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☆☆☆☆☆

贾春福 著

图书标签:

• 信息安全
• 数学基础
• 密码学
• 离散数学
• 数论
• 代数
• 概率论
• 统计学
• 算法
• 安全模型

出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111557005

版次：1

商品编码：12126894

品牌：机工出版

包装：平装

丛书名： 高等院校信息安全专业规划教材

开本：16开

出版时间：2017-02-01

用纸：胶版纸

页数：238

内容简介

　　本书系统地介绍了信息安全理论与技术所涉及的数论、代数、椭圆曲线等数学理论基础。全书共分为9章：第1章是预备知识，介绍了现代密码学涉及的数学基础；第2章至第5章是数论基础，包括整除、同余、次数与原根、二次剩余和素数检验以及整数分解等内容；第6章至第8章是代数基础，包括群、环、域的概念及其应用等内容；第9章是椭圆曲线，包括仿射空间和射影空间、椭圆曲线的基本性质、椭圆曲线上的离散对数等内容。书中每章末都配有适量习题，以供学生学习和复习巩固书中所学内容。

目录

?前言
教学建议
第1章　预备知识 1
1.1　集合 1
1.2　关系 8
1.3　函数 17
1.4　映射和势 22
1.5　拓扑空间 25
第2章　整除 31
2.1　整除与带余除法 31
2.2　最大公因子与辗转相除法 35
2.3　算术基本定理 43
*2.4　完全数、梅森素数和费马素数 47
第3章　同余 51
3.1　同余的概念和性质 51
3.2　剩余类和剩余系 55
3.3　欧拉定理和费马小定理 59
3.4　扩展欧几里得算法和威尔逊定理 64
3.5　线性同余方程 68
3.6　中国剩余定理与同余方程组 71
*3.7　高次同余方程 81
第4章　原根与指数 88
4.1　次数 88
4.2　原根 94
4.3　指数与高次剩余 103
第5章 二次剩余 109
5.1　二次剩余的概念和性质 109
5.2　勒让德符号与二次互反律 113
5.3　雅可比符号 124
第6章 群 129
6.1　群 129
6.2　子群 133
6.3　循环群 136
6.4　置换群 140
6.5　陪集与商群 145
6.6　同态和同构 150
第7章　环 156
7.1　环 156
7.2　理想和商环 162
7.3　几类重要的环 168
7.4　素理想和极大理想 174
第8章　域 178
8.1　域上的多项式 178
8.2　域的代数扩张 183
8.3　分裂域与自同构 188
8.4　伽罗瓦理论初步 194
8.5　有限域 198
第9章　椭圆曲线 203
9.1　仿射空间与射影空间 203
*9.2　代数曲线 210
9.3　Weierstrass方程与椭圆曲线 214
9.4　椭圆曲线上的群结构 221
9.5　有限域上的椭圆曲线 227
9.6　椭圆曲线上的离散对数 232
索引 234
参考文献 239

前言/序言

　　计算机和网络技术的飞速发展和广泛应用，极大地促进了社会的发展，也彻底改变了人们的生活和工作方式．与此同时，网络与信息安全问题也更多地受到关注，网络空间安全理论与技术已经成为当前最为重要的研究领域之一，网络空间安全专门人才的培养受到了社会空前的重视．“信息安全数学基础”是信息安全本科专业的基础课之一，对网络空间安全理论与技术（特别是网络空间安全的核心技术——密码技术）的深入学习具有重要的意义．本书是在南开大学信息安全专业“信息安全数学基础”课程授课讲义的基础上整理而成的．全书分为4部分，共包括9章内容：
　　第一部分：预备知识（第1章），介绍书中后续章节所涉及的基本概念和基础知识，包括集合、关系、函数、映射与势以及拓扑空间等．第二部分：数论基础（第2至5章），介绍数论的基本内容，包括整除（整数的因子分解）、同余、原根与指数、二次剩余以及数论的应用等内容．第三部分：抽象代数基础（第6至8章），分别介绍群、环、域的概念和知识，以及初等伽罗瓦理论和有限域理论．第四部分：椭圆曲线（第9章），介绍椭圆曲线的算术理论，包括仿射空间和射影空间、Weierstrass方程与椭圆曲线、椭圆曲线上的群结构、有限域上的椭圆曲线和椭圆曲线上的离散对数等内容．书中每节末都配有适量的习题，供学生在复习和巩固书中所学内容时使用．习题包括A、B两组：A组主要用于巩固学生在课堂上所学的内容和知识，B组主要用于拓展学生的知识和技能．本书依据《高等学校信息安全专业指导性专业规范》（清华大学出版社，2014）中关于“信息安全数学基础”的相关教学要求选取内容，并将编者多年积累的实际教学经验融入其中，力求知识系统化，能较好地覆盖网络空间安全领域所涉及的数学基础知识．书中所涉及的基础知识都进行了介绍，其中的数学结论都给出了详细的证明；书中所配的习题着力于帮助学生巩固所学的内容和拓展能力．本书适合高等学校信息安全、计算机科学技术和通信工程等专业本科生和研究生使用，也可供相关领域的科研人员和技术人员参考．本书由贾春福、钟安鸣和杨骏编写．高敏芬老师、李瑞琪、梁爽、吕童童、田美琦、程晓阳和郑万通等参与了书稿的阅读和校对．由于时间仓促，书中难免有疏漏和不当之处，敬请读者批评指正．编者2016年10月于南开园

