微分几何学习指导/高校核心课程学习指导丛书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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徐森林，金亚东，胡自胜 等 著

图书标签:

• 微分几何
• 几何学
• 高等数学
• 学习指导
• 高校教材
• 核心课程
• 数学分析
• 拓扑学
• 曲线曲面
• 丛书

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312033582

版次：1

商品编码：11484232

包装：平装

丛书名： 高校核心课程学习指导丛书

开本：16开

出版时间：2014-04-01

用纸：胶版纸

页数：370

正文语种：中文

内容简介

　　《微分几何学习指导/高校核心课程学习指导丛书》是中国科学技术大学出版社出版的《微分几何》的配套书，它可帮助读者熟练地掌握微分几何的内容和方法。《微分几何学习指导》对《微分几何》一书的全部习题做了详细的解答，并增加了一些有趣的习题以及联系古典微分几何与近代微分几何的典型题目。　　《微分几何学习指导/高校核心课程学习指导丛书》可用作综合性大学、理工科大学、师范大学数学系高年级学生、教师和研究人员的参考书。

目录

前言第1章 曲线论1.1 Cr正则曲线、切向量、弧长参数1.2 曲率、挠率1.3 Frenet标架、Frenet公式1.4 Bouquet公式、平面曲线的相对曲率1.5 曲线论的基本定理1.6 曲率圆、渐缩线、渐伸线1.7 曲线的整体性质（4顶点定理、Minkowski定理、Fenchel定理）
第2章 Rn中k维Cr曲面的局部性质2.1 曲面的参数表示、切向量、法向量、切空间、法空间2.2 旋转面（悬链面、正圆柱面、正圆锥面）、直纹面、可展曲面（柱面、锥面、切线面）2.3 曲面的第1基本形式、第2基本形式2.4 曲面的基本公式、Weingarten映射、共轭曲线网、渐近曲线网2.5 法曲率向量、测地曲率向量、Euler公式、主曲率、曲率线2.6 Gauss曲率（总曲率）KG、平均曲率H2.7 常Gauss曲率的曲面、极小曲面（H=O）2.8 测地曲率、测地线、测地曲率的Liouville公式2.9 曲面的基本方程、曲面论的基本定理、GaUSS绝妙定理2.10 Riemann流形、Levi-Civita联络、向量场的平行移动、测地线2.11 正交活动标架
第3章 曲面的整体性质3.1 紧致全脐超曲面、球面的刚性定理3.2 极小曲面的Bernstein定理3.3 Gauss-Bonnet公式3.4 2维紧致定向流形M的Poincare切向量场指标定理参考文献

