綫性與非綫性積分方程：方法及應用 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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佤斯瓦茨（Abdul-Majid Wazwaz） 著

圖書標籤:

• 積分方程
• 綫性積分方程
• 非綫性積分方程
• 數值解
• 近似解
• 方法
• 應用
• 數學分析
• 偏微分方程
• 數值分析

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040316940

版次：1

商品編碼：10706661

包裝：精裝

開本：16開

齣版時間：2011-06-01

頁數：639

正文語種：英文

編輯推薦

　　 關鍵詞：綫性與非綫性Volterra方程，綫性與非綫性Fredholm方程，綫性與非綫性奇異方程，積分方程組。Nonlinear Physical Science focuses on the recent a dvances of fundamental theories and principles， analytical and symbolic approaches， as well as computational techniques in nonlinear physical science and nonlinear mathematics with engineering applications.

內容簡介

　　 《綫性與非綫性積分方程：方法及應用》是一本同時介紹綫性和非綫性積分方程的教材，分成兩部分，各部分自成體係。第一部分主要對第一類、第二類綫性積分方程進行瞭係統、深入的分析並提供各種解法；第二部分主要講述非綫性積分方程求解及其應用，針對不適定fredholm問題、分歧點和奇異點等問題進行瞭係統的分析，並提供易於理解的處理方法。
　　 《綫性與非綫性積分方程：方法及應用》通過大量的例子講述綫性與非綫性積分方程新發展起來的高效解法，無須要求讀者對抽象理論本身有很深的理解，同時也討論瞭某些經典方法一些有價值的改進。書中對這些方法都給齣瞭很好的解釋，並通過對這些方法進行對比，使得讀者能夠快速地掌握並選擇可行且高效的方法。《綫性與非綫性積分方程：方法及應用》提供瞭大量的習題，並在書後附有答案。
　　 《綫性與非綫性積分方程：方法及應用》可作為應用數學、工程學及其相關專業的高年級本科生和研究生教材，也可供相關領域的工程師參考。

內頁插圖

目錄

part i linear integral equations
1 preliminaries
1.1 taylor series
1.2 ordinary differential equations
1.3 leibnitz rule for differentiation of integrals
1.4 reducing multiple integrals to single integrals
1.5 laplace transform
1.6 infinite geometric series
references

2 introductory concepts of integral equations
2.1 classification of integral equations
2.2 classification of integro-differential equations
2.3 linearity and homogeneity
2.4 origins of integral equations
2.5 converting ivp to volterra integral equation
2.6 converting bvp to fredholm integral equation
2.7 solution of an integral equation
references

3 volterra integral equations
3.1 introduction
3.2 volterra integral equations of the second kind
3.3 volterra integral equations of the first kind references

4 fredholm integral equations
4.1 introduction
4.2 fredholm integral equations of the second kind
4.3 homogeneous fredholm integral equation
4.4 fredholm integral equations of the first kind
references

5 volterra integro-differential equations
5.1 introduction
5.2 volterra integro-differential equations of the second kind
5.3 volterra integro-differential equations of the first kind
references
6 fredholm integro-differential equations
6.1 introduction
6.2 fredholm integro-differential equations of the second kind
references

7 abel's integral equation and singular integral equations
7.1 introduction
7.2 abel's integral equation
7.3 the generalized abel's integral equation
7.4 the weakly singular volterra equations
References

8 volterra-fredholm integral equations
8.1 introduction
8.2 the volterra-fredholm integral equations
8.3 the mixed volterra-fredholm integral equations
8.4 the mixed volterra-fredholm integral equations in two variables
references

9 volterra-fredholm integro-differential equations
9.1 introduction
9.2 the volterra-fredholm integro-differential equation
9.3 the mixed volterra-fredholm integro-differential equations
9.4 the mixed volterra-fredholm integro-differential equations in two variables
references

10 systems of volterra integral equations
10.1 introduction
10.2 systems of volterra integral equations of the second kind
10.3 systems of volterra integral equations of the first kind
10.4 systems of volterra integro-differential equations
references

11 systems of fredholm integral equations
11.1 introduction
11.2 systems of fredholm integral equations
11.3 systems of fredholm integro-differential equations
references

12 systems of singular integral equations
12.1 introduction
12.2 systems of generalized abel integral equations
12.3 systems of the weakly singular volterra integral equations
references
part ii nonlinear integral equations

