內容簡介
《復分析》是一部為數學及相關專業大學二年級和三年級學生編寫的教材,理論與實踐並重。為瞭便於非數學專業的學生學習,全書內容簡明、易懂,讀者隻需掌握微積分和綫性代數知識。與《復分析》相配套的教材《傅立葉分析導論》和《實分析》也已影印齣版。《復分析》已被哈佛大學和加利福尼亞理工學院選為教材。目次:復分析預備知識;柯西定理及其應用;亞純函數和對數;傅立葉轉換;Gamma和Zeta函數;Zeta函數和素數定理;共形映射;橢圓函數;Theta函數。
目錄
foreword
introduction
chapter 1. preliminaries to complex analysis
1 complex numbers and the complex plane
1.1 basic properties
1.2 convergence
1.3 sets in the complex plane
2 functions on the complex plane
2.1 continuous functions
2.2 holomorphic functions
2.3 power series
3 integration along curves
4 exercises
chapter 2. cauchy's theorem and its applications
1 goursat's theorem
2 local existence of primitives and cauchy's theorem in a disc
3 evaluation of some integrals
4 cauchy's integral formulas
5 further applications
.5.1 morera's theorem
5.2 sequences of holomorphic functions
5.3 holomorphic functions defined in terms of integrals
5.4 schwarz reflection principle
5.5 runge's approximation theorem
6 exercises
7 problems
chapter 3. meromorphic functions and the logarithm
1 zeros and poles
2 the residue formula
2.1 examples
3 singularities and meromorphic functions
4 the argument principle and applications
5 homotopies and simply connected domains
6 the complex logarithm
7 fourier series and harmonic functions
8 exercises
9 problems
chapter 4. the fourier transform
1 the class
2 action of the fourier transform on
3 paley-wiener theorem
4 exercises
5 problems
chapter 5. entire functions
1 jensen's formula
2 functions of finite order
3 infinite products
3.1 generalities
3.2 example: the product formula for the sine function
4 weierstrass infinite products
5 hadamard's factorization theorem
6 exercises
7 problems
chapter 6. the gamma and zeta functions
1 the gamma function
1.1 analytic continuation
1.2 further properties of γ
2 the zeta function
2.1 functional equation and analytic continuation
3 exercises
4 problems
chapter 7. the zeta function and prime number the- orem
1 zeros of the zeta function
1.1 estimates for 1/ζ(s)
2 reduction to the functions ψ and ψ1
2.1 proof of the asymptotics for ψ1
note on interchanging double sums
3 exercises
4 problems
chapter 8. conformal mappings
i conformal equivalence and examples
1.1 the disc and upper half-plane
1.2 further examples
1.3 the dirichlet problem in a strip
2 the schwarz lemma; automorphisms of the disc and upper half-plane
2.1 automorphisms of the disc
2.2 automorphisms of the upper half-plane
3 the riemann mapping theorem
3.1 necessary conditions and statement of the theorem
3.2 montel's theorem
3.3 proof of the riemann mapping theorem
4 conformal mappings onto polygons
4.1 some examples
