么是自然数的问题,例如4是什么?答:4是3的后继,或曰4是3之“子”3呢?3是2的后继(2呢?2是1的后继(1呢?1是0的后继(0呢?0是祖宗,它不是谁的后继,是自然数的发源点。
2+2=4证明如下:
因为1+1=2,所以2+2=(1+1)+(1+1),由结合律得2+2=(1+1)+(1+1)=(1+1+1)+1又因1+1+1=(1+1)+1=2+1=3所以2+2=3+1,而3+1=4,故知2+2=4是正确的。
证毕。
有了加法的概念,减法是加法的逆运算,乘法则是几个相同的数连加的“简写”,除法是乘法的逆运算。可见,从皮氏公理出发已经把+一X+的概念弄了个水落石出,不再是那种原始的直观感觉(例如结绳记事)或死记的九九表了。
查阅《现代汉语词典》上加法词目,词典称!“加法(,数学中的一种运算方法%两个或两个以上的数合成一个数的方法'”这种解释实在科学’例如它只说“合成一个数”,并不说这个数(我们称其为和)是多少。事实上,现代数学对于1+1的和未必总是算出2来的。遥想原始人怎样形成数量的概念,最初只是“有”与“无”两个概念,他们尚没有“多少”的概念和斤斤计较的坏习气。就是现代,有时也只需考虑有与无,是与否,而不必细说有多少,例如我们要写字,关心的是有笔还是没有笔,至于有笔时有几枝,那都是一回事。如果这时规定0代表无(或否),1代表有(或是),则应有0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1。这个1+1=1的算式有点不习惯,但对于此处的实际背景,如此定义加法是再合适不过了。这种1+1不等于2,而等于1的加法称为“逻辑和”,1+1=1,于是(n是自然数)。
再看某种电视机开关,你用指头捅一下,它就为你播放节目,再捅一下,它就关机了,如果把关机状态记成0,把播放状态记成1,则有加法法则!
0+0=0,1+0=10+1=1,1+1=0
这种加法1+1≠2,1+1≠1,而是1+1=0。看见没有,这就是数字之妙,这种“数学志异”胜似《聊斋志异》!
1.2算术的基因和基理
算术四则运算,人人都有体会,那就是加减法简单,乘法也不太难,有个“九九歌”,背熟了去乘就是了。除法里“事儿”多,除得尽还好,除不尽还要考虑约分与余数,等等,花样不少。例如:100+4可写成
我们看到,除法实质上是分子分母的约分,等到把分子分母的公共因子都约光了,剩下的就是既约分数,如果这时分母为1,就除尽了。分子上的因子有两个2,两个5,这两个因子不能再变小,当然4和25,或20,也是100的因子,但它们还可以变小,那些不能再变小的因子,即除了1与自身外,别的自然数除不尽的自然数,是最简单朴素的了,我们称这种数为素数(朴素的素)或质数(质t卜的质),1也是这类性质的数,但大家约定1不称为素数,因为如果让1取得素数资格,例如100则可以写成100=1X1X1X1X1XX1X2X2X5X5,前方爱写几个1就写几个1,这就很不妙,一个自然数写成素数之积的形式时,形状就不唯一了。经验表明,如果不让1参加,一个自然数若不是素数,例如100,4什么的,可以唯一地写成若干素数的积,这一结论可以用数学归纳法证明,这就是著名的算术基本定理。
大于1的不是素数的自然数称为合数,即由若干素数相乘而成的数。
素数是合数的基因,任给大于1的自然数N,存在唯一的素数列P1≤P2≤≤Pn,使得N唯一地写成N=P1P2Pn,此定理称为算术基本定理,算术中很多证明,尤其是涉及除法时,主要靠这条结论去说理。
如果N是合数,则N=P1a1P2a2pmam,m≥1,P1,P2,,Pm是互异素数,a1,,am是正整数,其中P1由于不超过N的合数的最小素因子不超过槡N,因此欲求不超过N的一切素数,只需把1,2,,N中不超过槡N的素数的倍数划去(筛除),剩下的就是素数。
30<6,所以只考虑划去2,3,5的倍数,剩的是不超过30的那些素数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29。
显然,这种方法只能写出不超过N的自然数中素数的清单,N后面的自然数中还有不少素数,例如30之后的31就是。欧几里得第一个证明,素数的个数是无穷的。