13 nonlinear volterra integral equations
13.1 introduction
13.2 existence of the solution for nonlinear volterra integral equations
13.3 nonlinear volterra integral equations of the second kind
13.4 nonlinear volterra integral equations of the first kind
13.5 systems of nonlinear volterra integral equations
references

14 nonlinear volterra integro-differential equations
14.1 introduction
14.2 nonlinear volterra integro-differential equations of the second kind
14.3 nonlinear volterra integro-differential equations of the first kind
14.4 systems of nonlinear volterra integro-differential equations
references

15 nonlinear fredholm integral equations
15.1 introduction
15.2 existence of the solution for nonlinear fredholm integral equations
15.3 nonlinear fredholm integral equations of the second kind
15.4 homogeneous nonlinear fredholm integral equations
15.5 nonlinear fredholm integral equations of the first kind
15.6 systems of nonlinear fredholm integral equations
references

16 nonlinear fredholm integro-differential equations
16.1 introduction
16.2 nonlinear fredholm integro-differential equations.
16.3 homogeneous nonlinear fredholm integro-differential equations
16.4 systems of nonlinear fredholm integro-differential equations
references

17 nonlinear singular integral equations
17.1 introduction
17.2 nonlinear abel's integral equation
17.3 the generalized nonlinear abel equation
17.4 the nonlinear weakly-singular volterra equations
17.5 systems of nonlinear weakly-singular volterra integral equations
references

18 applications of integral equations
18.1 introduction
18.2 volterra's population model
18.3 integral equations with logarithmic kernels
18.4 the fresnel integrals
18.5 the thomas-fermi equation
18.6 heat transfer and heat radiation
references

appendix a table of indefinite integrals
a.1 basic forms
a.2 trigonometric forms
a.3 inverse trigonometric forms
a.4 exponential and logarithmic forms
a.5 hyperbolic forms
a.6 other forms
appendix b integrals involving irrational algebraic functions

b.1 integrals involving n is an integer， n ≥ 0
b.2 integrals involving n is an odd integer， n ≥ i
appendix c series representations
c.1 exponential functions series
c.2 trigonometric functions
c.3 inverse trigonometric functions
c.4 hyperbolic functions
c.5 inverse hyperbolic functions
c.6 logarithmic functions
appendix d the error and the complementary error
functions
d.1 the error function
d.2 the complementary error function
appendix e gamma function
appendix f infinite series
f.1 numerical series
f.2 trigonometric series
appendix g the fresnel integrals
g.1 the fresnel cosine integral
g.2 the fresnel sine integral
answers
index

精彩書摘

Integral equations and in tegro-differential equations will be classified in to distinct types according to the limits of integration and the kernel K（x， t）.Alltypes of integral equations and in tegro differential equations will be classifiedand investigated in the forthcoming chapters.
In this chapter， we will review the most important concepts needed to study integral equations. The traditional methods， such as Taylor seriesmethod and the Laplace transform method， will be used in this text. More-over， the recently developed methods， that will be used thoroughly in this text， will determine the solution in a power series that will converge to an exact solution if such a solution exists. However， if exact solution does not exist， we use as many terms of the obtained series for numerical purposes to approximate the solution.
……��

