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内容简介

《中公版·2017国家教师资格考试专用教材：数学学科知识与教学能力（初级中学）》结合教师资格科目三数学学科知识与教学能力（初级中学）的考试真题以及考试大纲，构架起以数学学科知识、课程知识、教学知识、教学技能四个模块有机结合的庞大知识体系，是一本针对国家教师资格考试数学学科知识与教学能力（初级中学）的教材。本教材条理清晰，结构严谨，从考试重点和考试要点出发，深入浅出地向考生讲解各个知识点，使考生能透彻地理解知识点，从而烂熟于心。

目录

第一部分 数学学科知识

Ⅰ大学数学专业基础课程

■
从考试大纲看本章考点（2）
考点聚焦（2）
第一节 极限（2）
考点梳理（2）
一、实数的完备性（2）
二、极限（4）
第二节 函数连续性（7）
考点梳理（7）
一、连续性概念（7）
二、函数连续性的判断（8）
三、连续函数的性质（9）
第三节 导数与微分（10）
考点梳理（10）
一、导数的概念（10）
二、导数的应用（11）
三、微分（12）
四、微分学基本定理（13）
五、高阶导数与高阶微分（14）
第四节 级数（16）
考点梳理（16）
一、常数项级数的概念与基本性质（16）
二、正项级数及其敛散性（17）
三、交错级数（19）
四、绝对收敛与条件收敛（19）
五、函数项级数（20）
六、幂级数（20）
第五节 积分（21）
考点梳理（21）
一、不定积分（21）
二、定积分（25）
能力提升训练（28）

■
从考试大纲看本章考点（30）
考点聚焦（30）
第一节 多项式（30）
考点梳理（30）
一、一元多项式（30）
二、多项式的带余除法及整除性（30）
三、多项式的最大公因式（31）
四、互素多项式（32）
五、不可约多项式（32）
第二节 行列式（33）
考点梳理（33）
一、行列式的定义（33）
二、行列式的性质（33）
三、行列式的计算（34）
四、克莱姆法则（35）
第三节 矩阵（36）
考点梳理（36）
一、矩阵的概念（36）
二、矩阵的运算（39）
三、矩阵的初等变换（40）
第四节 线性方程组（42）
考点梳理（42）
一、向量组（42）
二、线性方程组（43）
三、多角度认识线性方程组（45）
第五节 二次型（47）
考点梳理（47）
一、基本概念（47）
二、二次型的标准化和规范化（48）
三、正定二次型和正定矩阵（48）
第六节 线性空间（49）
考点梳理（49）
一、线性空间的定义与性质（49）
二、线性相关性及有关结论（50）
三、线性子空间（50）
四、子空间的和与直和（50）
第七节 线性变换（51）
考点梳理（51）
一、线性变换及基本性质（51）
二、线性变换的运算（51）
三、线性变换的矩阵（52）
第八节 欧式空间（53）
考点梳理（53）
一、欧式空间的定义与基本性质（53）
二、标准正交基（54）
三、正交变换与正交矩阵（54）
四、对称变换（55）
五、实对称矩阵的标准形（55）
能力提升训练（56）

■
从考试大纲看本章考点（59）
考点聚焦（59）
第一节 空间坐标系与向量（59）
考点梳理（59）
一、空间直角坐标系（59）
二、空间向量（60）
第二节 空间的平面与直线（61）
考点梳理（61）
一、平面方程（61）
二、直线方程（62）
三、平面、直线之间的相互关系与距离公式（62）
第三节 曲面及曲线方程（65）
考点梳理（65）
一、曲面方程（65）
二、曲线方程（66）
能力提升训练（67）

■
从考试大纲看本章考点（69）
考点聚焦（69）
第一节 随机事件和概率（69）
考点梳理（69）
一、随机试验与样本空间（69）
二、随机事件（69）
三、随机事件的概率（70）
四、随机事件的独立性与独立重复试验（71）
五、全概率公式与贝叶斯（逆概率）公式（72）
第二节 随机变量及其分布（72）
考点梳理（72）
一、随机变量（72）
二、随机变量的分布函数（73）
三、离散型随机变量的分布律（概率分布）（73）
四、连续型随机变量的概率分布（74）
五、随机变量函数的分布（75）
第三节 随机变量的数字特征（75）
考点梳理（75）
一、随机变量的数学期望（75）
二、随机变量的方差（77）
第四节 大数定律与中心极限定理（78）
考点梳理（78）
一、切比雪夫不等式和依概率收敛（78）
二、大数定律（78）
三、中心极限定理（79）
第五节 数理统计的基本概念（79）
考点梳理（79）
一、总体和样本（79）
二、统计量与样本的数字特征（80）
三、常用统计抽样分布（80）
四、正态总体的抽样分布（81）
能力提升训练（81）

