Schur凸函数与不等式 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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石焕南 著

图书标签:

• Schur函数
• Schur凸函数
• 不等式
• 数学分析
• 凸分析
• 优化
• 组合数学
• 实分析
• 函数不等式
• 数学

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560364933

版次：1

商品编码：12259775

包装：平装

开本：16

出版时间：2017-10-01

用纸：胶版纸

编辑推荐

本书适合数学研究人员、大学数学教师、研究生、本科生、中学数学教师及数学爱好者参考阅读。

内容简介

Schur凸函数是受控理论的核心概念,是比熟知的凸函数更为广泛的一类函数,有着广泛的应用.本书介绍有关Schur凸函数的基本理论和推广,并且介绍了Schur凸函数在不等式方面的应用.本书包含了国内外学者近年来所获得的大量新的研究成果,提供了六百篇有关的参考文献.

目录

目录

引言

第一章 控制不等式

第二章 Schur凸函数的定义和性质

第三章 Schur凸函数与初等对称函数不等式

第四章 Schur凸函数与其他对称函数不等式

第五章 Schur凸函数与序列不等式

第六章 Schur凸函数与积分不等式

第七章 Schur凸函数与二元平均值不等式

第八章 Schur凸函数与多元平均值不等式

第九章 Schur凸函数与几何不等式

参考文献

人名索引

主题索引

编辑手记

《凸函数与优化理论基础》 内容提要： 本书旨在全面而深入地探讨凸分析和凸优化的基本理论与核心概念。全书结构严谨，逻辑清晰，从实分析的基础出发，逐步构建起凸集、凸函数、凸优化问题的理论框架，并详细阐述了解决这些问题的关键方法。本书不仅涵盖了经典的凸优化理论，也融入了现代研究的热点，力求为读者提供一个扎实且前沿的知识体系。 第一章 预备知识与背景 本章首先回顾读者在实分析、泛函分析和线性代数中需要掌握的基础知识。这包括拓扑空间的基本概念（如开集、闭集、紧集）、度量空间以及赋范线性空间。重点梳理了 $mathbb{R}^n$ 上的拓扑性质，为后续的凸集定义奠定基础。此外，本章还简要介绍了凸性的直观理解和在工程、经济、机器学习等领域的初步应用场景，以激发读者的学习兴趣。 第二章 凸集：结构与性质 凸集是凸分析的基石。本章系统地定义了凸集，并通过各种方式刻画凸集，例如仿射组合、凸组合、极点、极端方向等。我们将深入探讨凸集的拓扑性质，包括凸集的闭包、内部、边界及其对凸性的影响。特别地，本书将详细讨论常见的凸集类型，如多面体、锥、球体和椭球体，并介绍分离定理（Hahn-Banach 定理的凸集版本）和支撑超平面定理，这些定理是理解凸优化对偶性的关键工具。 第三章 凸函数：定义、运算与光滑性 本章的核心是凸函数的定义及其重要性质。我们将严格定义凸函数和（严格）拟凸函数，并探讨其等价刻画，例如一阶和二阶导数判别法（在可微和二次可微情况下）。凸函数运算的封闭性是本章的另一重点，包括函数加法、最大值、最小化、非负加权求和以及复合运算等。此外，我们还将考察凸函数的光滑性，讨论 Lipschitz 连续性、光滑性（$C^1$ 和 $C^2$ 属性）以及它们与函数增长率的关系。 第四章 凸函数的极值与结构 本章关注凸函数在特定集合上的行为。我们将分析凸函数在凸集上的极小值问题。核心内容包括：凸函数的局部极小值即为全局极小值的性质，以及梯度信息在确定极小值点时的作用。对于无约束问题，我们将介绍次梯度（Subgradient）的概念，这是处理不可微凸函数的核心工具。次梯度的定义、性质以及次梯度方法（次梯度下降法）将被详细阐述，并分析其收敛性。 第五章 凸优化问题：标准形式与对偶性 凸优化问题是本书的核心应用领域。本章首先将常见的优化问题（如线性规划、二次规划）转化为标准凸优化问题的形式。我们将严格引入优化问题的原始问题（Primal Problem）。随后，本章将花费大量篇幅介绍凸优化中的对偶理论。通过拉格朗日函数，我们将推导出对偶问题（Dual Problem）。卡罗什-库恩-塔克（KKT）条件作为原始问题和对偶问题解的充要条件将被深入探讨，这是解决约束优化问题的理论基石。 第六章 求解算法：一阶方法 本章聚焦于求解大规模凸优化问题的一阶迭代算法。首先介绍经典的梯度下降法及其收敛性分析，特别关注步长选择策略（如最优线搜索和固定步长）。在此基础上，我们将引入更先进的一阶方法，如次梯度法、近端梯度法（Proximal Gradient Methods）以及动量加速方法（如 Nesterov 加速梯度法）。这些方法的收敛率分析和实际应用中的策略将被详细讨论。 第七章 求解算法：二阶方法与内点法 当问题具有一定的光滑性和结构时，二阶信息可以提供更快的收敛速度。本章将介绍牛顿法及其在凸优化中的应用。我们将讨论如何利用海森矩阵的信息来构造搜索方向。随后，本书将转向求解凸优化问题的强大工具——内点法（Interior Point Methods）。我们将重点介绍障碍函数法（Barrier Methods），解释如何通过引入障碍函数将约束问题转化为一系列无约束问题，并讨论其全局收敛性和多项式时间复杂度。 第八章 应用与扩展 本章将探讨凸分析和凸优化在现代学科中的前沿应用。内容包括：稀疏优化（如 $ell_1$ 范数最小化），在机器学习（如支持向量机 SVM）和信号处理中的应用。此外，我们还将简要介绍半定规划（SDP）的基础知识，作为一类重要的非线性凸优化问题。本章旨在展示理论工具的强大威力，并为读者后续的深入研究提供方向。 读者对象： 本书适合于数学、应用数学、运筹学、计算机科学、控制工程以及金融工程等领域的本科高年级学生、研究生以及从事相关研究和工程实践的专业人员。读者应具备微积分、线性代数和基础实分析的知识。 本书特色： 理论与实践并重： 理论论证严谨，同时配有大量的例子和算法描述。 内容全面深入： 覆盖从基础凸集到先进内点法的完整体系。 清晰的数学推导： 所有关键定理和算法均提供详细的证明过程。

