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编辑推荐

适读人群 ：《高等数学（理工类）》可供高等学校非经管其他专业本科生作为教材和参考书，也可供相关人员参考使用。
《高等数学：理工类》可以作为普通高等学校非数学专业理工科学生的教材，也可作为相关人员的参考用书.

内容简介

《高等数学：理工类》是根据普通高等学校理工类专业高等数学课程的教学大纲及基本要求，结合目前学生特点，贯彻“以应用为目的，不削弱理论学习”的指导思想编写而成的，《高等数学：理工类》共12章，分别是函数、极限与连续，导数与微分，中值定理及其导数应用，不定积分，定积分，定积分的应用，空间解析几何与向量代数，多元函数微分学，重积分，曲线积分与曲面积分，无穷级数，微分方程.

内页插图

目录

前言
第1章函数、极限与连续1
1.1函数1
1.2初等函数11
1.3数列的极限21
1.4函数的极限26
1.5无穷小与无穷大31
1.6极限运算法则35
1.7极限存在准则两个重要极限39
1.8无穷小的比较45
1.9函数的连续性与间断点48
1.10连续函数的运算与初等函数的连续性53
总习题一59
第2章导数与微分62
2.1导数概念62
2.2函数的求导法则69
2.3高阶导数76
2.4隐函数的导数79
2.5函数的微分84
总习题二91
第3章中值定理及其导数应用93
3.1中值定理93
3.2洛必达法则99
3.3泰勒公式104
3.4函数的单调性与极值109
3.5数学建模——最优化116
3.6曲线的凹凸性与拐点119
3.7函数图形的描绘122
3.8曲率127
总习题三134
第4章不定积分137
4.1不定积分的概念与性质137
4.2换元积分法143
4.3分部积分法152
4.4有理函数与可化为有理函数的积分156
总习题四163
第5章定积分165
5.1定积分的概念165
5.2定积分的性质172
5.3微积分基本公式177
5.4定积分的换元积分法与分部积分法182
5.5广义积分188
5.6广义积分的收敛性192
总习题五200
第6章定积分的应用203
6.1定积分的微元法203
6.2平面图形的面积204
6.3体积209
6.4平面曲线的弧长214
6.5功、水压力和引力217
总习题六221
第7章空间解析几何与向量代数224
7.1向量及其线性运算224
7.2空间直角坐标系向量的坐标228
7.3数量积向量积*混合积234
7.4曲面及其方程241
7.5空间曲线及其方程245
7.6平面及其方程249
7.7空间直线及其方程254
7.8二次曲面260
总习题七267
第8章多元函数微分学269
8.1多元函数的基本概念269
8.2偏导数276
8.3全微分及其应用280
8.4复合函数微分法285
8.5隐函数微分法291
8.6微分法在几何上的应用297
8.7方向导数与梯度302
8.8多元函数的极值307
总习题八313
第9章重积分315
9.1二重积分的概念与性质315
9.2二重积分的计算(一)319
9.3二重积分的计算（二）325
9.4三重积分（一）331
9.5三重积分（二）336
总习题九341
第10章曲线积分与曲面积分343
10.1第一类曲线积分343
10.2第二类曲线积分348
10.3格林公式及其应用356
10.4第一类曲面积分365
10.5第二类曲面积分369
10.6高斯公式通量与散度376
10.7斯托克斯公式环流量与旋度382
总习题十390
第11章无穷级数392
11.1常数项级数的概念和性质392
11.2正项级数的判别法401
11.3一般常数项级数411
11.4幂级数415
11.5函数展开成幂级数423
11.6函数项级数的一致收敛性430
11.7傅里叶(Fourier)级数437
11.8一般周期函数的傅里叶级数446
总习题十一451
第12章微分方程454
12.1微分方程的基本概念454
12.2可分离变量的微分方程457
12.3一阶线性微分方程465
12.4可降阶的二阶微分方程469
12.5二阶线性微分方程解的结构473
12.6二阶常系数齐次线性微分方程475
12.7二阶常系数非齐次线性微分方程479
12.8欧拉方程484
总习题十二485
部分习题参考答案487
附录积分表527

