数学证明（珍藏版） [Mathematical Proofs] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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萧文强 著

图书标签:

• 数学
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• 数学参考书
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• 学术
• 理论
• 数学研究

出版社： 大连理工大学出版社

ISBN：9787561186749

版次：2

商品编码：11884298

包装：平装

丛书名： 数学科学文化理念传播丛书（第一辑）

外文名称：Mathematical Proofs

开本：16开

出版时间：2016-01-01

用纸：胶版纸

页数：183

字数：183000

正文语种：中文

内容简介

　　大家在中小学课程里都会碰到某种程度的数学证明，有些人甚至把做数学与进行数学证明等同起来。
　　但究竟数学证明这种功夫在数学活动中有何作用？它是否真正确立了无可置疑的结论？它是事后的装扮功夫抑或它能导致前所未知的新发现？这种独特的思考方式是怎样发展起来的？《数学证明（珍藏版）》从数学史的角度出发，试以大量实例与读者探讨以上问题。

目录

一 证明的由来
1．1 证明的作用是什么
1．2 数学证明的由来
1．3 古代希腊的数学证明
1．4 证明方法不限于数学
1．5 东方古代社会的数学证明

二 证明的功用
2．1 直观可靠吗
2．2 证明可靠吗
2．3 证明是完全客观的吗
2．4 证明与信念
2．5 证明与理解

三 证明与理解（一）
3．1 一个数学认知能力的实验
3．2 二次方程的解的公式
3．3 希腊《原本》里的勾股定理
3．4 刘徽的一题多证
3．5 高斯的一题多证

四 证明与理解（二）
4．1 欧拉的七桥问题
4．2 欧拉的多面体公式
4．3 几个重要的不等式

五 证明与理解（三）
5．1 一条关于正多边形的几何定理
5．2 薄饼与三明治
5．3 微积分基本定理
5．4 舞伴的问题
5．5 几个著名的反例

六 证明与理解（四）
6．1 四色问题
6．2 费马最后定理
6．3 一致收敛的函数序列

七 反证法
7．1 两个古老的反证法证明
7．2 间接证明与反证法
7．3 逆否命题
7．4 施坦纳一李密士定理
7．5 反证法在数学以外的运用

八 存在性证明
8．1 两个头发根数相同的人
8．2 一条古老的存在性定理
8．3 数学乎神学乎
8．4 高斯类数猜想的征服
8．5 存在性证明的功用
8．6 极值问题的解的存在性
8．7 有理数与无理数
8．8 代数数与超越数

九 不可能性证明
9．1 十五方块的玩意
9．2 一个很古老的不可能性证明
9．3 古代三大难题
9．4 不可能证明的证明
9．5 希尔伯特的问题

十一 次亲身经历：最长周长的内接多边形
10．1 一个熟悉的问题
10．2 初步的试验结果
10．3 旁敲侧击
10．4 艰苦战斗
10．5 拨开云雾见青天
10．6 各归其位
10．7 余音未了