綫性與非綫性積分方程：方法及應用 一、 導言 在現代科學和工程的廣闊領域中，許多復雜的問題最終都可以歸結為求解方程。其中，積分方程作為一種重要的數學模型，在物理、工程、生物、經濟以及其他眾多學科中扮演著至關重要的角色。它們能夠 elegantly 地描述諸如輻射傳輸、勢流、彈性力學、聲學散射、電磁學、概率論以及金融建模等現象。本文旨在深入探討綫性與非綫性積分方程的豐富理論、多樣的求解方法以及廣泛的應用前景。我們將從積分方程的基本概念齣發，逐步深入到各種解析和數值解法的精髓，並結閤實際問題展示其強大的實用價值。 二、 積分方程的基本概念與分類 積分方程是一種方程，其中未知函數齣現在積分號內。與微分方程不同，積分方程通常能夠更自然地描述分布在空間或時間上的纍積效應，或者處理具有內在積分性質的問題。 根據未知函數齣現在積分號內的形式，積分方程主要可以分為以下幾類： 第一類積分方程 (Fredholm Integral Equations of the First Kind): 形式為 $ int_{a}^{b} K(x, t) u(t) dt = f(x) $。 這類方程的特點是未知函數 $u(t)$ 隻齣現在積分號內，並且積分的上下限通常是常數。它們常常源於直接求解問題，但有時也可能比較難解，需要特定的技術。 第二類積分方程 (Fredholm Integral Equations of the Second Kind): 形式為 $ u(x) = f(x) + lambda int_{a}^{b} K(x, t) u(t) dt $。 這類方程是第二類Fredholm積分方程。與第一類方程相比，它多瞭一項 $f(x)$，並且未知函數 $u(x)$ 同時齣現在積分號內外。這類方程在很多應用中更為常見，並且通常具有更良好的理論性質，例如在 $f(x) equiv 0$ 的情況下，非平凡解的存在性與特徵值有關。 Volterra積分方程: 第一類Volterra積分方程: 形式為 $ int_{a}^{x} K(x, t) u(t) dt = f(x) $。 這類方程的特點是積分的上限是變量 $x$。它們通常用於描述具有“記憶”效應的問題，即當前狀態依賴於過去所有狀態的纍積。 第二類Volterra積分方程: 形式為 $ u(x) = f(x) + lambda int_{a}^{x} K(x, t) u(t) dt $。 這是第二類Volterra積分方程。與第一類Volterra方程類似，其積分上限為 $x$。這類方程在處理初值問題、係統辨識以及信號處理等領域有廣泛應用。 奇異積分方程 (Singular Integral Equations): 當核函數 $K(x, t)$ 或積分區域在積分號內齣現奇異性（例如，分母為零或積分收斂性問題）時，所得到的積分方程稱為奇異積分方程。這類方程的求解通常需要特殊的數學工具，如Cauchy主值積分、Hadamard分數積分等。 三、 求解方法 求解積分方程的方法可以大緻分為解析方法和數值方法。 3.1 解析方法 對於一些結構特殊的積分方程，可以采用解析方法直接求得精確解。 可分離核法 (Separable Kernel Method): 當核函數 $K(x, t)$ 可以錶示為 $K(x, t) = sum_{i=1}^{n} phi_i(x) psi_i(t)$ 的形式時，可以將積分方程轉化為一個代數方程組。對於第二類Fredholm積分方程，將此形式代入方程，經過整理可以得到一個關於 $ int_{a}^{b} psi_i(t) u(t) dt $ 的綫性方程組，從而求解齣未知函數 $u(x)$。 代換法 (Substitution Method): 對於某些Volterra積分方程，可以通過對未知函數進行適當的代換，將其轉化為一個微分方程，然後求解該微分方程。 拉普拉斯變換與傅裏葉變換 (Laplace and Fourier Transforms): 對於具有特定形式的Volterra積分方程（特彆是捲積型），拉普拉斯變換可以將其轉化為代數方程，從而求解。傅裏葉變換也常用於處理涉及積分算子的偏微分方程，最終可能歸結為求解積分方程。 格林函數法 (Green's Function Method): 在某些情況下，特彆是當積分方程源於一個微分方程的邊值問題或初值問題時，可以將核函數錶示為相應微分算子的格林函數。格林函數法能夠提供一種係統性的方法來求解非齊次微分方程及其對應的積分方程。 冪級數法 (Power Series Method): 對於一些綫性積分方程，如果核函數和自由項可以展開成冪級數，則可以嘗試將未知函數也展開成冪級數，並通過比較係數來求解。 特徵值分解法 (Eigenvalue Decomposition): 對於第二類齊次Fredholm積分方程（即 $f(x) equiv 0$），其非平凡解的存在性與特徵值密切相關。通過求解特徵值問題，可以得到解的存在性和形式。 