前言/序言

《微分几何入门与进阶》 内容简介： 本书旨在为读者提供一个全面且深入的微分几何学习路径，从基础概念的建立到前沿理论的探索，力求帮助读者构建坚实的理论基础，并培养解决复杂问题的能力。全书逻辑清晰，循序渐进，既适合初学者系统入门，也为有一定基础的读者提供深入拓展的空间。 第一部分：基础概念与流形入门 第一章：欧几里得空间与向量代数复习 回顾向量空间、线性变换、内积空间等基础概念，为后续微分几何的学习打下代数基础。 重点讲解多线性代数，如张量、张量积、张量代数等，这是理解微分几何中曲率、度量等概念的关键。 介绍坐标系的概念以及坐标变换下的张量不变量性。 第二章：度量空间与距离 定义度量空间，并引入距离的概念，探讨度量空间的性质。 讨论完备性、连通性等拓扑性质，为理解流形的拓扑结构做铺垫。 介绍测地线的基本概念，即在度量空间中“最短路径”的泛化。 第三章：微分流形概念 引入“局部欧几里得性”的概念，定义微分流形：一个拓扑空间，其上每一点都有一个邻域与欧几里得空间的一个开集同胚，且这些同胚映射在交集上的复合是光滑的。 讲解图册、相容性、光滑结构等核心概念，理解光滑流形的定义。 介绍常见的微分流形，如球面、环面、射影空间等，并通过实例加深理解。 第四章：切空间与向量场 定义流形上的切空间，它是流形在该点附近“最接近”的欧几里得空间。 介绍向量场，即流形上每一点赋予一个切向量。 讲解向量场的代数运算，如线性组合、李括号等。 探讨切向量在坐标变换下的表现形式。 第二部分：微分几何的核心工具 第五章：微分形式与外微分 引入函数、1-形式、k-形式等概念，并解释它们在几何中的意义。 定义外微分算子，并阐述其性质，如d²=0。 讲解外微分与梯度、散度、旋度等经典算子在欧几里得空间中的联系。 介绍李导数与流的积分曲线。 第六章：联络与平行移动 定义联络，它描述了如何在流形上“平行地”移动切向量，是度量几何的起点。 引入协变导数，以及其在向量场和张量场上的作用。 讨论联络的挠率和曲率张量，理解它们如何刻画流形的弯曲程度。 讲解平行移动与测地线的关系。 第七章：黎曼度量与度量联络 定义黎曼度量，它在流形上赋予了每个切空间一个内积，从而能够度量长度和角度。 介绍由黎曼度量诱导的列维-奇维塔联络，以及它的重要性质。 讲解度量流形上的测地线方程，以及测地线的存在性与唯一性。 计算度量流形上的曲率张量，包括里奇曲率和标量曲率。 第三部分：曲率的深入探讨与应用 第八章：曲面论回顾与推广 复习经典曲面论中的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率等概念。 将这些概念推广到高维黎曼流形，理解曲率张量如何捕捉多维弯曲。 介绍法拉第-高斯方程。 第九章：测地线与指数映射 深入研究测地线的性质，如存在性、唯一性、完备性等。 定义指数映射，它将切空间映射到流形本身，是研究测地线性质的重要工具。 探讨指数映射在测地半径、测地完备性等概念中的应用。 第十章：黎曼流形的拓扑性质 探讨曲率与流形拓扑性质之间的关系，如高斯-博内定理。 介绍流形上的积分几何，以及曲率在其中扮演的角色。 讨论一些经典的微分几何定理，如波恩-因费尔德定理。 第四部分：进阶主题与专题 第十一章：微分同胚与同胚不变性 定义微分同胚，并探讨流形的拓扑不变性与微分不变性。 介绍一些重要的拓扑分类，如同伦、同调等。 第十二章：几何测度论简介 引入流形上的体积形式，以及相关的积分概念。 探讨一些与面积、体积相关的几何量，如测地距离等。 第十三章：凯勒流形与复微分几何初步 介绍凯勒流形的概念，它结合了黎曼度量和复结构。 初步了解复微分几何中的一些基本概念和研究方向。 学习资源与方法建议： 本书在各章节末尾附带了适量的习题，由浅入深，旨在帮助读者巩固所学知识。建议读者在学习过程中，积极思考，勤于动手，尝试自行推导公式，并与经典几何学、拓扑学、分析学等课程知识相联系。 适用读者： 数学专业本科生、研究生。 对微分几何有浓厚兴趣的物理学、工程学等相关专业研究人员。 希望系统学习微分几何理论的研究者。 本书力求在严谨性与易读性之间取得平衡，希望能成为您微分几何学习旅程中不可或缺的伙伴。

