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内容简介

概率统计与数学模型内容包括概率论和数理统计两大部分，第１至第５章介绍概率论的基本知识，包括随机事件与概率、随机变量及分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理等；第６至第９章介绍数理统计的基本知识，包括数理统计、参数估计、假设检验、回归分析等．概率统计与数学模型在概率统计的基础上加入了数学模型，重点强调基础知识如何应用于工程实际，选取了大量的理工类、经管类数学模型实例．

目录

目 录
前言
第1章随机事件与概率 1
1.1 随机现象与随机试验 1
1.1.1随机现象 1
1.1.2随机试验 1
1.2 随机事件 2
1.2.1 样本空间 2
1.2.2随机事件 2
1.2.3事件的关系及运算 3
1.3 概率及其性质 6
1.3.1 概率 6
1.3. 2 频率 6
1.3.3 古典概率 7
1.3.4概率的公理化定义与性质 8
1.4 条件概率与乘法公式 10
1.4.1条件概率 10
1.4.2 乘法公式 11
1.5全概率公式与贝叶斯公式 13
1.5.1 全概率公式 13
1.5.2贝叶斯公式 15
1. 6事件的独立性 16
1.7随机事件应用实例 18
习题1 20
第2章随机变量及其分布 23
2. 1随机变量及其分布函数 23
2.1.1随机变量 23
2.1.2分布函数 24
2.2离散型随机变量 26
2.2.1离散型随机变量及其分布律 26
2.2.2常见的离散型分布 29
2.2.3离散型随机变量的应用实例 32
2. 3连续型随机变量 33
2. 3. 1连续型随机变量及其概率密度 33
2.3.2常见的连续型分布 37
2.3.3连续型随机变量的应用实例 43
2.4随机变量函数的分布 44
2.4.1离散型随机变量函数的分布 44
2.4.2连续型随机变量函数的分布 45
习题2 47
第3章多维随机变量及其分布 50
3. 1多维随机变量及其分布函数 50
3.1.1 多维随机变量 50
3. 1. 2联合分布函数 50
3. 2 二维离散型随机变量 53
3.2.1 联合分布律与边缘分布律 53
3.2.2 二维离散型随机变量的应用实例 55
3. 3 二维连续型随机变量 56
3.3.1联合概率密度函数 56
3.3.2 常见的二维连续型分布 58
3.3.3 二维连续性随机变量的应用实例 60
3.4 随机变量的独立性 61
3. 4. 1独立性的定义 61
3. 4. 2 独立性的性质 64
3. 4. 3 独立性的应用实例 64
3.5 二维随机变量的函数的分布 65
3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布 65
3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布 67
3. 5. 3 二维随机变量函数的应用实例 71
习题3 72
第4章随机变量的数字特征 75
4. 1数学期望 75
4.1.1数学期望的概念 75
4.1.2随机变量的函数的数学期望 77
4.1.3数学期望的性质 79
4.2方差 80
4.2. 1 方差的概念 80
4.2.2方差的性质 81
4.2.3几种常见分布的数学期望与方差 82
4.2.4 矩 85
4. 3协方差与相关系数 85
4.4应用实例 88
习题4 90
第5章大数定律及中心极限定理 93
5.1切比雪夫不等式 93
5. 2大数定律 94
5.3 中心极限定理 97
习题5 101
第6章数理统计 102
6.1数理统计基本概念 102
6.1.1总体和样本 102
6.1.2 统计量 104
6.2几种常见的统计量分布 106
6.2.1常见抽样分布 106
6.2.2 抽样分布定理 110
6.2.3抽样分布的应用实例 111
习题6 112
第7章参数估计 114
7. 1 参数的点估计 114
7.1.1矩估计 114
7.1.2极大似然估计 116
7.2估计量的优良准则 119
7.2.1 无偏性 119
7.2.2有效性 121
7.2.3相合性 121
7.3参数的区间估计 122
7.2.2 基本概念 122
7.3.2单侧置信区间 126
7.4参数估计应用实例 128
习题7 130
第8章假设检验 133
8.1假设检验的基本概念 133
8.1.1引例 133
8.1.2假设检验的基本概念 133
8.1.3假设检验的基本步骤 135
8.2参数的假设检验 135
8.2.1 均值的检验 135
8.2.2 方差的检验 140
8.3分布的假设检验 143
8.3.1 X2检验法 144
8.3.2总体分布为连续型的分布拟合检验 145
习题8 148
第9章回归分析 150
9.1回归分析的基本概念 151
9.1.1 一元线性回归模型 151
9.1.2多元线性回归模型 151
9.1.3散点图 152
9.1.4参数估计:最小二乘法 153
9.1.5 显著性检验 153
9.2 —元线性回归分析实例 155
9.3多元线性回归分析实例 157
9.4非线性回归问题的线性化处理 159
9.4.1几种常见的可线性化的曲线类型 159
9.4.2非线性回归分析实例 161
习题9 163
部分习题参考答案 166
参考文献 175
附表 176