精彩书摘

第1章函数、极限与连续第1章函数、极限与连续中学学习的数学是初等数学.初等数学主要研究的是常量，而高等数学主要研究的是变量.函数是反映各变量之间相互依赖关系，也是高等数学中最重要的基本概念之一，极限方法是研究变量的一种基本方法.高等数学中对函数的研究主要是在实数范围内讨论.本章将介绍函数和极限的概念、性质及运算法则，在此基础上建立函数连续的概念，讨论连续函数的性质.1��1函数〖1〗1��1��1实数集人类的祖先最先认识的数是自然数1，2，3，…（全体自然数通常用N表示）.从那以后，伴随着人类文明的发展，数的范围不断扩展，这种扩展一方面是与社会实践的需要有关，另一方面与数的运算需要有关.这里仅就数的运算需要做些解释.例如，在自然数的范围内，对于加法与乘法运算是封闭的，即两个自然数的和与积仍是自然数.然而，两个自然数的差就不一定是自然数了.为使自然数对于减法运算封闭，就引进了负数和零，这样，人类对数的认识就从自然数扩展到了整数（整数的全体通常用Z表示）.在整数范围内，加法运算、乘法运算与减法运算都是封闭的，但两个整数的商又不一定是整数.探索使整数对于除法运算也封闭的数的集合，使整数集扩展到了有理数（有理数的全体通常用Q表示）.任意一个有理数均可表示成pq（其中p，q为整数，且q≠0).古希腊人发现等腰直角三角形的腰和斜边没有公度，从而证明2不是有理数，这样，人们首次知道了无理数的存在，后来又发现了更多的无理数，如3，π，e等.无理数是无限不循环的小数.有理数与无理数统称为实数（全体实数通常用R表示），这样就把有理数集扩展到了实数集.实数集不仅对于四则运算是封闭的，而且对于开方运算也是封闭的.数学家完全研究清实数及其相关理论，已是19世纪的事情了.1��1��2实数的绝对值实数的绝对值是数学里经常用到的概念.下面介绍实数绝对值的定义及其一些性质.定义1设x为一个实数，则x的绝对值定义为x=x，x≥0
-x，x<0.x的绝对值x在数轴上表示点x与原点O的距离.若y为任意实数，则点y与点x间的距离可用数y-x或x-y的绝对值来表示y-x=x-y=x-y，x≥y
y-x，x0，则x0，则x>a的充分必要条件是x<-a或x>a.(12) 设实数a≥0，则x≥a的充分必要条件是x≤-a或x≥a.它们的几何解释是直观的.例如性质(9)，在数轴上x根据性质(10)，由于x+y≥0（相当于性质(10)中a≥0），得x+y≤x+y.1��1��3区间与邻域〖*2〗1�� 区间区间是高等数学中常用的实数集， 设a，b为两个实数，且a其中a，b称为开区间(a，b)的端点，a��(a，b)，b��(a，b).类似地，有闭区间和半开半闭区间：［a，b］={x|a≤x≤b}，［a，b)={x|a≤x这两个无限区间在数轴上表示如图1.1.1(c)与(d).图1.1.1特别地，全体实数的集合R也可以表示为无限区间(-∞，+∞).注在本教程中，当不需要特别辨明区间是否包含端点、是有限还是无限时，常将其简称为“区间”，并常用I表示. 例1解下列不等式， 并将其解用区间表示.(1) |2x-1|<3;(2) |3x+2|≥3.解（1） |2x-1|<3等价于-3<2x-1<3，解得-10，数集{xa-δU(a，δ)={xa-δ给定，其中g是重力加速度.定义3设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集.如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记为y=f(x)，x∈D，
其中，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域，也记为Df，即Df=D.对x0∈D，按照对应法则f，总有确定的值y0(记为f(x0)）与之对应，称f(x0)为函数在点x0处的函数值.因变量y与自变量x的这种相依关系通常称为函数关系. 当自变量x遍取D的所有数值时，对应的函数值f(x)的全体构成的集合称为函数f的值域，记为Rf或f(D)，即Rf=f(D)={yy=f(x)，x∈D}.按照上述定义，记号f表示自变量x和因变量y之间的对应法则；记号f(x)表示与自变量x对应的函数值.为了叙述方便，习惯上常用“f(x)，x∈D”或“y=f(x)，x∈D” 表示定义在D上的函数，这时应理解为函数f.函数的表示记号可以任意选取，除了常用的f以外，还可以用其他英文字母或希腊字母，如“F”，“h”，“g”，“�肌保�“�痢钡龋�相应的函数记为y=F(x)，y=h(x)，y=g(x)，y=��(x)，y=��(x)等.注函数的定义域与对应法则称为函数的两个要素.两个函数相等的充分必要条件是它们的定义域和对应法则均相同.关于函数的定义域，在实际问题中应根据问题的实际意义具体确定.如果讨论的是纯数学问题，则往往取使函数的表达式有意义的一切实数所构成的集合作为该函数的定义域，这种定义域又称为函数的自然定义域.例如，函数y=1-x2
的（自然）定义域即为闭区间［-1，1］.例2求函数y=11-x2+x+2的定义域.解要使函数解析式有意义，则有1-x2≠0
x+2≥0，
解得x≠±1