事实上,若所有素数为P1,P2,,Pk,取N=P1P2Pk+1,N>1,设N本身是素数,N能除P1P2Pk+1(商为1),又P1,P2,,Pk是所有素数,则N是某个Pi,i∈{1,2,,k},于是N能除尽P1P2pk,P1P2pk+1被N除余1,与P1P2pk+1矛盾。若N是合数,则N有一个素数因子P,于是P=Pi,i∈{1,2,,k},P能除尽P1P2pk,不能除尽P1P2pk+1,即P不能除尽N,与P是N之因子矛盾,可见全体素数不是有限个。
素数既然是算术中的基因,几乎所有的算术命题当中,都有素数参与其中,有关素数的命题集中了算术学科的难点。广为人知的难题很多,例如下面两个就是算术中难题的代表。
(1)关于孪生素数的黎曼猜想:孪生素数有无穷个
所谓孪生素数,即相差为2的一对素数,例如(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),等等。
至今无人能证明或反驳这一猜想。
(2)哥德巴赫猜想
1742年6月7日,圣彼得堡中学教师,德国人哥德巴赫(Gold-bach)给瑞士数学家欧拉写信提出如下猜想:
每个大于或等于6的偶数都是两个素数之和;每个大于或等于9的数都是个数之。
两素数之和当然是偶数,但是事情让哥德巴赫反过来一提,可就给数学界惹来了天大的麻烦。欧拉给哥德巴赫的回函中说:“我不能证明它,但是我相信这是一条正确的定理。”欧拉无能为力的问题,别人怕是很难解决了。在其后的150多年当中,多少专业的和业余的数论工作者,都兴趣盎然地冲击这一看似真实的命题,无奈人人不得正果。1900年,数学界的领袖人物希尔伯特(Hilbert)在巴黎召开的世界数学家大会上向20世纪的数学家提出23个待解决的名题,其中哥德巴赫猜想列为第八问题。可惜20世纪的百年奋斗仍然辜负了希尔伯特的期望。
奉劝阅历尚浅、热情十足的年轻朋友,不可受某些不懂数学的记者们的误导,随便立志以攻克哥德巴赫猜想为己任,而应当从实际出发,打好坚实的数学理论基础,培养数学研究的能力,再来考虑攀登哪个高峰的问题。
这里面对的是一个数学问题,不能沿用物理学家诉诸反复若干次实验来证实的办法,例如有人对不超过33X106的偶数逐一验证,哥德巴赫猜想都是成立的,但那仍然不能解决问题。
下面是近百年来关于哥德巴赫猜想的大事记。
1912年,数学家朗道提出相近的弱猜想:
存在一个自然数M,使得每个不小于2的自然数皆可表成不超过M个素数之和。
此猜想于1930年证明为真;如果M<3就好多了。
1937年,苏联数学家维诺格拉多夫证明了哥德巴赫猜想的后半句为真,即大于或等于9的奇数是三个素数之和,这是关于哥德巴赫问题的重大突破,引起了不小的轰动。但前半句至2000年基本上未被解决。
我们约定:命题“大于等于6的偶数可表示成a个素数之积加上p个素数之积”记成(a+戽,则哥德巴赫问题是:证明或反驳(1+1)。
1920年,朗道证明了(9+9)。
1924年,拉德马哈尔证明了(7+7)。
1932年,依斯特曼证明了(6+6)。
1938年,布赫塔布证明了(5+5)。
1938年,华罗庚证明了几乎所有的偶数都成立(1+1)。
1940年,布赫塔布等证明了(4+4)。
1947年,雷尼证明了(1+?)。
1955年,王元证明了(3+4)。
1957年,小维诺格拉多夫证明了(3+3)。
1957年,王元证明了(2+3)。
1962年,潘承洞证明了(1+5)。
1962年,潘承洞、王元证明了(1+4)。
1965年,布赫塔布、小维诺格拉多夫、邦比尼证明了(1+3)。
1966年,陈景润证明了(1+2),于1973年发表。
尽管(1+2)离(1+1)只“一步之遥”,但一步登天的事谈何容易!从陈景润搞出(1+2)至今已有30多年,一直没有人在这个阵地上前进半步,我国的陈景润仍然是此项世界纪录的保持者。
培养出如陈景润这样杰出的数学家,不但具有广深扎实的数学素质,而且具有全身心奉献科学事业的品质,乃是我们教育工作者的一项
……
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评分书有点脏
评分书有点脏
评分hao
评分听科学家讲数学,是有意义的事
评分书是人类进步的阶梯,抽时间好好提升自己。
评分觉得对于自己有点深奥了
评分知识就是力量,知识改变命运,要坚信。
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