解析数论导引 9787560359625 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560359625

商品编码：28216794054

包装：平装-胶订

出版时间：2016-11-01

基本信息

书名：解析数论导引

定价：58.00元

作者：(美) 阿普斯托著；唐太明译

出版社：哈尔滨工业大学出版社

出版日期：2016-11-01

ISBN：9787560359625

字数：

页码：

版次：1

装帧：平装-胶订

开本：16开

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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本书共分十四章，将解析数论从古到今几乎所有的重要发现都做了较为简单的论述和介绍，主要包括：算术基本定理、数论函数与迪利克雷乘积、数论函数的平均值、素数分布的几个基本定理等.

本书适合大学师生及数论爱好者研读.

内容提要

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目录

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【目 录】

历史介绍//1

章算术基本定理//11

第二章数论函数与迪利克雷乘积//21

第三章数论函数的平均值//46

第四章素数分布的几个基本定理//66

第五章同余//95

第六章有限阿贝尔群及其特征//115

第七章算术级数里素数的迪利克雷定理//131

第八章周期数论函数与高斯和//141

第九章二次剩余与二次互反律//161

第十章原根

第十一章迪利克雷级数与欧拉乘积//207

第十二章两种函数

第十三章素数定理的解析证明//261

第十四章分拆//228

附录“哥德巴赫猜想”研究综览//311

参考文献目录//318

特殊符号索引//324

编辑手记//326

作者介绍

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文摘

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序言

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跨越数字的藩篱：一部现代概率论的精深探索 导言：概率的基石与世界的脉动 在浩瀚的数学科学图景中，概率论以其独特的魅力，连接着严谨的逻辑推演与瞬息万变的现实世界。它不仅仅是关于“可能性”的计算，更是构建现代科学、工程、金融乃至社会决策理论的底层框架。本书，《概率论与随机过程：从基础原理到前沿应用》，旨在为有志于深入理解和应用概率论的读者，提供一个全面、深入且富有启发性的学习路径。 本书的编写理念，是力求在数学的严谨性与应用的直观性之间找到完美的平衡点。我们深知，纯粹的理论堆砌容易使人望而却步，而缺乏理论支撑的应用探索又如同空中楼阁。因此，我们精心设计了结构，确保每一步理论的引入都伴随着清晰的动机和直观的解释，而每一个重要的概念都通过丰富的实例得以巩固和深化。 本书面向的读者群体广泛，包括但不限于高等院校的数学、物理、计算机科学、信息工程、统计学等专业的本科高年级学生、研究生，以及需要扎实概率论基础来进行科研或工程实践的专业人士。我们假定读者已经掌握了微积分、线性代数以及一些初步的实分析基础，这些是理解本书后续高级主题所必需的工具。 --- 第一部分：概率论的公理化基础与随机变量的刻画（第1章至第4章） 本部分是全书的基石，着重于建立现代概率论的严格数学框架。 第1章：概率论的基本概念与测度论基础 本章从集合论和拓扑学的角度切入，为概率的公理化打下基础。我们不再停留在传统的样本空间和事件的古典描述，而是引入$sigma$-代数、可测空间的概念。概率测度的定义（$sigma$-可加性、非负性、归一化）被严格阐述。本章的重点在于理解“可测事件”的真正含义，以及为何需要测度论工具来处理复杂的随机现象，例如不可数样本空间上的定义。 第2章：随机变量、分布函数与联合分布 随机变量的定义被提升到函数的可测性层面。我们详细区分了离散型、连续型以及混合型随机变量的特征，并引入了累积分布函数（CDF）作为描述随机变量特性的核心工具。特别地，本章深入探讨了联合分布的性质，包括边缘分布的推导，以及随机变量独立性的严格判据——基于联合分布函数或概率密度函数的乘积形式。条件概率和条件期望在这一阶段被引入，但侧重于其在离散和连续情境下的计算方法。 第3章：重要的概率分布族 本章系统梳理了概率论中最常见和最重要的分布。对于离散分布，包括伯努利、二项、泊松、几何和负二项分布的生成机制和矩的计算。对于连续分布，我们深入探讨了均匀分布、指数分布、伽马分布、贝塔分布以及正态（高斯）分布的特性。对于正态分布，我们将花费专门的篇幅讨论其在二维和多维空间中的表现形式，为后续随机向量的分析做准备。此外，本章还将引入更一般的分布构造方法，如截断分布和混合分布。 第4章：随机变量的变换与期望的深入解析 随机变量的函数仍然是随机变量，但其分布的推导需要精妙的技巧。本章系统教授了求解单变量和多变量函数变换后分布密度的方法，包括雅可比变换在极坐标、笛卡尔坐标变换中的应用。