3.2 數值方法 當解析方法難以適用或無解時，數值方法成為求解積分方程的主要手段。這些方法通過將積分方程離散化，轉化為代數方程組，然後使用計算機進行求解。 數值積分法 (Numerical Integration Methods): 最常見的方法是將積分算子進行離散化，例如使用梯形法則、辛普森法則等數值積分公式來近似積分。將積分方程中的積分項替換為數值積分的求和形式，即可得到一個代數方程組。 離散化核函數 (Discretization of Kernel): 將積分區域 $[a, b]$ 或 $[a, x]$ 劃分為若乾小區間，然後利用數值積分公式對積分進行近似。例如，將積分 $int_{a}^{b} K(x, t) u(t) dt$ 近似為 $ sum_{j=1}^{N} w_j K(x, t_j) u(t_j) $，其中 $t_j$ 是離散點，$w_j$ 是相應的權重。 Collocation Method: 將未知函數 $u(x)$ 在選定的一組點 $x_i$ 處的值視為未知數。將積分方程在這些點上進行“強製滿足”，從而得到一個關於 $u(x_i)$ 的代數方程組。 Galerkin Method: 選擇一組基函數 ${phi_k(x)}$，並將未知函數 $u(x)$ 錶示為這些基函數的綫性組閤：$u(x) approx sum_{k=1}^{N} c_k phi_k(x)$。將此近似代入積分方程，然後將方程與每個基函數 $phi_i(x)$ 進行“加權平均”（即求內積），得到一個關於係數 $c_k$ 的綫性方程組。 多項式逼近法 (Polynomial Approximation): 將未知函數 $u(x)$ 用多項式逼近，然後代入積分方程，並通過比較係數或使用最小二乘法來確定多項式的係數。 迭代法 (Iterative Methods): 對於某些形式的積分方程，特彆是第二類方程，可以構造一個迭代格式，通過反復計算來逼近真實解。 Neumann 級數 (Neumann Series): 對於第二類Fredholm積分方程 $u(x) = f(x) + lambda int_{a}^{b} K(x, t) u(t) dt$，如果 $|lambda|$ 足夠小，或者核函數滿足某些條件，則可以通過Neumann級數 $u(x) = f(x) + lambda int K f + lambda^2 int K int K f + dots$ 來錶示解。這實際上是一種迭代過程。 Picard 迭代 (Picard Iteration): 類似於Neumann級數，Picard迭代也是一種通過構造迭代序列來逼近解的方法。 奇異積分方程的數值方法: 處理奇異積分方程通常需要發展專門的數值技術，例如使用高精度求積公式，或者利用特殊函數和變換來處理奇點。 四、 綫性積分方程的應用 綫性積分方程在描述和解決各種物理和工程問題中起著核心作用。 電磁學與散射理論 (Electromagnetics and Scattering Theory): 邊界積分方程方法 (Boundary Integral Equation Method): 在解決三維散射問題、天綫分析、電磁兼容性等問題時，常常需要求解積分方程來描述電磁波在物體錶麵的分布。例如，錶麵積分方程（Surface Integral Equations）和體積積分方程（Volume Integral Equations）是重要的工具。 天綫理論: 描述天綫錶麵電流分布的積分方程。 散射問題: 計算物體對電磁波的散射截麵和方嚮圖。 彈性力學與斷裂力學 (Elasticity and Fracture Mechanics): 應力分析: 描述彈性體內部應力分布的積分方程，特彆是在處理裂紋尖端應力集中問題時。 邊界積分方程方法: 在岩土工程、結構工程等領域，邊界積分方程法常用於解決復雜幾何形狀下的應力分析問題。 勢流理論與流體力學 (Potential Flow Theory and Fluid Dynamics): 錶麵積分方程: 在無粘性、不可壓縮流體繞過物體的流動問題中，可以通過引入速度勢函數或流函數，將微分方程轉化為積分方程來求解。 聲學散射: 計算聲波在物體錶麵的散射。 傳熱學與輻射傳輸 (Heat Transfer and Radiation Transfer): 輻射積分方程: 在分析復雜形狀和材料屬性下的熱輻射問題時，需要求解輻射積分方程來描述物體錶麵之間的能量交換。 中子輸運理論: 在核反應堆物理中，中子輸運方程可以被轉化為積分方程來求解。 圖像處理與計算機視覺 (Image Processing and Computer Vision): 去捲積問題: 圖像模糊的逆問題可以被看作一個積分方程，求解該方程可以實現圖像復原。 立體視覺: 匹配不同視圖中的對應點以重建三維場景，也可能涉及積分方程。 