评分☆☆☆☆☆

老实说，刚开始拿到这本书，我并没有抱太大的期望，毕竟“学习指导”这个词，有时候就意味着“照搬教科书然后加一点解释”。但这次，我真的错了。这本书的内容，可以说是在我学习微分几何的道路上，起到了一种“拨乱反正”的作用。我之前在看教科书的时候，经常会被一些过于形式化的定义和证明弄得晕头转向，感觉自己像是迷失在了一个数学符号的迷宫里。这本书的特点在于，它在保持数学严谨性的前提下，用一种非常生动和有条理的方式，把那些抽象的概念“具象化”了。它不仅仅是告诉你“是什么”，更重要的是告诉你“为什么是这样”以及“有什么用”。举个例子，书中在介绍“射影联络”的时候，它并没有直接给出那个复杂的公式，而是先从“仿射联络”的性质入手，然后解释为什么我们需要引入“射影不变性”的概念，以及射影联络在这种不变性下是如何构造的。这种循序渐进的讲解方式，让我能够一步一步地理解每一个概念的由来和意义。我特别欣赏书中关于“高斯绝缘性定理”的论述。这个定理在很多教材中都以一种非常抽象的证明方式呈现，让人难以把握其核心思想。这本书，则通过一系列精心设计的几何直观图，以及对曲率和测地线之间关系的深刻剖析，让我真正理解了高斯绝缘性定理的几何意义，那就是曲面的内禀几何性质（如曲率）不依赖于它在更高维空间中的嵌入方式。这一点，对理解微分几何的“内禀”和“外在”性质的区别至关重要。而且，这本书的语言风格也非常“接地气”。作者会用一些非常形象的比喻来解释复杂的概念，比如将联络比作“在曲面上导航的罗盘”，将曲率张量比作“曲面扭曲程度的度量”等等。这些比喻虽然简单，但却能极大地帮助我建立起直观的理解，从而更容易地去消化那些抽象的数学理论。我印象最深刻的是，书中在讲解“微分同胚”的时候，它并没有仅仅给出定义，而是通过讨论两个球面的例子，来阐释即使形状不同，只要拓扑性质相同，就可以通过微分同胚建立联系。这种对比性的讲解，让我对“微分同胚”的内涵有了更深刻的理解。总而言之，这本书对我来说，不仅仅是一本学习指南，更像是一位经验丰富的向导，带领我在微分几何的迷宫中找到了清晰的路径，让我能够自信地探索下去。