期望运算的性质在这一章得到强化，我们不仅计算一阶矩（均值），还深入探讨了方差、矩、概率生成函数（PGF）和特征函数（Characteristic Function）的作用。特征函数作为分析极限分布和独立和的强大工具，将被详细阐述。 --- 第二部分：随机向量、大数定律与中心极限定理（第5章至第7章） 在奠定单变量概率论基础后，本部分转向多维随机现象的分析，并探讨极限理论的核心成果。 第5章：随机向量与多元分布 本章将随机变量的概念推广到向量空间。我们讨论了联合概率密度函数、协方差矩阵和相关系数的性质。重点分析了多元正态分布的结构，包括其密度函数的形式和基于协方差矩阵的几何解释。本章还将介绍如何处理随机变量的线性变换，以及在多元正态分布中，其子向量仍然服从多元正态分布的性质。 第6章：大数定律与随机变量的收敛性 本部分的核心理论探讨由此开始。我们严格区分了不同类型的收敛：依概率收敛（Convergence in Probability）、依分布收敛（Convergence in Distribution）和几乎必然收敛（Almost Sure Convergence）。本章的重点是证明并应用切比雪夫不等式、伯努利大数定律以及更具普适性的强大数定律（Strong Law of Large Numbers, SLLN），理解样本均值在何种条件下会稳定地收敛于真实期望。 第7章：中心极限定理（CLT）及其推广 中心极限定理是概率论应用中最具影响力的结果之一。本章将详细阐述Lyapunov和Lindeberg-Lévy两种形式的中心极限定理，解释为何无论原始分布如何，独立同分布随机变量之和的标准化形式渐进趋近于标准正态分布。本章还将探讨随机变量序列的依分布收敛与特征函数之间的关系，并简要介绍使用CLT进行统计推断的基础思路。 --- 第三部分：随机过程导论：时间序列的动态建模（第8章至第11章） 从静态的概率分布跃升至动态的随机过程，这是本书应用价值的集中体现。随机过程是描述随时间演变的随机现象的数学工具。 第8章：随机过程的基本概念与分类 本章定义了随机过程的数学框架，包括参数空间（时间）和状态空间。我们讨论了过程的独立增量、平稳性（严平稳与宽平稳）的定义。重点分析了高斯过程和马尔可夫过程的初步特征。 第9章：马尔可夫链：离散时间的随机演化 马尔可夫链是研究具有“无后效性”特性的离散时间随机过程的核心模型。本章详细讲解了转移概率矩阵、状态空间分类（常返、瞬态）、不可约性以及周期性的概念。我们深入探讨了平稳分布的存在性、唯一性及其求解方法，并介绍了平稳分布的物理意义。 第10章：泊松过程与指数分布 泊松过程是描述事件随机到达的经典模型。本章将泊松过程与指数分布联系起来，证明了事件到达时间服从指数分布的特性。我们讨论了泊松过程的独立增量和马尔可夫性质，并将其应用于排队论和可靠性理论的初步建模。 第11章：连续时间马尔可夫链（CTMC） 将马尔可夫链扩展到连续时间，需要引入生成元矩阵（速率矩阵）。本章阐述了无穷小生成元矩阵的定义和性质。我们利用微分方程（Kolmogorov前向和后向方程）来描述过程的演化，并探讨了CTMC的稳态分布（平衡方程）的求解，这在分析稳态系统性能时至关重要。 --- 结语：概率的广阔前沿 《概率论与随机过程：从基础原理到前沿应用》的构建，旨在提供一个坚实的理论地基，支撑读者向更深层次的随机分析领域迈进，例如鞅论、Itô微积分、时间序列分析等。我们相信，通过本书对公理化基础的严格阐述和对核心定理（如大数定律与中心极限定理）的细致剖析，结合对马尔可夫过程等动态模型的深入解析，读者将能以更清晰、更自信的视角去驾驭和解决复杂的现实世界中的不确定性问题。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我不是数学专业出身，纯粹是出于兴趣才接触数论，所以很多高深的代数和分析背景知识我都没有。这本书的强大之处就在于，它几乎没有设置太高的阅读门槛。对于那些需要复习初等代数和初等数论知识点的读者，它在开篇就做了非常详尽的背景回顾，像是一个贴心的私人教师，确保你不会因为基础薄弱而掉队。我尤其欣赏它对历史背景的穿插介绍，每一次介绍一个定理的发现者和发现过程，都让我对这个知识点有了更深的情感联结。比如讲到欧拉是如何发现某个重要公式时，那种天才的火花和反复试验的艰辛跃然纸上，这使得枯燥的公式不再只是公式，而是人类智慧的结晶。这种人文关怀使得原本可能显得冷硬的数学书籍，多了一份温度。我感觉自己不是在“啃”一本教材，而是在和一位博学的长者进行一场关于宇宙规律的深度对话，那种沉浸感是很多其他学术著作无法比拟的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计简直是点睛之笔，它们不仅是检验学习成果的工具，更是进一步探索和拓展知识边界的阶梯。不同于市面上很多教材的习题要么过于简单，要么直接跳跃到研究生水平的难度，这里的习题梯度控制得非常精准。基础的计算题用来巩固新概念，中等的证明题则要求你灵活运用刚刚学到的定理，而最后的几道挑战题，则真正体现了“导引”的意义——它们引导你去思考尚未在正文中完全展开的更深层次的问题。我常常在做完一个章节的习题后，会有豁然开朗的感觉，仿佛自己真的参与了数学发现的过程。而且，书的后半部分还提供了详细的解题思路，对于那些卡住的地方，它不会直接给出最终答案，而是提供一个解决问题的切入点，这种“授人以渔”的教育理念我非常赞赏。这让我感到，即使是自学，我也能获得高质量的反馈和引导，极大地提升了学习效率和自信心。