评分☆☆☆☆☆

我是一位对不等式理论情有独钟的数学爱好者，多年来涉猎过不少相关书籍，而《Schur 凸函数与不等式》这本书，在我看来，无疑是该领域的一部集大成之作。它不仅仅是罗列不等式，更重要的是，它构建了一个完整的理论框架，将 Schur 凸函数这一强大的工具，系统地融入到不等式证明的实践之中。作者在书中对 Schur 凸函数的引入，并非是凭空而来，而是从其与概率论、统计学等领域的紧密联系出发，让读者能够理解其出现的“合理性”和“必然性”。书中对 Schur 乘积不等式和 Schur 积分不等式的详尽阐述，为解决一系列经典不等式问题提供了统一的途径。我尤其欣赏作者在处理具体不等式问题时，所展现出的分析的深度和证明的巧妙。他能够从 Schur 凸函数的角度，发掘出隐藏在看似迥异的不等式背后的共同结构，并借此构建出简洁而有力的证明。这本书的阅读体验，是一种“顿悟”式的学习过程，每一次对新不等式证明的理解，都让我感受到数学思维的魅力。它让我明白了，掌握一个强大的理论工具，能够极大地提升解决问题的效率和思维的广度。对于任何希望在不等式领域有所突破的读者来说，这本书都将是不可多得的良师益友。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学有着浓厚兴趣的业余爱好者，平时喜欢阅读一些数学普及读物，但偶尔也会挑战一些更具深度的书籍，而《Schur 凸函数与不等式》恰恰就属于后者。老实说，初次翻开这本书时，我有些被书中密密麻麻的公式和符号所震撼，感觉它更像是给专业人士看的“天书”。然而，作者以一种非常耐心和循序渐进的方式，为我打开了通往 Schur 凸函数世界的大门。我特别喜欢书中对 Schur 凸函数几何意义的直观解释，通过将它与向量的“部分和”以及“排序”联系起来，让原本抽象的概念变得生动起来。书中关于 Schur 变换的讨论，也给我留下了深刻的印象。虽然我可能无法完全理解每一个证明的细节，但我能够感受到作者想要传达的核心思想： Schur 凸函数是如何提供一种统一的框架来分析和证明一类重要的不等式。这本书就像一位循循善诱的老师，它不会直接告诉你答案，而是引导你一步步去思考，去探索。即使某些章节我暂时难以完全消化，但整体上，它极大地激发了我对这个领域的兴趣，也让我对数学研究的严谨性和创造性有了更深的认识。