附录
后记
人名中外文对照表

前言/序言

数学证明（珍藏版）[Mathematical Proofs] 图书简介 导言：理性之巅的探寻 《数学证明（珍藏版）》并非一部简单的数学教科书，它是一部致力于揭示数学本质的经典之作，是无数数学家、理论物理学家以及深刻思考者案头的必备之书。本书的核心价值，在于它超越了单纯的计算与公式堆砌，直抵数学思维的根基——严谨的证明。 这部珍藏版汇集了数学史上最精妙、最具启发性的证明案例，从古希腊的几何学基石到近现代数论与分析学的里程碑式突破。它旨在引导读者，不再将数学定理视为不证自明的真理，而是将其视为逻辑链条上环环相扣的必然结果。阅读本书，如同攀登一座由逻辑与洞察力构筑的山峰，每一步都要求心无旁骛，每一步都通往更开阔的视野。 第一部分：基础的坚固性——逻辑与公理体系的构建 本书的第一部分将读者带回数学思想的源头，深入探讨构建任何数学体系所必需的逻辑框架。我们首先审视了形式逻辑的基石，包括命题演算和谓词演算，这些工具是检验任何陈述真伪的精确标尺。 公理的选择与影响： 读者将了解到，不同的公理系统如何塑造出迥异的数学世界。我们详细分析了欧几里得几何体系的完备性与自洽性，并将其与非欧几何（如双曲几何与椭圆几何）的诞生进行对比。这种对比并非仅仅是几何形状的差异，而是展示了公理选择如何根本性地决定了我们对空间、距离和真理的认知。 证明的艺术与技巧： 本部分花费大量篇幅介绍构成数学证明的“砖块”：直接证明、反证法、逆向归纳法、构造性证明以及反证法的精妙运用。对于每一个技巧，我们都提供了一系列经典案例进行剖析，例如，如何用反证法确立无理数的存在性，或者如何利用构造性证明找到特定问题的解。重点在于训练读者识别何时使用何种工具，以及如何预见逻辑陷阱。 第二部分：数论的迷宫——整数世界的深刻洞察 数论，被誉为“数学之后”，是本书着墨较多的领域之一。这一部分聚焦于整数的性质，但所揭示的深度远超小学算术的范畴。 素数的奥秘与分布： 本版对欧几里得关于素数无穷性的经典证明进行了细致入微的再现，并引入了更现代的视角。我们将探讨素数定理的证明思路，理解这些看似随机分布的数字背后隐藏的统计规律。读者将领略到解析数论方法的威力，即如何运用微积分工具来研究离散的整数问题。 丢番图方程与费马猜想（Wiles证明的背景）： 虽然不会深入到Wiles证明的全部复杂性，但本书会清晰阐述费马大定理的背景、其在数论发展中的核心地位，以及如何通过椭圆曲线与模形式之间的深刻联系（Taniyama-Shimura猜想）来最终解决这个困扰了数百年的难题。重点在于理解“证明的连接性”——一个领域的突破如何依赖于另一个看似不相关的领域的工具。 同余理论的展开： 我们详细阐述了欧拉定理、中国剩余定理的严谨证明，并展示了它们在现代密码学，特别是RSA算法中的基础作用，体现了纯粹数学如何服务于实际应用。 第三部分：分析的严谨性——极限、连续性与无穷的控制 分析学是建立在对“无穷”和“无限小”的精确控制之上。本书的这一部分是全书逻辑强度最高的区域之一，它旨在将直觉性的微积分概念提升到严格的数学证明层面。 $epsilon-delta$ 语言的掌握： 极限的概念是分析学的核心，本书细致剖析了柯西对极限的 $epsilon-delta$ 定义，并通过大量例子展示了如何运用这一工具来证明函数的连续性、有界性，以及无穷级数的收敛性。这不仅仅是记忆一个定义，而是理解如何通过精确的界限来驯服无穷。 序列与级数的收敛性判据： 我们系统地证明了比值判别法、根值判别法、积分判别法等关键工具的有效性。特别地，本书深入探讨了黎曼级数定理，解释了为什么在绝对收敛性被破坏时，同一个级数的和可以被重新排列成任何你想要的值，揭示了条件收敛的“危险性”。 微积分基本定理的重访： 本书没有停留在应用层面，而是回归微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的严格证明。我们将展示微积分如何作为微分与积分之间精确联系的桥梁，而不是简单的工具。 第四部分：结构与映射——代数与拓扑的视角 最后一部分将视角从单一的数域扩展到抽象的结构，探讨数学对象之间的关系与变换。 群论的初步： 我们引入了群、环和域的基本定义，并侧重于对称性的概念。通过对置换群（如四元数的例子）的探讨，读者将理解抽象代数如何描述了自然界和几何学中的对称美。对拉格朗日定理的证明，将代数结构的阶与子群的阶联系起来。 拓扑学的萌芽： 拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的性质。本书以点集拓扑的基本概念为引子，展示了紧致性（Compactness）的深刻意义。紧致性的证明往往依赖于精妙的覆盖论证，它在函数分析和微分几何中扮演着不可或缺的角色。 结语：证明的哲学与未来 《数学证明（珍藏版）》的最终目标，是培养读者一种“证明的心态”。数学的价值不在于其计算能力，而在于其所提供的确定性。本书的每一页，都是对这种确定性的致敬。它要求读者带着批判性的眼光去审视每一个断言，并坚信：任何声称的真理，都必须接受逻辑的终极考验。 这部珍藏版，是献给所有渴望洞悉世界深层结构，并愿意付出逻辑努力的探求者的礼物。它不仅教你如何证明，更教你如何思考。