评分☆☆☆☆☆

从装帧质量上来说，这本书的纸张选择非常考究，长时间阅读下来，眼睛的疲劳感比阅读其他光面纸的书籍要轻很多。排版也十分清晰，公式和文字的间距处理得恰到好处，使得阅读体验非常流畅。我注意到，一些关键的定义和定理都被加粗或用不同的字体突出显示，这对于快速回顾和查找特定知识点非常有帮助，极大地提高了复习效率。作者在引用其他数学家的工作时，标注得非常规范和清晰，体现了严谨的学术态度。整本书的风格是内敛而自信的，没有花哨的图表或多余的装饰，所有的重点都集中在知识本身的阐述上。它给我的整体印象是：这是一本被认真对待的严肃学术著作，它尊重读者的时间和智力，用最纯粹、最高效的方式传递了数论的精髓。我愿意把它放在书架上最容易取到的位置，相信它会是未来几年里我反复研读的宝贵工具书。

评分☆☆☆☆☆

这本书的编排逻辑简直是教科书级别的典范，从基础的算术理论开始，层层递进地引入到更高级的主题。我喜欢它那种螺旋上升的结构，每学完一个新概念，都会立刻用它来解决之前出现的难题，这种“学以致用”的感觉极大地增强了我的学习动力。初读时可能会觉得有些概念比较枯燥，比如那些关于素数分布的讨论，但作者巧妙地将这些理论与实际应用场景结合起来，比如密码学中的一些基础原理，这样一来，原本冰冷的数字似乎也变得鲜活起来。我印象最深的是关于丢番图方程的那一章，它没有直接给出一个万能的解法，而是先从最简单的线性方程入手，逐步过渡到更复杂的二次方程，让读者亲身体验到数学家是如何思考和解决问题的。阅读过程中，我发现自己开始主动去思考“如果换个角度看这个问题会怎么样”，而不是被动地接受书本上的结论。这种启发式的教学方法，对于培养真正的数论思维至关重要，它教会的不仅仅是知识点，更是一种严谨的数学研究方法论。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计得非常朴实，拿到手上感觉挺有分量的，那种厚重感让人觉得内容一定扎实。我一开始只是对数论这个领域有点好奇，想找本入门书看看，结果翻开这本，发现它果然是为初学者量身定制的。作者的叙述方式非常平易近人，他似乎很清楚读者在理解抽象概念时会遇到的困难，所以总能找到非常形象的比喻来解释那些复杂的定理。比如讲到模运算的时候，他用了日常生活中取余数的例子，一下子就把那个抽象的概念具象化了。我特别欣赏它在证明过程中使用的循序渐进的步骤，每一步推导都交代得非常清楚，不会让人有“怎么突然就跳到这里了”的感觉。有时候我读其他数学书，看到一个证明就直接卡住了，但这本书很少出现这种情况，它会把很多中间步骤也写出来，这对于我这种数学基础不太扎实的读者来说，简直是福音。我感觉作者在写这本书的时候，是真的站在读者的角度去思考，而不是仅仅把已有的知识堆砌起来。它不仅仅是知识的传授，更像是一次耐心的引导，让人在不知不觉中建立了对数论的基本框架认识。