精彩书摘

第1章随机事件与概率
1.1随机现象与随机试验
1.1.1 随机现象
在自然界和人类社会生活中，存在各种各样的现象.有一些是在一定条件下必然会 发生的现象.例如，标准大气压下，水加热到10(TC时必然会沸腾，在OK时必然会结冰; 同性的电荷必然互相排斥，异性的电荷必然互相吸引;在没有外力作用的条件下，做匀 速直线运动的物体必然继续做匀速直线运动等，这些现象称为确定性现象.
另一些是事前不能预测其结果的现象.例如，抛一枚均匀硬币，可能出现正面， 也可能出现反面;某厂生产的同一类灯泡的寿命会有所差异;某地区每年的降雨量 不尽相同，等等.这些现象称为非确定性现象，又称为随机现象.
随机现象的结果事前不能预测，但在相同条件下，大量重复试验和观测时，会 发现它们呈现某种规律性.例如，抛一枚均匀硬币，大量重复试验后会发现出现正 面和出现反面的次数大约是1: 1，某厂生产的同一类灯泡的寿命总是分布在某个 数值附近.大量同类随机现象的这种规律性称为随机现象的统计规律性.概率论与 数理统计正是研究随机现象及其统计规律性的一门数学学科.
1.1. 2随机试验
在概率论中，为叙述方便，对随机现象进行的观察或科学试验统称为试验.用 字母E表示.
例1.1.1观察下列几个试验.
E1:投掷一枚均匀骰子，观察出现的点数(即朝上那一面的点数).
E2 ：在^'批产品中，任取^'件，检测它是正品，还是次品.
E3:投掷一枚质地均匀的硬币两次，观察它出现正面和反面的次数.
E4:记录某网站一天的点击量.
E5 ：从一批灯泡中，任取一只，测试其寿命.
以上试验的结果都是可以观测的，并且具有下列三个共同特点.
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行，即可重复性.
(2) 试验的结果不唯一，但在试验前就知道所有可能出现的结果，即结果的明 确性．
(3)在一次试验中，某种结果出现与否是不确定的，在试验之前不能准确地预 测该次试验将会出现哪一种结果，即结果的随机性.
所有具有以上三个特点的试验称为随机试验，简称为试验，并通过随机试验来 研究随机现象.
1.2随机事件
1 .2.1样本空间
对随机试验，人们感兴趣的是试验的结果，将试验犈的每一种可能结果称为 基本事件，或称为样本点，记为他所有样本点组成的集合称为试验犈的样本空 间，记为
例如，在抛掷一枚均匀硬币的试验中，有两个可能结果，即出现正面或出现 反面，分别用“正面”和“反面”表示，因此这个随机试验有两个样本点，样本空间 0 = {正面，反面}.
例1. 2 . 1写出以下随机试验的样本空间.
E1:投掷一枚均匀骰子，出现的点数可能是1，2，3，4，5，6中的任何一种，因此 样本空间记为：00 = {1，2，3，4，5，6}.
E2 ：在一批产品中，任取一件，其结果可能是正品，也可能是次品，因此样本空 间记为：i0 = {正品，次品}.
E3:投掷一枚均匀硬币两次，它可能出现的结果为:两次都为正面;第一次出 现正面且第二次出现反面;第一次出现反面且第二次出现正面;两次都为反面.因 此样本空间记为：
0 ={(正面、正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}，
以上三个样本空间中的样本点为有限个.
E4:网站一天的点击量一定是非负整数，因此，样本空间0 = {0，1，2，一}.
这个样本空间有无穷多个样本点，但这些样本点可以与整数集一一对应，称其 样本点数为可列无穷多个.
E5:从一批灯泡中，任取一只，灯泡的寿命狋为非负实数，样本空间记为：00 =
{t|t≥0}.
这个样本空间包含有无穷多个样本点，它们充满一个区间，称其样本点数是不 可列的.
1.2.2 随机事件
随机试验中，有可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，简称为事件，常
用大写字母A，B，C，…表示.若A表示投掷一枚均匀硬币出现正面这一事件，则 记A ={正面}，单个样本点组成的集合&}称为基本事件，多个样本点组成的集合 {coi，叱，…，W?}称为复合事件.