评分☆☆☆☆☆

我得承认，拿到这本《数学证明（珍藏版）》之前，我对这类书籍是抱有疑虑的。毕竟，“证明”这个词听起来就充满了挑战性，甚至有点吓人。然而，这本书完全颠覆了我的认知。它不是一本冷冰冰的教科书，更像是一本循循善诱的导师。书中的案例选择非常具有代表性，涵盖了代数、几何、数论等多个领域，而且每一步的讲解都异常清晰，逻辑严谨。我特别欣赏作者在处理一些复杂证明时，所采用的“化繁为简”的手法，他总能找到那个最核心、最关键的点，然后围绕它进行展开，让整个证明过程显得异常顺畅。而且，书中穿插的一些历史故事和名人轶事，也为阅读增添了不少乐趣，让我觉得数学家们也是有血有肉的人，他们的探索过程充满了智慧与坚持。这本书真的让我对数学证明产生了前所未有的好感，也激发了我深入学习的动力。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学证明（珍藏版）》简直是给我打开了新世界的大门！我一直觉得数学证明这东西，要么就是枯燥乏味的符号堆砌，要么就是高高在上的理论，普通人根本无从下手。但这本书，真的，它以一种我从未想过的方式，将那些曾经让我头疼不已的证明过程，变得生动有趣，甚至有点“解谜”的快感。作者的叙述方式非常巧妙，他不是直接抛出结论，而是层层递进，就像一位经验丰富的向导，带领你在蜿蜒的山路上探索，时不时指出一些风景，让你在欣赏美景的同时，不知不觉地就走到了目的地。我尤其喜欢书中那些“为什么这么想”的引导，让我能理解到证明背后的逻辑思考过程，而不是死记硬背。有时候，我甚至会停下来，自己尝试推导一下，那种豁然开朗的感觉，真是难以言喻。这本书让我重新认识了数学的魅力，它不再是冰冷的公式，而是充满智慧和创造力的艺术。

评分☆☆☆☆☆

我只能说，《数学证明（珍藏版）》是一本非常“实在”的书。它没有花哨的包装，也没有故弄玄虚的术语，就是脚踏实地地，用清晰、准确、易懂的方式，为你展现数学证明的魅力。从基础的公理体系到复杂的定理推导，书中的内容层层递进，环环相扣，让我仿佛在进行一场精彩的智力冒险。我最欣赏的是，这本书并没有将证明过程描绘成一种神秘的技能，而是将其视为一种可以学习和掌握的思维方式。作者通过大量的实例，巧妙地引导读者去发现数学世界的规律，去构建严谨的逻辑链条。这本书的价值在于，它不仅让你学会如何“证明”，更重要的是，它能够潜移默化地提升你的逻辑思维能力，让你在日常生活中的问题解决中，也能运用到这种严谨的思考方式。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，可以说是给我带来了一次“蜕变”。我一直觉得自己在数学学习中，最大的瓶颈就是对证明的理解不够深入，导致很多知识点都只是“知其然而不知其所以然”。《数学证明（珍藏版）》就像是一把钥匙，为我打开了通往数学深处的大门。它不像很多教材那样，将证明过程看作是需要机械记忆的步骤，而是将其视为一种充满创造力的探索。作者用一种非常人性化的方式，将那些抽象的数学概念和复杂的证明过程，变得鲜活起来。我从中不仅学到了各种证明的技巧和方法，更重要的是，我感受到了数学家们那种严谨求实的治学态度和勇于探索的精神。这本书让我对数学的理解上升了一个新的维度，也让我对未来的学习充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让我感到惊喜的书。作为一名对数学有着浓厚兴趣的爱好者，我一直渴望能更深入地理解数学证明的精髓，而不是停留在表面。而《数学证明（珍藏版）》恰恰满足了我的这一需求。它不是那种只追求速度和效率的“速成”读物，而是真正注重培养读者的逻辑思维能力和独立思考能力。作者在讲解每一个证明时，都花费了大量篇幅来阐述其背后的思路和方法，这对于我这种想要“知其然，更知其所以然”的读者来说，简直是福音。我尤其喜欢书中那些“陷阱”和“易错点”的提示，这让我能够提前规避很多不必要的弯路，也让我更加深刻地理解了严谨证明的重要性。这本书不仅教会了我如何证明，更重要的是，它教会了我如何思考。

评分☆☆☆☆☆

很好，内容很好，适合老师读一读，希望老师们购买。

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书很好，给力！

评分☆☆☆☆☆

不错哦，挺好玩儿的，希望越来越好

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正版图书价格合适

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帮同学买的，他说很好，对他有帮助!