评分☆☆☆☆☆

这本书，哦，我的天呐！我真的得好好说说这本书，它简直是我在学习微分几何这条坎坷道路上的救星。拿到它的时候，我正对着那些抽象的向量场、曲率张量、以及那些永远算不完的微分方程感到头晕目眩。我承认，刚开始拿到这本书，我抱着一种“试试看吧，反正都这样了”的心态，但从我翻开第一页开始，我就知道，这趟旅程将截然不同。作者的语言风格，怎么说呢，不像那些枯燥的教科书，它更像是一位经验丰富的老师，带着你一步一步地，把那些看似天书的概念，拆解成我可以理解的小块。比如，对于“曲率”这个概念，教科书通常就是给出几个公式，然后让你去计算。但这本书，它会用生动的比喻，让你去想象一个二维曲面在三维空间中的弯曲程度，告诉你切线向量在移动过程中是如何“扭转”的，还会用一些简单的例子，比如自行车车轮的轨迹，来帮助你直观地感受什么是测地线。更让我惊喜的是，它不仅仅是讲解概念，还提供了大量的习题，而且这些习题不是那种简单的套公式，而是非常有启发性。很多习题后面都附有详细的解答思路，甚至有时候还会提供不止一种解法，这让我明白了同一个问题可以从不同的角度去思考，这对于培养我的解题能力和数学思维真的太有帮助了。我记得有一次，我被一个关于“法曲率”和“测地曲率”的题目困了好久，感觉自己像是陷入了一个泥潭，怎么都爬不出来。翻到这本书的对应章节，作者用一种非常形象的方式解释了这两个概念的区别和联系，还给出了一个巧妙的几何解释，我当时豁然开朗，感觉整个世界都亮了！这本书的结构安排也很合理，从最基础的概念开始，循序渐进，每章都会承接上一章的内容，并且提前为你将要接触的新概念做好铺垫。我个人特别喜欢书中关于“联络”的讲解，以前我一直觉得这个东西很抽象，不知道它到底有什么用，这本书用了很多篇幅来解释“联络”是如何衡量向量在曲面上平行移动时发生的变化，以及它在定义曲率张量中的核心作用。读完这部分，我对微分几何的整体框架有了更清晰的认识，不再是零散的概念堆砌，而是形成了一个有机的整体。总而言之，这本书真的太适合我这种需要“指导”的读者了，它不仅仅是一本学习资料，更像是一位耐心的良师益友，陪伴我走过这段充满挑战的学习旅程。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书是我在学习微分几何这条漫漫长路上遇到的“一股清流”。在接触它之前，我感觉自己像是站在一座高耸的数学城堡前，而城堡里的语言我一点都听不懂。这本书，则像是一把万能钥匙，为我打开了城堡的大门。它没有回避那些核心的、复杂的数学概念，而是用一种极其“友好”的方式，把它们呈现在我面前。我特别喜欢书中对“张量”的讲解。之前，我对张量的理解仅限于一些矩阵的运算，觉得它们只是冷冰冰的数学工具。这本书，通过对“物理量”的视角来引入张量，解释张量是如何表示那些在坐标变换下具有特定规律的“多线性函数”。它会通过一些具体的物理例子，比如应力张量和电磁张量，来阐释张量的几何意义和物理意义。这种“理论联系实际”的讲解方式，让我对张量的理解上升到了一个新的高度。更让我惊喜的是，书中对“李群”和“李代数”的引入。我之前对这两个概念一直感到非常困惑，觉得它们与微分几何的关系并不直观。这本书，则通过讨论流形的“对称性”来引出李群和李代数的概念，并详细阐述了李代数如何刻画李群的局部结构，以及它们在研究流形上的向量场和微分方程中的重要作用。它会用非常清晰的图示和计算例子，来展示李群和李代数之间的对应关系。而且，本书的习题设计也充分体现了“指导”的意义。它不仅仅是让你练习计算，还包含了很多需要你进行概念辨析和理论推理的题目。例如，有一个题目是让你证明在某个特定条件下，一个特定的向量场是一个“Killing向量场”，这需要你对Killing方程以及向量场的李导数有深刻的理解。解答部分也提供了非常详尽的思路，甚至还会对证明过程中可能出现的难点进行提示，这对于我这种容易卡壳的学生来说，简直就是福音。我特别喜欢书中关于“外微分”的讲解。它没有仅仅给出定义，而是通过对“面积”和“体积”等几何量的“边界”性质的分析，来引出外微分的概念。并且，它还会详细阐述外微分与斯托克斯公式之间的关系，让我对这些重要的定理有了更深刻的理解。总而言之，这本书让我觉得，学习微分几何不仅仅是在学习一门数学分支，更是在学习一种理解和描述复杂几何世界的强大工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书，简直就是我在学习微分几何过程中遇到的“灵魂伴侣”。它不是那种冷冰冰的学术著作，而是充满了温度和智慧，能够真正地触及学习者的内心。它并非试图去“简化”微分几何，而是用一种更具启发性的方式，引导你去发现数学的内在逻辑。我非常欣赏书中对“流形”的讲解。它没有一开始就抛出那些抽象的公理和定义，而是从“局部欧氏空间”这个最基本、最直观的概念入手，一步一步地引导我理解流形是如何“拼接”起来，形成一个更加广阔的数学空间的。它会用大量的几何直观图，比如在一个曲面上绘制局部坐标系，来帮助我建立起对流形结构的直观感受。更让我惊喜的是，书中对“微分形式”的讲解。我之前对这个概念一直感到非常困惑，觉得它既不直观又很难理解。这本书，则通过“面积”和“体积”这些几何概念，来引出外微分和内蕴微分的概念，并且详细阐述了它们在流形上的运算规则。它会用非常清晰的图示和计算例子，来展示微分形式是如何在流形上进行运算的。而且，本书的习题设计也非常有指导性。它不是那种让你死记硬背的练习，而是有很多需要你进行概念辨析和理论推理的题目。例如，有一个题目是让你证明在某个特定的条件下，一个微分形式是“闭形式”，这需要你对微分形式的定义以及外微分的性质有深刻的理解。解答部分也提供了非常详尽的思路，甚至还会对证明过程中可能出现的难点进行提示，这对于我这种容易卡壳的学生来说，简直就是福音。我特别喜欢书中关于“曲率”的讲解。它没有仅仅给出几个公式，而是从“平行移动”这个基础概念出发，通过分析向量在曲面上平行移动时发生的“漂移”，来引出“联络”以及最终的“曲率张量”。它会用非常生动的比喻，比如将联络比作“在曲面上导航的指南针”，将曲率张量比作“衡量曲面固有弯曲程度的‘尺子’”，来帮助我建立起对这个概念的直观理解。总而言之，这本书让我觉得，学习微分几何不再是孤立地记忆公式和定理，而是在探索数学世界中一种更加深刻的理解方式。