Ⅱ高中数学学科知识

■
从考试大纲看本章考点（83）
考点聚焦（83）
第一节 集合与逻辑（83）
考点梳理（83）
一、集合（83）
二、简易逻辑（85）
三、判断（87）
第二节 算法初步（88）
考点梳理（88）
一、基本概念（88）
二、算法案例（90）
能力提升训练（92）

■
从考试大纲看本章考点（94）
考点聚焦（94）
第一节 函数概念（94）
考点梳理（94）
一、函数的定义（94）
二、函数的基本性质（94）
三、反函数和复合函数（97）
第二节 基本初等函数（98）
考点梳理（98）
一、指数函数与对数函数（98）
二、幂函数（99）
第三节 三角函数（99）
考点梳理（99）
一、角的概念的推广、弧度制（99）
二、任意角的三角函数（100）
三、同角三角函数的基本关系式与诱导公式（100）
四、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（101）
五、函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象与性质（101）
六、和、差、倍、半角公式（103）
七、正弦、余弦定理（103）
能力提升训练（104）

■
从考试大纲看本章考点（106）
考点聚焦（106）
第一节 不等式（106）
考点梳理（106）
一、不等式的解法（106）
二、不等式的证明（108）
第二节 数列（109）
考点梳理（109）
一、等差数列与等比数列（109）
二、线性递归数列（110）
三、数列与差分（111）
能力提升训练（111）

■
从考试大纲看本章考点（113）
考点聚焦（113）
第一节 直线与平面（113）
考点梳理（113）
一、直线（113）
二、直线与平面之间的位置关系（113）
三、平面与平面之间的位置关系（114）
四、空间距离（115）
第二节 棱柱、棱锥与球（116）
考点梳理（116）
一、棱柱（116）
二、棱锥（117）
三、球（117）
能力提升训练（118）

■
从考试大纲看本章考点（121）
考点聚焦（121）
第一节 直线与方程（121）
考点梳理（121）
一、直线的方程（121）
二、两条直线的位置关系（122）
三、点与直线（122）
第二节 圆与方程（123）
考点梳理（123）
一、圆的方程（123）
二、直线、圆的位置关系（124）
第三节 圆锥曲线（125）
考点梳理（125）
一、圆锥曲线的概念、标准方程与几何性质（125）
二、直线与圆锥曲线的位置关系（126）
能力提升训练（128）

■
从考试大纲看本章考点（130）
考点聚焦（130）
第一节 向量（130）
考点梳理（130）
一、平面向量（130）
二、空间向量（131）
第二节 复数（133）
考点梳理（133）
一、复数的概念（133）
二、复数的运算（134）
三、复数的几何意义（135）
能力提升训练（135）

■
从考试大纲看本章考点（137）
考点聚焦（137）
第一节 推理与证明（137）
考点梳理（137）
一、基本定义（137）
二、不等式证明方法（138）
三、数学归纳法（140）
第二节 排列、组合与二项式定理（142）
考点梳理（142）
一、两个基本原理（142）
二、排列（142）
三、组合（142）
四、排列、组合的综合问题（143）
五、二项式定理（144）
能力提升训练（145）

■
从考试大纲看本章考点（148）
考点聚焦（148）
第一节 统计（148）
考点梳理（148）
一、抽样（148）
二、两个变量的线性相关（149）
三、正态分布（150）
第二节 概率（151）
考点梳理（151）
一、随机事件的概率（151）
二、离散型随机变量（154）
能力提升训练（156）

■
从考试大纲看本章考点（159）
考点聚焦（159）
考点梳理（159）
一、早期算术与几何的历史（159）
二、古希腊数学的历史（160）
三、中国古代数学的历史（161）
四、平面解析几何产生的历史（161）
五、微积分产生的历史（162）
六、几何作图三大难题的历史（162）
七、集合论发展的历史（163）
八、随机思想发展的历史（164）
九、算法思想发展的历史（165）
十、近代数学史上的两大巨匠（165）
能力提升训练（166）

Ⅲ初中数学学科知识

■
从考试大纲看本章考点（167）
考点聚焦（167）
第一节 数与式（167）
考点梳理（167）
一、实数的相关概念（167）
二、代数式（168）
第二节 方程与不等式（169）
考点梳理（169）
一、方程（169）
二、不等式（172）
第三节 函数（173）
考点梳理（173）
一、函数概念的三种定义（173）
二、函数的图象与性质（174）
能力提升训练（174）