随机事件是样本空间的子集.其中，在每次试验中，一定出现的事件称为必 然事件，记为仏一定不可能出现的事件称为不可能事件，记为0.如测量某地 区6岁男童身高的试验，身高小于0是不可能事件，身高大于0是必然事件.
例1. 2. 2投掷一枚质地均匀的骰子，若记事件A = {出现的点数为偶数}， B={出现的点数小于5}，C = {出现的点数为小于5的奇数}，D = {出现的点数 大于6}，则A，B，C，D 都是随机事件，也可表示为：A = {2，4，6}，B={1,2,3,4}， C= {1，3}，D为不可能事件，即D = 0.记事件A? ={出现w点}，1，2，3，4， 5,6.显然，Ai，A2，…，A6都是基本事件，A，B，C是复合事件.
1.2.3事件的关系及运算
在一个样本空间中可以定义多个随机事件，事件与事件之间往往有一定的关 系.事件是样本点的集合，因此事件间的关系与运算可以按照集合与集合之间的关 系与运算来处理.
下面假设试验E的样本空间为仏A，B，C，Ai ,A2，…，A?分别是E的事件.
1.事件的包含关系
如果事件A发生必然导致事件B的发生，则称事件犅包含事件A，事件A是 事件B的子事件，记为A CB .
如例1.2. 2中{1,3} [ {1,2,3,4}，即事件CCB，所以C是B的子事件，事 件B包含事件C.
如果事件A包含事件B,同时事件B也包含事件A，即BCA且A CB，则 称事件A与事件B相等，或称A与B等价，记为A = B .
对任一事件A，总有0 C A (Z0.
2 .和事件
事件A与事件B中至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的和事件， 记作A U B.即
A U B ={ A发生或B发生} = {A, B中至少有一个发生}
事件A，B的和事件是由A与B的样本点合并而成的事件.
如例1.2.2 中 A= {2,4,6}，B= {1,2,3,4}，则 A U B = {1,2,3,4,6}.
类似地，n个事件的和事件为A1 U A2 U…U An，或记作
k = 1
事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积事件，记作A门B 或AB .即
A门B = {A发生且B发生} = {A,B同时发生}.
事件A，B的积事件是由A与B的公共样本点所构成的事件.
如例1.2.2 中 A= {2，4，6}，B= {1，2，3，4}，则 AB = {2,4}.
类似地，《个事件的积事件为AiAz-A^，或记为.
犽=1
4 .差事件
事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A关于事件B的差事件，记作 A 一 B，表示A发生而B不发生，即A — B = AB.
事件A关于B的差事件是由属于A且不属于B的样本点所构成的事件.
如例 1. 2.2 中A = {2，4，6}，B= {1，2，3，4}，则 A—B = {6}，B—A= {1,3 }.
5. 互不相容事件
如果事件A与事件B不能同时发生，即AB = 0，则称事件A与事件B互不 相容，或称事件A与事件B互斥.
如例1.2. 2中A = {2,4,6}B={1,3}，则AB是互不相容的.
同一随机试验的基本事件都是互不相容的.
6. 对立事件
试验中“ A不发生”这一事件称为A的对立事件或A的逆事件，记为A .
一次试验中，A发生则A必不发生，而A发生则A必不发生，因此A与A满 足关系
A U A = 0， AA = 0.
如例 1.2. 2 中A = {2,4,6} ,B= {1,2,3,4}，则A = {1,3,5}，B = {5,6}. 事件间的关系与运算可用维恩(Venn)图（图1. 1)直观地加以表示.图中方框 表示样本空间0，圆A和圆B分别表示事件A和事件B .
事件的运算满足如下运算律：
(1) 交换律
A UB = B U a；
(2) 结合律
(A U B) U 犆=A U (B U 犆），
(A门B)门C =犃门（B门C);
0 m B Q
m
AOB AUB ADB
B ^ Q
CO mm oCD