评分☆☆☆☆☆

《Schur 凸函数与不等式》这本书，对于那些在数学领域，特别是分析学和优化方向有所建树的研究人员来说，无疑是一份宝贵的馈赠。书中对于 Schur 凸函数性质的挖掘，其细致程度令人赞叹。作者不仅清晰地梳理了 Schur 凸函数与其它凸函数类（如一般的凸函数、凹函数、对数凹函数等）之间的相互关系，更深入地探讨了 Schur 凸函数在不动点定理、逼近论以及控制理论等领域中的潜在应用。我特别注意到书中关于 Schur 凹函数与最优传输理论的联系，这部分内容为理解非欧几里得度量下的最优输运问题提供了一个全新的视角。此外，书中对 Schur 乘积不等式的深入研究，也为矩阵不等式的研究开辟了新的思路。在阅读过程中，我多次被作者巧妙的证明技巧所折服，这些技巧不仅体现了深厚的理论功底，更彰显了作者在数学研究中的独到见解。这本书的论述严谨，逻辑清晰，并且充分考虑到了读者的背景，使得即使是初次接触 Schur 凸函数的读者，也能从中获益良多。对于那些希望将 Schur 凸函数作为研究工具，或者对其理论基础进行深入探索的学者而言，这本书是必不可少的参考。

评分☆☆☆☆☆

作为一名曾经在学术领域摸爬滚打过多年的研究者，我对于数学专著的评价标准向来是相当挑剔的。然而，《Schur 凸函数与不等式》这本书，无疑在我的高评价名单上占据了一席之地。它的价值，绝非流于表面，而是体现在其内容的深度和广度上。作者对于 Schur 凸函数的研究，几乎可以说是倾注了心血，从其起源、基本性质，到其在优化理论、组合数学、以及更广泛的分析学领域中的应用，都有着详尽的论述。我尤其欣赏书中关于 Jensen 不等式的推广以及与凸函数不等式之间联系的讨论，这部分内容对于理解 Schur 凸函数的本质，以及如何利用其强大性质来简化复杂的不等式证明，起到了至关重要的作用。书中引用的参考文献，也都是该领域的经典之作，这充分说明了作者扎实的学术功底和对研究现状的深刻把握。阅读过程中，我时常会停下来，仔细思考作者提出的每一个命题和证明思路，并尝试将其应用到自己曾经遇到过的一些问题中。这种理论与实践相结合的阅读体验，是我在其他许多同类书籍中难以获得的。总而言之，这是一本值得反复研读的著作，对于任何希望深入理解 Schur 凸函数及其在不等式理论中扮演角色的读者来说，都具有不可替代的价值。

评分☆☆☆☆☆

这本《Schur 凸函数与不等式》着实让人眼前一亮！作为一名数学爱好者，我一直对那些看似优雅却蕴含深刻数学思想的工具着迷。Schur 凸函数，这个概念我之前只在一些高阶的分析课程中零星接触过，总觉得它神秘而强大，但又难以抓住其精髓。拿到这本书，我立刻被其严谨的编排和深入浅出的讲解所吸引。作者并没有直接抛出复杂的定理，而是从 Schur 凸函数的基本定义和性质入手，一步步引导读者理解其内在的逻辑。我特别喜欢其中关于“Majorization”（支配）概念的阐述，这可能是理解 Schur 凸函数的关键。书中通过一系列精心设计的例子，将抽象的定义转化为具体的图像和不等式，让我得以直观地感受 Schur 凸函数的威力。尤其是作者在讨论 Schur 乘积和 Schur 积分时，将这些概念与矩阵理论以及概率论中的某些思想巧妙地联系起来，让我深刻体会到数学不同分支之间的融会贯通。读完开头几章，我感觉自己对 Schur 凸函数的理解上升了一个新的台阶，它不再仅仅是一个符号或公式，而是变成了一个可以用来分析和解决问题的有力工具。我非常期待后面章节将如何展现 Schur 凸函数在各种不等式证明中的应用，相信这本书会成为我工具箱里的一件利器。