■
从考试大纲看本章考点（176）
考点聚焦（176）
第一节 平面图形（176）
考点梳理（176）
一、基本概念（176）
二、两个重要内容——垂直和平行（176）
三、特殊的平面图形（177）
四、尺规作图（179）
第二节 图形的对称、平移和旋转（181）
考点梳理（181）
一、图形的对称（181）
二、图形的平移和旋转（182）
第三节 视图与投影（182）
考点梳理（182）
一、投影（182）
二、三视图（182）
能力提升训练（183）

■
从考试大纲看本章考点（184）
考点聚焦（184）
第一节 统计（184）
考点梳理（184）
一、统计方式（184）
二、统计数据的特征（185）
三、抽样方法（186）
第二节 概率（187）
考点梳理（187）
一、事件（187）
二、事件的概率（188）
三、求概率的方法（188）
能力提升训练（188）

■
从考试大纲看本章考点（190）
考点聚焦（190）
第一节 课题学习（190）
考点梳理（190）
一、数学课题的开展（190）
二、数学课题的特点（191）
三、开展数学课题的策略（192）
四、数学课题的意义（193）
第二节 数学活动（193）
考点梳理（193）
一、活动课的意义与分类（193）
二、活动课的教学策略（194）

第二部分 课程知识

■
从考试大纲看本章考点（198）
考点聚焦（198）
第一节 影响初中数学课程的主要因素（198）
考点梳理（198）
一、数学学科内涵（198）
二、社会发展现状（199）
三、学生心理特征（199）
第二节 初中数学课程的性质和基本理念（200）
考点梳理（200）
一

精彩书摘

　　部分数学学科知识
　　要成为一名合格的数学教师，首先必须具备系统的数学学科知识，能准确理解数学教材的内容和结构。因此，本教材的部分详细讲述要成为一名优秀的初中数学教师所应具备的数学基础知识，帮助考生建立完善的知识结构，全面系统地把握数学专业知识。
　　本部分共分为三个模块：大学数学专业基础课程、高中数学学科知识和初中数学学科知识。其中大学数学专业基础课程包括数学分析、高等代数、空间解析几何，概率论与数理统计等内容；高中数学学科知识包括九章，分别讲解了集合、逻辑与算法初步，函数，不等式与数列，立体几何，解析几何，向量与复数，推理证明与排列组合，统计与概率，数学史等多方面的知识；初中数学学科知识包括四章：数与代数，图形与几何，统计与概率，综合与实践。
　　在历年考试中，本部分内容是考查的重点，其中大学数学专业基础课程是考查的重中之重，常以选择题、简答题、解答题等形式来考查。考生在学习该部分知识的时候，要注意多加练习，学以致用。
　　1.掌握数列极限与函数极限的定义。
　　2.求极限的方法，会判断函数间断点。
　　3.导数与微分的应用。
　　4.求解定积分与不定积分。
　　5.能够运用微积分基本定理求解问题。
　　1.本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。
　　2.在历年考试中，数列极限与函数极限、函数间断点的判断、一元函数导数与微分、定积分与不定积分是考查的重点，考生在复习这部分知识的时候，要注意多加练习，在掌握理论的基础上灵活运用。
　　节极限
　　一、实数的完备性
　　（一）实数的完备性
　　1.确界
　　确界：上确界与下确界统称为确界。1）上确界：设S为R中的一个数集。若数η满足：对一切x∈S，都有x≤η即η是S的上界；对任何?琢＜η，存在x0∈S，使得x0＞?琢，即η又是S的小上界，则称数η为数集S的上确界，记作η=supS。2）下确界：设S为R中的一个数集。若数?孜满足：对一切x∈S，都有x≥?孜，即?孜是S的下界；对任何?茁＞?孜，存在x0∈S，使得x0＜?茁，即?孜又是S的大下界，则称?孜为数集S的下确界，记作?孜=infS。
　　2.单调数列
　　单调数列：若数列an的各项满足关系式an≤an+1，则an为递增数列；若数列an的各项满足关系式an≥an+1，则称an为递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列。
　　3.区间套
　　区间套：设闭区间列an，bn具有如下性质：an，bn?劢an+1，bn+1，n=1，2，…；（bn-an）=0，则an，bn为闭区间套，或简称区间套。
　　4.聚点
　　聚点：设S为数轴上的点集，?孜为定点（它可以属于S，也可以不属于S）。若?孜的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称?孜为点集S的一个聚点。
　　5.开覆盖
　　开覆盖：S为数轴上的点集，H为开区间的集合，即H的每一个元素是形如（?琢，?茁）的开区间。若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S。若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。
　　（二）关于实数完备性的六个基本定理
　　1.确界原理
　　确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
　　2.单调

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