《信息安全数学基础》 图书简介 在数字时代的浪潮中，信息安全已成为维系社会运转、保护个人隐私、保障国家利益的基石。而要构建坚不可摧的信息安全防线，深入理解其背后的数学原理至关重要。本书《信息安全数学基础》正是为读者精心打造的一座通往信息安全数学殿堂的桥梁，它系统、深入地阐释了支撑现代信息安全体系的数学分支，旨在为广大计算机科学、网络安全、密码学、信息安全等领域的从业者、研究者及学生提供一套扎实而全面的理论基础。 本书并非一本技术操作指南，也非对具体安全工具的介绍，而是聚焦于信息安全领域底层所依赖的数学工具与概念。我们相信，只有透彻理解了“为什么”和“如何工作”的数学根基，才能在不断演进的信息安全技术领域保持敏锐的洞察力，并能独立创新，设计出更强大、更具韧性的安全解决方案。 本书内容概览： 本书的编写遵循循序渐进、由浅入深的原则，从最基础的数学概念出发，逐步深入到与信息安全紧密相关的各个数学分支。 第一部分：数论基础与应用 数论是信息安全领域，尤其是密码学中最为核心的数学基石之一。本书将从以下几个方面展开： 整除性与模运算： 我们将详细介绍整数的整除性质，如最大公约数（GCD）、最小公倍数（LCM），以及它们在简化计算和分析算法中的作用。在此基础上，我们将深入探讨模运算（Modular Arithmetic），这是理解公钥密码学算法（如RSA）的关键。我们将介绍模同余、模逆元、欧拉定理、费马小定理等核心概念，并阐述它们在加密、解密、数字签名等过程中的应用。 素数与素性检验： 素数在现代密码学中扮演着至关重要的角色，特别是大素数的生成和分解难题构成了许多公钥密码系统的安全基础。本书将介绍素数的定义、性质，以及一些经典的素性检验算法，例如米勒-拉宾素性检验，并讨论其在密码学中的意义。 同余方程与中国剩余定理： 解一元二次同余方程以及同余方程组是数论中的重要问题。我们将详细介绍同余方程的解法，特别是中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）及其在提高计算效率和解决多模数同余问题中的强大应用，这在某些高效密码实现中非常有用。 有限域： 有限域（Finite Fields），特别是伽罗瓦域（Galois Fields，GF(p) 和 GF(2^n)），是代数密码学、纠错码以及某些更高级的密码体制（如椭圆曲线密码学）的基础。本书将详细介绍有限域的构造、运算规则，以及其在信息安全中的理论意义和实际应用。 第二部分：代数结构与密码学 代数结构为信息安全提供了更抽象、更强大的数学框架。 群、环、域： 本部分将介绍抽象代数中的基本结构：群（Groups）、环（Rings）和域（Fields）。我们将阐述它们的定义、性质，并重点关注那些在密码学中具有重要意义的代数结构，例如有限域上的加法群和乘法群。理解这些抽象概念有助于深入理解各种密码算法的设计思想和安全证明。 有限域上的代数： 进一步深化对有限域的研究，我们将探讨有限域上的多项式运算、有限域的扩张等内容，为理解更复杂的密码学构造（如基于格的密码学、编码理论中的置换等）打下基础。 第三部分：概率论与统计学在信息安全中的应用 信息安全往往需要考虑不确定性、随机性和统计特性。 概率基本概念： 本部分将回顾概率论的基本概念，包括事件、概率、条件概率、全概率公式、贝叶斯定理等。我们将讨论随机变量、概率分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布、正态分布等）的概念。 信息熵与熵的度量： 信息熵（Information Entropy）是衡量信息不确定性或随机性的重要指标，在密码学中用于分析密钥空间的大小、随机数生成器的质量，以及信息论安全的概念。本书将详细介绍香农熵的定义、性质，并探讨其在密码学中的应用，例如衡量加密算法的信息泄露程度。 统计检验与随机性分析： 在设计安全的随机数生成器、评估密码算法的统计特性时，统计检验至关重要。