评分☆☆☆☆☆

我真的要为这本书点赞！在我学习微分几何的过程中，这本书就像是我的一位“知心好友”，总是能在最恰当的时候，给我最需要的“指引”。它不是那种死板的教科书，而是充满了灵气和温度。它不仅仅是讲解“是什么”，更侧重于讲解“为什么是这样”以及“它有什么用”。我特别欣赏书中对“黎曼几何”的讲解。它没有一开始就抛出那些复杂的公理和定义，而是从“距离”这个最基本、最直观的几何概念入手，一步一步地引导我理解黎曼度量是如何在抽象的流形上“测量”长度和角度的。它会用大量的几何直观图，比如在一个曲面上绘制等距线，来帮助我建立起对黎曼度量的直观感受。更让我惊喜的是，书中对“纤维丛”的讲解。我之前对这个概念一直感到非常困惑，觉得它既不直观又很难理解。这本书，则通过“向量丛”这样一个具体的例子，详细地讲解了纤维丛的结构，以及它在描述物理学中的一些现象（比如规范场）时的重要作用。它会用非常清晰的图示来展示纤维和基空间是如何“粘合”在一起形成纤维丛的，并且通过一些简单的计算例子，让我能够对纤维丛的性质有一个初步的认识。而且，本书的习题设计也非常有指导性。它不是那种让你死记硬背的练习，而是有很多需要你进行概念辨析和理论推理的题目。例如，有一个题目是让你证明在某个特定的条件下，一个向量场是Killing向量场，这需要你结合李导数、度量张量以及Killing方程的定义进行深入分析。解答部分也提供了非常详尽的思路，甚至还会对证明过程中可能出现的难点进行提示，这对于我这种容易卡壳的学生来说，简直就是福音。我特别喜欢书中关于“曲率张量”的讲解。它没有仅仅给出几个公式，而是从“平行移动”这个基础概念出发，通过分析向量在曲面上平行移动时发生的“漂移”，来引出“联络”以及最终的“曲率张量”。它会用非常生动的比喻，比如将联络比作“在曲面上导航的指南针”，将曲率张量比作“衡量曲面固有弯曲程度的‘尺子’”，来帮助我建立起对这个概念的直观理解。总而言之，这本书让我觉得，学习微分几何不再是枯燥地记忆公式和定理，而是在探索数学世界中一种更加深刻的理解方式。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，这本书的出现，很大程度上改变了我对微分几何这门课程的看法。在此之前，我一直觉得这是一门极其枯燥、难以入门的学科，充满了各种抽象的概念和复杂的计算。然而，这本书就像是一扇窗户，让我看到了这门学科背后蕴含的数学之美和逻辑之精妙。它并非试图去“简化”微分几何，而是用一种更加“循循善诱”的方式，将那些原本晦涩难懂的知识点，变得生动而富有吸引力。我尤其欣赏书中对“测地线”的讲解。它不仅仅是给出了测地线的定义，更是通过反复强调“最短路径”的直观意义，以及在不同曲面上测地线形状的变化，让我逐渐理解了测地线在黎曼几何中的核心地位。它还会通过一些生动的例子，比如在地球表面上，两点之间的最短路径是沿着大圆的一部分，来帮助我建立起直观的认识。更让我印象深刻的是，书中在介绍“曲率张量”的时候，它并非直接给出那个令人望而生畏的公式，而是先从“平行移动”的概念入手，解释为什么在曲面上平行移动一个向量，它最终会发生“扭转”，而曲率张量正是衡量这种“扭转”程度的工具。它还会用非常形象的比喻，比如将曲率张量比作“描述曲面固有弯曲性质的‘DNA’”，来帮助我建立起对这个概念的直观理解。而且，本书的习题设计也非常有指导性。它不是那种简单的套公式的练习，而是有很多需要你进行概念性思考和推理的题目。比如，有一个题目是让你在特定的黎曼流形上，计算一个简单的向量场的曲率张量，这需要你对黎曼度量、联络以及曲率张量的定义都有深刻的理解。解答部分也提供了非常详尽的思路，甚至还会对计算过程中可能出现的难点进行提示，这对于我这种容易卡壳的学生来说，简直就是福音。我特别喜欢书中关于“流形上的积分”的讲解。它没有仅仅停留在概念层面，而是花了大量篇幅来解释“微分形式”是如何在流形上进行积分的，并且详细阐述了斯托克斯公式在计算流形上积分时的重要作用。通过大量的几何直观图，我终于能够直观地感受到流形上积分的几何意义。总而言之，这本书让我觉得，学习微分几何不再是孤立地记忆公式和定理，而是在探索数学世界中一种更加深刻的理解方式。