A-B
I 图1.1
j，方互不相容


(3) 分配律
(AuB）Nc=(AnC）u犆
(4) 对偶律(De Morgan定理)


二犃 nB，
二犃u犅，
』般地，对狀个事件犃1犃2，?
=犃1 n犃2 n…n犃狀，
二犃1 u犃2 u…u ^—狀；
A1 nA2 n…nAn
对偶律表明，“至少有一个事件发生”的对立事件是“所有事件都不发生”，“所 有事件都发生”的对立事件是“至少有一个事件不发生”
(5)吸收律
若A匚B，则Au B = B,AB = A.
例1.2. 3某人连续三次购买体育彩票，每次一张.令A，B，C分别表示其第 、二、三次所买的彩票中奖的事件，试用A，B，C及其运算表示下列事件：
(1) 第三次未中奖；
(2) 只有第三次中了奖；
(3) 恰有一次中奖；
(4) 至少有一次中奖；
(5) 至少有两次中奖；
(6) 至多中奖两次.
解⑴C；?
(2) ABC；
(3) A^C U ,AB(— U ABC;
(4) A U B U C 或 ABC;
(5) AB U AC U BC 或ABC U ABC U ABC U ABC；
(6) ABC .
事件的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，但在概率论中有特定的语 言表示.事件关系与集合关系比较见表1.1.
表1.1
记号 概率论 集合论
n 样本空间、必然事件 全集
0 不可能事件 空集
o 样本点 点(元素）
A 随机事件 D的子集
ACB A发生导致B发生 八为B的子集
A = B 两事件相等 两集合相等
AUB 两事件A，B至少发生一个 两集合A，B的并集
AB 两事件A，B同时发生 两集合A，B的交集
A-B 事件A发生而B不发生 集合A，B的差集
A 事件A的对立事件 A对n的补集
AB = 0 两事件A、B互不相容 两集合A，B不相交

1.3概率及其性质
1.3.1概率
随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，但发生的可能性大小是客观存 在的.这个客观存在的量就是事件A的概率，记为P(A).因此概率度量了随机事件 发生的可能性大小.在N次重复试验中，若概率P(A)较大，则事件A发生的频率也 较大，反之，若事件A在N次重复试验中出现的频率较大，则意味着事件A的概 率P(A)也较大.概率与频率有许多相似的性质，为此，先考察频率的有关性质.
1.3.2频率
定义1. 1设在相同的条件下，重复进行了 n次试验，若随机事件A在这w次 试验中发生了 m次，则比值
fn(A) = m (1. 1)
n
称为事件A在w次试验中发生的频率.

前言/序言

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