我们将介绍一些基本的统计检验方法，用于判断一组数据是否具有统计学上的随机性，以及如何在实践中应用这些检验。 第四部分：离散数学与图论在信息安全中的应用 离散数学提供了处理离散结构和关系的重要工具。 集合论与关系： 本部分将回顾集合论的基本概念，如集合、子集、并集、交集、差集、笛卡尔积等。我们将介绍关系、函数及其性质，并探讨它们在数据结构、数据库安全等领域的应用。 图论基础： 图论（Graph Theory）在网络安全、访问控制模型、协议分析等方面有着广泛的应用。本书将介绍图的基本概念，如顶点、边、路径、连通性、最短路径算法（如Dijkstra算法）、最小生成树等。我们将讨论图论如何用于建模网络拓扑、分析权限分配、设计安全协议等。 组合数学与计数原理： 组合数学（Combinatorics）对于分析算法复杂度、计算密钥空间大小、评估攻击的概率等方面至关重要。我们将介绍排列、组合、二项式定理等基本计数原理，并说明它们在信息安全分析中的应用。 第五部分：函数与编码理论基础 函数及其性质在密码学和纠错码中发挥着重要作用。 单向函数与伪随机数生成器： 本部分将介绍信息论中的重要概念，如单向函数（One-way Functions）和伪随机数生成器（Pseudorandom Number Generators，PRNGs）。我们将讨论单向函数的性质及其在密码学中的重要性，并介绍PRNGs的设计原则和评估方法。 纠错码基础： 纠错码（Error-Correcting Codes）在可靠通信和数据存储中扮演着关键角色，它也与信息安全中的某些方面（如秘密共享、某些高级密码体制）有着密切联系。本书将介绍纠错码的基本思想，如汉明码等简单编码，以及编码的基本原理，为理解更复杂的安全通信机制奠定基础。 本书的特色与价值： 1. 系统性与深度： 本书并非碎片化的知识罗列，而是将信息安全所需的数学知识体系化、结构化，并深入讲解核心概念及其数学原理。 2. 理论与实践的结合： 在讲解数学概念的同时，本书会穿插大量的与信息安全相关的应用示例，帮助读者理解理论知识的实际价值。例如，在讲解模运算时，我们会联系RSA算法；在讲解概率论时，我们会讨论统计检验在评估随机数生成器时的应用。 3. 严谨的数学论证： 本书注重数学概念的严谨定义和定理的证明，力求让读者在理解应用的同时，掌握坚实的理论基础。 4. 面向广泛读者群： 无论是初学者希望建立扎实的数学基础，还是已有一定基础的从业者希望系统梳理知识，亦或是学生希望深入学习信息安全相关的数学，本书都能提供有价值的指导。 结语： 信息安全是一个快速发展的领域，而数学是支撑这一领域不断前进的永恒力量。掌握《信息安全数学基础》中的知识，不仅能够让你更好地理解现有的信息安全技术，更能让你具备独立思考、创新设计新一代安全解决方案的能力。我们希望通过本书，为广大读者打开一扇通往信息安全数学世界的大门，激发对这一领域更深入的探索和研究。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对算法和系统安全有浓厚兴趣的研究生，在导师的推荐下阅读了《信息安全数学基础》。这本书的价值在于它不仅仅是数学知识的堆砌，更是对信息安全领域数学思维模式的培养。书中对于不同数学分支的讲解，如集合论、组合学、概率论，都紧密围绕着如何用数学的语言来描述和分析安全问题。例如，在概率论部分，书中通过对随机过程和信息论的介绍，为理解信息泄露和密钥生成等问题提供了理论基础。而对组合数学的深入探讨，则为分析密码系统的安全性和计算复杂性提供了工具。我特别欣赏书中对一些前沿安全技术，如零知识证明和后量子密码学背后的数学原理的初步介绍。虽然这些内容涉及的数学会更加复杂，但作者通过层层递进的方式，逐步引导读者理解其核心思想。这本书为我进一步深入研究信息安全领域奠定了坚实的数学根基，也让我意识到，数学不仅仅是工具，更是理解和构建安全体系的语言。