评分☆☆☆☆☆

我得说，这本书简直就是为我这种“理论苦手”量身定做的。我一直觉得微分几何的东西太抽象了，尤其是那些关于微分流形、张量场之类的概念，总是感觉抓不住重点，像是在空中楼阁。拿到这本书之后，我才真正体会到什么叫做“化繁为简”。它不是在回避那些核心的概念，而是用一种我能理解的方式，把它们一点一点地呈现在我面前。比如，当书中开始讲解“切空间”的时候，我之前脑海里只有那些箭头乱飞的画面，完全不知道它们代表什么。这本书，会从“函数如何在点上取值”这个最基本的问题出发，引出“方向导数”的概念，然后自然而然地将切空间解释为所有可能方向导数的集合。这种“从已知到未知”的讲解方式，让我觉得非常自然和舒适。更让我惊喜的是，书中对“纤维丛”的讲解。我之前对这个概念一直感到非常困惑，觉得它既不直观又很难理解。这本书，则通过“向量丛”这样一个具体的例子，详细地讲解了纤维丛的结构，以及它在描述物理学中的一些现象（比如规范场）时的重要作用。它会用非常详细的图示来展示纤维和基空间是如何“粘合”在一起形成纤维丛的，并且通过一些简单的计算例子，让我能够对纤维丛的性质有一个初步的认识。而且，本书的习题设置也非常有特色。它不仅仅是计算题，还有很多关于概念辨析和理论证明的题目。例如，有一个题目是让你证明一个关于“曲率张量守恒”的性质，这需要你对曲率张量的定义以及它的微分运算有深刻的理解。解答部分则提供了非常详尽的思路，甚至还会对证明过程中可能出现的难点进行提示，这对于我这种容易卡壳的学生来说，简直就是福音。我特别喜欢书中对“曲率”的讲解。它没有仅仅给出几个公式，而是从“曲面如何弯曲”这个直观的几何问题出发，然后逐步引入“法曲率”、“主曲率”以及“高斯曲率”的概念，并且详细解释了它们之间的关系。通过大量的几何例子，我终于能够直观地感受到不同曲率代表的几何意义。总而言之，这本书让我觉得，微分几何不再是遥不可及的理论，而是一种可以用几何直觉去理解的数学语言。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《微分几何学习指导》的时候，我确实抱着一种“有则看，没有也无妨”的心态，毕竟这类课程的教材本身就有些难度。然而，随着阅读的深入，我不得不承认，这本书确实填补了我学习过程中的许多空白，并且以一种我完全没想到地方式，让我对微分几何这个庞杂的体系产生了新的认识。它并没有试图去“简化”微分几何，这一点我非常欣赏。它保留了数学的严谨性，但它处理的方式却是极其“人性化”的。比如说，当书中介绍到黎曼度量和度量张量的时候，我之前在教材中看到的定义总是冷冰冰的，仿佛只是数学符号的堆砌。而这本书，则会从“距离”这个最根本的几何概念出发，循循善诱，解释度量张量是如何在抽象的流形上“测量”长度和角度的。它会通过一些非常巧妙的例子，比如在二维球面上的距离计算，让你直观地理解度量张量的作用。更让我印象深刻的是，书中在引入一些复杂的概念时，总会有一个“回顾”或者“前瞻”的机制。比如，在讲解曲率张量的时候，它会花一些篇幅回顾“联络”的概念，并解释曲率张量是如何从联络的“不可积性”中产生的。这种前后呼应的设计，让我感觉学习过程不是孤立的，而是像编织一幅精美的挂毯，每一根线都与其他的线紧密相连。我尤其喜欢书中关于“李导数”的阐述，这个概念在很多教材中都一带而过，但在这本书里，作者花了相当的篇幅来讲解李导数在描述流形上向量场作用下的“运动”以及它与微分形式的相互作用。通过大量的图示和具体的计算例子，我终于理解了李导数的几何意义，以及它在研究流形对称性方面的重要作用。而且，这本书的习题设计也非常出色。它并不是那种简单地让你计算的题目，而是有很多需要你进行概念性思考和推理的题目。比如，有一个题目是让你证明在某个特定条件下，一个向量场一定是Killing向量场，这需要你结合李导数、度量张量以及Killing方程的定义进行深入分析。解答部分也提供了非常详尽的思路，有时还会给出一些提示，让你能够自己去尝试找到答案。这本书真的让我觉得，学习微分几何不再是一件令人望而生畏的事情，而是一次探索数学美学的奇妙旅程。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书真的是我近期遇到的最“走心”的学习材料了。