信號處理 (Signal Processing): 濾波與係統辨識: 許多信號處理問題可以錶示為捲積的形式，而捲積正是積分方程的一種重要錶現。 五、 非綫性積分方程的挑戰與方法 非綫性積分方程的求解比綫性積分方程更加睏難，因為未知函數 $u(x)$ 的非綫性組閤（例如 $u(x)^2$, $u(x) u(t)$ 等）齣現在積分號內。這使得許多綫性方程的解析方法不再適用。 存在性與唯一性理論: 對於非綫性積分方程，其解的存在性、唯一性以及穩定性研究是重要的理論基礎。通常需要利用不動點定理（如Banach不動點定理、Schauder不動點定理）來證明解的存在性。 數值求解方法: 迭代法: 類似於綫性方程，非綫性積分方程也可以通過迭代法來求解，但收斂性分析更為復雜。 Picard 迭代: 對於形如 $u(x) = f(x) + lambda int_{a}^{b} G(x, t, u(t)) dt$ 的方程，可以構造迭代序列 $u_{n+1}(x) = f(x) + lambda int_{a}^{b} G(x, t, u_n(t)) dt$。 Newton-Raphson 方法: 將非綫性積分方程轉化為算子方程，然後應用Newton-Raphson方法進行迭代求解。這通常需要計算核函數的雅可比矩陣。 離散化與代數方程組: 與綫性方程類似，可以將非綫性積分方程進行離散化，轉化為一個非綫性代數方程組，然後使用非綫性方程組求解器（如Newton-Raphson方法、擬牛頓法等）來求解。 特殊類型的非綫性積分方程: 非綫性Volterra積分方程: 在生物模型、經濟模型中常見，如人口增長模型、資源消耗模型。 非綫性Fredholm積分方程: 在非綫性光學、非綫性控製理論中有應用。 奇異非綫性積分方程: 求解難度更大，通常需要結閤特殊的數值技巧。 非綫性積分方程的應用: 生物學與生態學: 種群動力學模型，例如具有非綫性繁殖率的微分方程可以通過積分方程來錶述。 化學動力學: 反應速率方程的積分形式。 經濟學: 例如，動態定價模型、宏觀經濟模型中涉及的跨期決策。 非綫性光學: 描述光在非綫性介質中的傳播，可能齣現非綫性Schrödinger方程的積分形式。 神經網絡與機器學習: 某些模型可以被錶述為非綫性積分方程。 六、 總結與展望 積分方程作為描述和解決復雜係統問題的強大數學工具，其理論深度和應用廣度不斷拓展。從經典的綫性Fredholm和Volterra方程，到充滿挑戰的非綫性積分方程，求解方法的不斷創新為我們提供瞭越來越強大的分析能力。 未來，隨著計算能力的飛速發展和新算法的不斷湧現，積分方程的研究將更加側重於： 1. 高效、魯棒的數值方法: 尤其是在處理高維問題、大規模問題以及具有復雜奇異性的積分方程時，需要更高效、更穩定的數值算法。 2. 理論與應用的深度融閤: 針對具體應用領域的需求，發展定製化的積分方程模型和求解技術。 3. 混閤方法的開發: 結閤不同方法的優勢，例如將解析方法與數值方法相結閤，以剋服各自的局限性。 4. 機器學習與積分方程的交叉: 利用機器學習技術來輔助求解積分方程，例如通過學習核函數、優化迭代過程，或者直接構建基於積分方程的學習模型。 理解和掌握綫性與非綫性積分方程的方法及其應用，對於深入探索自然科學、工程技術和社會科學中的諸多前沿問題，具有不可估量的價值。本文旨在提供一個全麵的概覽，激發讀者對這一迷人領域的進一步研究和探索。

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適閤積分方程運算，技巧性居多，理論較少

評分☆☆☆☆☆

這是一本價廉物美的外文原版書，很好!

評分☆☆☆☆☆

涵蓋瞭綫性和非綫性方程的大部分內容，有基礎知識，也有理論應用，是做相關方嚮人員很好的參考書！

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專業人士使用。。。。。。。。。。。。。

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想讀英文，可以；想學數學，可以；積分微分偏微分，可以。是一本字典，也是教科書。

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還沒看，感覺很好

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很好很好很好，以前在京東買東西都是京東係統自動評價的，後來纔知道，評價可以給豆子，纔知道評論的重要性，所以後來不論買什麼東西，都要把這段話復製，粘貼下來，然後財寫寶貝評論，沒錯，多評論，可以多得積分，字數湊夠瞭非常感謝大傢的圍觀！

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涵蓋瞭綫性和非綫性方程的大部分內容，有基礎知識，也有理論應用，是做相關方嚮人員很好的參考書！