评分☆☆☆☆☆

这本《信息安全数学基础》真是让我大开眼界！我一直对信息安全这个领域充满兴趣，但总感觉那些高级的技术术语和复杂的算法遥不可及。这本书就像一座桥梁，用一种非常易懂的方式，把我带入了信息安全背后的数学世界。我一直以为数学离我们很遥远，但读完这本书我才意识到，原来我们日常生活中接触到的很多安全机制，比如密码学，都离不开深厚的数学功底。书中的例子非常贴切，从简单的数论概念到更复杂的群论应用，作者都循循善诱，让我这个数学“小白”也能够理解其中的精髓。特别是关于公钥加密的章节，以前我只知道它很厉害，但这本书解释了其中的原理，让我恍然大悟。原来，大数分解的困难度才是保证我们通信安全的基石！而且，书中还穿插了一些历史故事和应用场景，让原本枯燥的数学知识变得生动有趣，读起来一点都不费力。我特别喜欢作者在讲解某个概念时，会先抛出一个实际的问题，然后一步步引导我们用数学工具去解决它，这种“授人以渔”的方式让我受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

作为一个在信息安全领域摸爬滚打多年的从业者，我一直深知扎实的数学基础对于理解和创新信息安全技术的重要性。《信息安全数学基础》这本书，无疑为我提供了一个绝佳的理论框架。书中对离散数学、数论、抽象代数等核心数学分支的阐述，不仅严谨且深入，更重要的是，它将这些抽象的数学概念与信息安全领域的实际问题巧妙地结合起来。例如，在讲解数论时，书中不仅详细阐述了费马小定理、欧拉定理等基础知识，还通过 RSA 算法的构建过程，生动地展示了这些定理如何在实际的公钥加密中发挥作用。同样，在代数部分，有限域和群论的概念，被清晰地应用于编码理论和分组密码的设计。这本书的独特之处在于，它并没有停留在概念的罗列，而是通过大量的推导和实例，帮助读者建立起数学理论与安全应用之间的深刻联系。这对于我这样的从业者来说，无疑是提升理论水平、拓展技术视野的宝贵财富。

评分☆☆☆☆☆

我是一名计算机专业的学生，之前在学习信息安全课程时，对于一些涉及数学推导的部分总是感到力不从心。这次偶然翻阅了《信息安全数学基础》，简直像找到了救星。这本书的体系非常完整，从最基础的离散数学概念，比如集合、逻辑、图论，到更深入的代数结构，如群、环、域，都进行了详尽的阐述。最让我印象深刻的是，作者并没有将这些数学概念孤立地讲解，而是紧密地结合信息安全的应用场景，比如在编码理论中如何利用有限域来纠错，在加密算法中如何运用模运算和离散对数。这种“理论与实践相结合”的方式，极大地增强了我的理解能力和学习动力。我以前觉得这些数学概念过于抽象，难以想象它们在实际中的作用，但这本书通过大量的案例分析，让我看到了数学在保护我们数据隐私、维护网络安全方面的强大力量。书中的数学符号和公式都解释得很清楚，而且配有大量的练习题，可以帮助我们巩固所学知识。

评分☆☆☆☆☆

我是一名业余的密码学爱好者，一直对加密算法的原理充满好奇。在接触《信息安全数学基础》之前，我阅读了一些关于密码学入门的书籍，但往往在涉及数学原理时就感到吃力。这本书则恰恰填补了我的知识空白。它以一种非常系统的方式，从信息安全领域最核心的数学概念讲起，比如数论中的素数、模运算、欧拉定理，以及代数中的有限域、群论等。这些概念在书中得到了清晰的解释，并且紧密地与密码学的各种应用相结合，比如 RSA 公钥加密算法背后的数论原理，AES 对称加密算法中涉及的有限域运算，以及数字签名和哈希函数的数学基础。我特别喜欢书中对这些数学概念的直观讲解，作者通过一些生动的比喻和图示，让原本抽象的数学概念变得易于理解。而且，书中还深入探讨了一些更高级的主题，比如椭圆曲线密码学，这让我对现代密码学的复杂性和精妙性有了更深刻的认识。