我在学习微分几何的过程中，曾经经历过一段非常迷茫的时期，感觉自己像是在大海中漂泊，找不到方向。这本书，就像是一盏明灯，指引我走出了那片迷雾。它不是那种“填鸭式”的教学，而是真正地在引导你去思考。它会适时地提出一些问题，让你停下来想一想，然后再给出相应的解释和引导。这种互动式的学习方式，让我感觉自己不再是被动地接受知识，而是主动地参与到学习过程中。比如，在讲解“曲率”这个概念的时候，书中会先让你思考，如果我们要在光滑曲面上测量“弯曲”的程度，我们应该从哪里入手？然后，它会引出“测地线”的概念，并通过分析测地线在曲面上“排斥”或“吸引”的现象，来引申出曲率的概念。这种从问题出发，层层递进的讲解方式，让我觉得非常自然和易于接受。我印象特别深刻的是，书中对“微分同胚”的讲解。它不仅仅是给出定义，还会深入探讨微分同胚在保持流形“拓扑结构”的同时，是如何允许“几何结构”发生变化的。它会通过一些具体的例子，比如将一个粗糙的球面“拉伸”成一个椭球，来阐释微分同胚的内涵。并且，它还会讨论微分同胚与“等度量映射”的区别，让我对这两者有了更清晰的认识。而且，本书的习题设计也非常精妙。它不仅仅是简单的计算，还包含了很多需要你进行概念辨析和推理的题目。例如，有一个题目是让你证明在某个特定的条件下，两个流形之间存在一个“测地线保持”的微分同胚，这需要你对测地线、微分同胚以及度量张量有深刻的理解。解答部分也提供了非常详尽的思路，甚至还会给出一些提示，让你能够自己去尝试找到答案。我特别喜欢书中关于“黎曼流形”的讲解。它没有仅仅停留在概念层面，而是花了大量篇幅来解释黎曼度量是如何在流形上定义“长度”和“角度”的，并且详细阐述了黎曼度量在定义曲率、联络以及其他重要的几何对象中的核心作用。通过大量的几何直观图，我终于能够直观地感受到黎曼度量的几何意义。总而言之，这本书让我觉得，学习微分几何不仅仅是在学习一门数学分支，更是在培养一种几何直觉和分析问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书，简直就是我在学习微分几何过程中遇到的“量身定制”的“私人教练”。我之前一直在苦恼于如何才能真正理解那些抽象的概念，比如“联络”、“曲率”以及“微分同胚”，总是感觉它们像是空中楼阁，难以落地。这本书，则以一种极其“接地气”的方式，将这些概念一一剖析，让我豁然开朗。它并没有刻意去“简化”数学，而是用一种更具启发性的方式，引导你去发现数学的内在逻辑。我非常欣赏书中关于“曲率”的讲解。它没有仅仅给出公式，而是从“平行移动”这个基础概念出发，通过分析向量在曲面上平行移动时发生的“漂移”，来引出“联络”以及最终的“曲率张量”。它会用非常生动的比喻，比如将联络比作“在曲面上导航的指南针”，将曲率张量比作“衡量曲面固有弯曲程度的‘尺子’”，来帮助我建立起直观的理解。更让我惊喜的是，书中对“微分同胚”的讲解。它不仅仅是给出定义，而是深入探讨了微分同胚在保持流形的“拓扑结构”的同时，是如何允许“几何结构”发生变化的。它会通过一些具体的例子，比如将一个圆盘“拉伸”成一个椭圆，来阐释微分同胚的内涵。并且，它还会讨论微分同胚与“等度量映射”的区别，让我对这两者有了更清晰的认识。而且，本书的习题设计也非常巧妙。它不仅仅是让你练习计算，还包含了很多需要你进行概念辨析和理论推理的题目。例如，有一个题目是让你证明在某个特定的条件下，一个曲率张量为零的黎曼流形一定是平坦的，这需要你对黎曼几何的基本性质以及曲率张量的意义有深刻的理解。解答部分也提供了非常详尽的思路，甚至还会对证明过程中可能出现的难点进行提示，这对于我这种容易卡壳的学生来说，简直就是福音。我特别喜欢书中关于“向量场”的讲解。它没有仅仅停留在概念层面，而是花了大量篇幅来解释向量场在流形上如何定义“方向”和“速度”，并且详细阐述了向量场的“李导数”如何描述向量场作用下的“运动”。通过大量的几何直观图，我终于能够直观地感受到向量场的几何意义。总而言之，这本书让我觉得，学习微分几何不再是孤立地记忆公式和定理，而是在探索数学世界中一种更加深刻的理解方式。