x≥-2，即函数y=11-x2+x+2的定义域为［-2，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞).对函数y=f(x) (x∈D)，若取自变量x为横坐标，因变量y为纵坐标，则在平面直角坐标系xOy中就确定了一个点(x，y).当x遍取定义域中的每一个数值时，平面上的点集C={(x，y)y=f(x)，x∈D}
称为函数y=f(x)的图形（图1.1.3）.图1.1.3若自变量在定义域内任取一个数值，对应的函数值总是只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.例如，方程x2+y2=a2在闭区间［-a，a］上确定了一个以x为自变量、y为因变量的函数.对每一个x∈(-a，a)，都有两个y值±a2-x2与之对应，因而y是多值函数.注若无特别声明，本教程中的函数均指单值函数.1��1��5函数的常用表示法函数的表示法通常有三种：表格法、图像法和公式法.(1) 表格法.将自变量的值与对应的函数值列成表格的方法.(2) 图像法.在坐标系中用图形来表示函数关系的方法.(3) 公式法（解析法）.将自变量和因变量之间的关系用数学表达式（又称为解析表达式）来表示的方法.根据函数的解析表达式的形式不同，函数也可分为显函数、隐函数和分段函数三种：(1) 显函数.函数y由x的解析表达式直接表示.(2) 隐函数.函数的自变量x与因变量y的对应关系由方程F(x，y)=0来确定.例如，lny=cos(x2+y).(3) 分段函数.函数在其定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式.以下是几个分段函数的例子.图1.1.4例3绝对值函数y=x=x，x≥0
-x，x<0
的定义域D=(-∞，+∞)，值域Rf=［0，+∞)，图形如图1.1.4所示.例4取整函数［x］，其中［x］表示不超过x的最大整数.例如，45=0， 3=1， ［π］=3， ［-2］=-2， ［-3��14］=-4.易见，取整函数的定义域为D=(-∞，+∞)，值域Rf=Z，如图1.1.5所示.图1.1.5例5*狄利克雷函数y=D(x)=1，x∈Q
0，x∈QC .易见，该函数的定义域D=(-∞，+∞)，值域Rf={0，1}，但它没有直观的图形表示.1��1��6函数的特性〖*2〗1�� 函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集X�糄，若存在一个正数M，使得对一切x∈X，恒有 f(x)≤M
成立，则称函数f(x)在X上有界，或称f(x)是X上的有界函数.每一个具有上述性质的正数M都是该函数的界.若具有上述性质的正数M不存在，则称f(x)在X上无界，或称f(x)为X上的无界函数.例如，函数y=cosx在(-∞，+∞)内有界，因为对任何实数x，恒有cosx≤1�焙�数y=lnx在(0，1)上无界，在［1，4)上有界.例6证明函数y=2xx2+1在(-∞，+∞)上是有界的.证明因为(1-|x|)2≥0，所以x2+1≥2x，故对一切x∈(-∞，+∞)，恒有f(x)=2xx2+1=2x1+x2≤1��
从而函数y=2xx2+1在(-∞，+∞)上是有界的.2�� 函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间I�糄.如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1则称函数f(x)在区间I上是单调增加函数；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f(x2)，
则称函数f(x)在区间I上是单调减少函数.例如，函数y=x2在［0，+∞)内是单调增加的，在(-∞，0］内是单调减少的，在(-∞，+∞)内是不单调的（图1.1.6）.而函数y=x3在(-∞，+∞)内是单调增加的（图1.1.7）.图1.1.6图1.1.7由定义易知，单调增加函数的图形沿x轴正向是逐渐上升的（图1.1.8），单调减少的图形沿x轴正向是逐渐下降的（图1.1.9）.图1.1.8图1.1.9例7证明函数f(x)=x1+x在(-1，+∞)内是单调增加的函数.证明在(-1，+∞)内任取两点x1，x2，且x1

前言/序言

&amp;amp;lt;div&amp;amp;gt;　　数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动规律的主要手段，对于非数学专业的大学生而言，学习数学尤其是高等数学，其意义不仅仅是学习一门专业的基础课程，中外大量的教育实践充分显示了：优秀的数学教育有利于人的理性思维品格的培育和思辨能力的培育，有利于人的聪明智慧的启发，有利于人的潜在能动性与创造力的开发，其价值远非一般的专业技术教育所及．&amp;amp;lt;/div&amp;amp;gt;&amp;amp;lt;div&amp;amp;gt;　　当前，普通本科数学课程的教育效果不尽人意，教材建设仍停留在传统模式上，未能适应社会需求，传统的大学数学教材过分追求逻辑严密性与理论体系的完整性，重理论轻实践，剥离了概念、原理和范例的几何背景与现实意义，导致教学内容过于抽象，也不利于与其他课程及学生自身专业的衔接．&amp;amp;lt;/di

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