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内容简介

《数学分析基本问题与注释》是作者在上海师范大学主讲数学分析一学期课程的教学配套用书. 《数学分析基本问题与注释》的主要内容可分为两部分，一部分是针对教材的每一节内容列出了五个基本问题,学生可以在课前预习时参考，通过问题带领，有的放矢地让学生自学教材，理解了这些问题就领会了所学内容. 另一部分是作者根据该节内容和所列问题，结合自己的理解和体会以及适量例题给出的要点讲解与注释，以帮助学生正确理解和掌握课本知识. 此外，各章还配备了测试题及其提示.

目录

目录
前言
第1章 实数集与函数 1
1.1 实数 1
1.1.1 基本问题 1
1.1.2 要点讲解与注释 1
1.1.3 补充材料：戴德金分划简介 5
1.2 数集和确界原理 6
1.2.1 基本问题 6
1.2.2 要点讲解与注释 7
1.3 函数概念 9
1.3.1 基本问题 9
1.3.2 要点讲解与注释 10
1.4 具有某些特性的函数 14
1.4.1 基本问题 14
1.4.2 要点讲解与注释 14
1.5 第1章测试题与提示 21
1.5.1 测试题 21
1.5.2 提示 22
第2章 数列极限 23
2.1 数列极限概念 23
2.1.1 基本问题 23
2.1.2 要点讲解与注释 23
2.2 收敛数列的性质 30
2.2.1 基本问题 30
2.2.2 要点讲解与注释 30
2.3 数列极限存在的条件 35
2.3.1 基本问题 35
2.3.2 要点讲解与注释 36
2.4 第2章测试题与提示 43
2.4.1 测试题 43
2.4.2 提示 44
第3章 函数极限 46
3.1 函数极限的概念 46
3.1.1 基本问题 46
3.1.2 要点讲解与注释 47
3.2 函数极限的性质 52
3.2.1 基本问题 52
3.2.2 要点讲解与注释 52
3.3 函数极限存在条件 55
3.3.1 基本问题 55
3.3.2 要点讲解与注释 55
3.4 两个重要的极限 58
3.4.1 基本问题 58
3.4.2 要点讲解与注释 59
3.5 穷小量与穷大量 61
3.5.1 基本问题 61
3.5.2 要点讲解与注释 61
3.6 第3章测试题与提示 65
3.6.1 测试题 65
3.6.2 提示 65
第4章 函数的连续性 68
4.1 连续性概念 68
4.1.1 基本问题 68
4.1.2 要点讲解与注释 68
4.2 连续函数的性质 71
4.2.1 基本问题 71
4.2.2 要点讲解与注释 71
4.3 初等函数的连续性 76
4.3.1 基本问题 76
4.3.2 要点讲解与注释 76
4.4 第4章测试题与提示 81
4.4.1 测试题 81
4.4.2 提示 82
第5章 导数和微分 85
5.1 导数的概念 85
5.1.1 基本问题 85
5.1.2 要点讲解与注释 85
5.2 求导法则 88
5.2.1 基本问题 88
5.2.2 要点讲解与注释 88
5.3 参变量函数的导数 90
5.3.1 基本问题 90
5.3.2 要点讲解与注释 90
5.4 高阶导数 92
5.4.1 基本问题 92
5.4.2 要点讲解与注释 93
5.5 微分 94
5.5.1 基本问题 94
5.5.2 要点讲解与注释 95
5.6 第5章测试题与提示 96
5.6.1 测试题 96
5.6.2 提示 97
第6章 微分中值定理及其应用 100
6.1 拉格朗日中值定理与函数单调性 100
6.1.1 基本问题 100
6.1.2 要点讲解与注释 100
6.2 柯西中值定理与不定式极限 104
6.2.1 基本问题 104
6.2.2 要点讲解与注释 104
6.3 泰勒公式 107
6.3.1 基本问题 107
6.3.2 要点讲解与注释 107
6.4 函数的极值与最值 111
6.4.1 基本问题 111
6.4.2 要点讲解与注释 111
6.5 函数的凸性与拐点 114
6.5.1 基本问题 114
6.5.2 要点讲解与注释 115
6.6 函数的图像 119
6.6.1 基本问题 119
6.6.2 要点讲解与注释 119
6.7 第6章测试题与提示 120
6.7.1 测试题 120
6.7.2 提示 121
第7章 实数的完备性 125
7.1 关于实数集完备性的基本定理 125
7.1.1 基本问题 125
7.1.2 要点讲解与注释 125
7.2 上极限和下极限 126
7.2.1 基本问题 126
7.2.2 要点讲解与注释 126
第8章 教学与历史回顾 129
8.1 再识“一元微分学” 129
8.2 微积分发展简介 130
8.2.1 引言 130
8.2.2 牛顿的流数术 131
8.2.3 莱布尼茨的微积分 132
8.2.4 发明权之争 133
8.2.5 柯西与分析学基础 134
8.2.6 魏尔斯特拉斯的严格化 135
8.2.7 微积分学若干概念形成简史 136
8.2.8 微积分学的内容组成、所揭示的矛盾和向现代数学的拓展 137
参考文献 140

精彩书摘

　　《数学分析基本问题与注释》：
　　上述命题的证明中出现名词“必要性”与“充分性”.我们来解释一下它们的含义.这个命题中，“x>y”是一个明确的结论，而“存在正整数n使xn>1yn”是一个具体的条件.由前者推出后者就是证明条件的必要性，而由后者导出前者则是证明充分性.一般地，假设有这样一个命题或定理：如果条件A成立，则结论B必成立.这个命题的逆否命题是：如果结论B不成立，则条件A必不能成立.因此，条件A足以保证结论B成立，也即结论B就是条件A的必然结果.我们把A称为B的充分条件.而对这样一个命题的证明往往不去明确充分性和必要性.然而，很多命题或定理是以这样的形式出现的：结论B成立的充要条件是条件A成立，或者，结论B成立当且仅当条件A成立.在这个叙述中，结论B先列了出来.在证明这样一类命题或定理的时候，往往需要明确充分性与必要性，其中必要性部分就是在“结论B成立”的假设下推出条件A，简记为B=A，而充分性部分则是在“条件A成立”的假设下证明B，记为A=B.我们再看一个具体例子.前面我们利用无限循环的无限小数表示定义了有理数.进一步可证：实数x是有理数的充分必要条件是存在互素整数m和n，且n6=0，使x=m=n.这里我们不打算证明这个命题，只是借着它来解释充分性和必要性.利用“x是有理数”来导出“x=m=n”就是证明必要性，利用“x=m=n”来导出“x是有理数”就是证明充分性.这个命题表明条件“x=m=n”既是“x是有理数”的必要条件，也是“x是有理数”的充分条件.
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