评分☆☆☆☆☆

2，Leibniz级数、Abel判别法、Dirichlet判别法、级数的重排、Riemann定理、Mertens定理、二重级数、二重级数与累次级数之间的关系、二重绝对收敛级数的重排、无穷乘积、无穷乘积收敛的必要条件、无穷乘积的绝对收敛、Euler公式。

评分☆☆☆☆☆

古代人们的生活更多地依赖于直接利用，或从中提取所需要的东西。由于这些物质的固有性能满足不了人们的需求，便产生了各种加工技术，把天然物质转变成具有多种性能的新物质，并且逐步在工业生产的规模上付诸实现。起初，生产这类产品的是手工作坊，后来演变为工厂，并逐渐形成了一个特定的生产部门，即化学工业。随着生产力的发展，有些生产部门，如冶金、炼油、造纸、制革等，已作为独立的生产部门从化学工业中划分出来。当大规模

评分☆☆☆☆☆

6，阶梯函数的积分、上函数的积分、一般区间上的Lebesgue可积函数类、Lebesgue积分的基本性质、Levi单调收敛定理、Lebesgue控制收敛定理、Lebesgue 广义积分。

评分☆☆☆☆☆

8，Lebesgue可测函数、可测性与可积性之间的关系、Lebesgue积分号下取极限、交换积分顺序、Lebesgue测度、Lebesgue可测集、平方可积函数集、Riesz-Fischer定理。

评分☆☆☆☆☆

书好

评分☆☆☆☆☆

1，数项级数的收敛与发散、绝对收敛、非负数项级数收敛的充要条件、比较判别法、Weierstrass比较判别法、 Cauchy判别法、D‘Aleert判别法、Gauss判别法、Rabbe判别法、Kummer判别法、Bertrand判别法、Cauchy- Maclaurin积分判别法。

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6，阶梯函数的积分、上函数的积分、一般区间上的Lebesgue可积函数类、Lebesgue积分的基本性质、Levi单调收敛定理、Lebesgue控制收敛定理、Lebesgue 广义积分。