4.2 the schwarz-christoffel integral
4.3 boundary behavior
4.4 the mapping formula
4.5 return to elliptic integrals
5 exercises
6 problems
chapter 9. an introduction to elliptic functions
1 elliptic functions
1.1 liouville's theorems
1.2 the weierstrass p function
2 the modular character of elliptic functions and eisenstein series
2.1 eisenstein series
2.2 eisenstein series and divisor functions
3 exercises
4 problems
chapter 10. applications of theta functions
1 product formula for the jacobi theta function
1.1 further transformation laws
2 generating functions
3 the theorems about sums of squares
3.1 the two-squares theorem
3.2 the four-squares theorem
4 exercises
5 problems
appendix a: asymptotics
i bessel functions
2 laplace's method; stirling's formula
3 the airy function
4 the partition function
5 problems
appendix b: simple connectivity and jordan curve theorem
1 equivalent formulations of simple connectivity
2 the jordan curve theorem
2.1 proof of a general form of cauchy's theorem
notes and references
bibliography
symbol glossary
index
前言/序言
本套叢書是數學大師給本科生寫的分析學係列教材。第一作者K.MStein是調和分析大師(1999年Wolf奬獲得者),也是一位卓越的教師。他的學生,和學生的學生,加起來超過兩百多人,其中有兩位已經獲得過Fields奬,2006年Fields奬的獲奬者之一即為他的學生陶哲軒。
這本教材在Princeton大學使用,同時在其它學校,比如UCLA等名校也在本科生教學中得到使用。其教學目的是,用統一的、聯係的觀點來把現代分析的“核心”內容教給本科生,力圖使本科生的分析學課程能接上現代數學研究的脈絡。共四本書,順序是:
I.傅立葉分析
II.復分析
III.實分析
IV.泛函分析
這些課程僅僅假定讀者讀過大一微積分和綫性代數,所以可看作是本科生高年級(大二到大三共四個學期)的必修課程,每學期一門。
非常值得注意的是,作者把傅立葉分析作為學完大一微積分後的第一門高級分析課。同時,在後續課程中,螺鏇式上升,將其貫穿下去。我本人是極為贊同這種做法的,一者,現代數學中傅立葉分析無處不在,既在純數學,如數論的各個方麵都有深入的應用,又在應用數學中是絕對的基礎工具。二者,傅立葉分析不光有用,其本身的內容,可以說,就能夠把數學中的幾大主要思想都體現齣來。這樣,學生們先學這門課,對數學就能有鮮活的瞭解,既知道它的用處,又能夠“連續”地欣賞到數學中的各種大思想、大美妙。接著,是學同樣具有深刻應用和理論優美性於一體的復分析。學完這兩門課,學生已經有瞭相當多的例子和感覺,既懂得其用又懂得其妙。這樣,再學後麵比較抽象的實分析和泛函分析時,就自然得多、動機充分得多。
這種教法,國內還很欠缺,也缺乏相應的教材。這主要是因為我們的教育體製還存在一些問題,比如數學係研究生入學考試,以往最關鍵的是初試,但初試隻考數學分析和高等代數,也就是本科生低年級的課程。長此以往,中國的大多數本科生,隻用功在這兩門低年級課程上,而在高年級後續課程,以及現代數學的眼界上有很大的欠缺。這樣,導緻他們在研究生階段後勁不足,需要補的東西過多,而疲於奔命。
那麼,為彌補這種不足,國內的教材顯然是不夠的。列舉幾個原因如下:
1.比如復變函數這門課,即使國內最好的本科教材,其覆蓋的主要內容也僅是這套書中《復分析》的1/3,也就是前一百頁。其後麵的內容,我們很多研究生也未必學到,但那些知識,在以後做數學研究時,卻往往用到。
2.國內的教材,往往隻教授其知識本身,對這個知識的來龍去脈,後續應用,均有很大的欠缺。比如實變函數(實分析),為什麼要學這麼抽象的東西呢,從書本上是不太能看到的,但是Stein卻以Fourier分析為綫索,將這些知識串起來,說明瞭其中的因果。
因此在目前情況下,這種大學數學教育有很大的欠缺。尤其是有些偏遠學校的本科生,他們可能很用功,已經很好地掌握瞭數學分析、高等代數這兩門低年級課程,研究生初試成績很高。但對於高年級課程掌握不夠,有些甚至未學過,所以在入學考試的第二階段——麵試過程中,就捉襟見肘,顯露齣不足。所以,最近幾年,各高校亦開始重視研究生考試的麵試階段。那些知識麵和理解度不夠的同學,往往會在麵試時被刷下來。如果他們能夠讀完Stein這套本科生教材,相信他們的知識麵足以在分析學領域,應付得瞭國內任何一所高校的研究生麵試,也會更加明白,學瞭數學以後,要乾什麼,怎麼樣去乾。
本套叢書由世界圖書齣版公司北京公司引進齣版。影印版的發行,將使得這些本科生有可能買得起這套叢書,形成討論班,互相研討,琢磨清楚。這對大學數學教育質量的提升,乃至對中國數學研究梯隊的壯大,都將是非常有益的。
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