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匡继昌 著

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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040112344

商品编码：11384181231

包装：平装

出版时间：2002-08-01

基本信息

书名：实分析与泛涵分析/面向21世纪课程教材

：30.20元

作者：匡继昌

出版社：高等教育出版社

出版日期：2002-08-01

ISBN：9787040112344

字数：

页码：366

版次：1

装帧：平装

开本：16开

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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内容提要

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《实分析与泛涵分析》是教育部“高等师范教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果。 《实分析与泛涵分析》通过改革和创新，用集合（通过引入各种结构）和映射将传统的“实变函数论”、“测度论”、“泛函分析”三门课融合为一门新的“现代分析”基础教程，使之保持了适当的理论深度和较高学术水平，使读者用较少的时间就能掌握现代分析中的有用的核心内容和方法技巧；同时，《实分析与泛涵分析》起点低，只要求读者具有初等微积分和高等代数初步知识，对不同专业和不同层次的教学有较大的选择空间，因而《实分析与泛涵分析》有广泛的读者面，可作为大学数学专业本科生和硕士研究生的教材或教学参考书，也可供广大科技人员参考。

目录

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章 预备知识
§1集合的运算
习题1．1
§2集合间的映射
习题1．2
§3集合的基数．
附录一基数分别为口c 2的集合举例

第二章 点集的拓扑概念
§1距离空间中的拓扑概念
习题2．1
§2连续性
§3R中开集、闭集的构造，Cantor集
习题2．3
§4覆盖

第三章 测度论
§1R中的Lebesgue外测度
习题3．1
§2R中的Lebesgue测度
习题3．2(一)
习题3．2(二)
§3抽象外测度与测度

第四章 可测函数
§1可测函数的定义及其基本性质
习题4．1
§2可测函数列的收敛性
习题4．2
§3可测函数的结构(Luzin定理)
习题4．3
第五章 积分论
§1Lebesgue积分的定义
§2(L)积分的初等性质
习题5．2
§3(L)积分列的极限定理
习题5．3
§4(L)积分与(R)积分的关系，(L)积分的推广
习题5．4
§5Fubini定理
第六章 微分论
§l覆盖与极大函数
习题6．1
§2Lebesgue微分定理
习题6．2
§3单调函数
习题6．3
§4有界变差函数和连续函数
习题6．4
§5不定积分
习题6．5

第七章 抽象空间论
§1距离空间续论
习题7．1
§2赋范线性空间
习题7．2
§3内积空间
习题7．3
§4常用的函数空间与序列空间
习题7．4
§5内积空间中的FOurier分析
习题7．5

第八章 抽象空间之间的映射
§1有界线性算子与有界线性泛函
习题8．1
§2算子空间与共轭空间
习题8．2
§3有界线性泛函的表示
习题8．3
§4共鸣定理
习题8．4
§5开映射定理
习题8．5
§6算子与泛函的延拓
习题8．6
§7共轭空间与共轭算子
习题8．7

第九章 实分析与泛函分析续论
§l集合基数基本定理的证明
§2连续性基本定理的证明，半连续性，Baire函数类
习题9．2
§3测度论(第三章 )续论
§4可测函数(第四章 )续论
§5积分论(第五章 )续论，广义测度
§6微分论(第六章 )续论，凸函数
§7抽象空间论(第七章 )续论，商空间，Banach不动点定理
习题9．7
§8抽象空间之间的映射(第八章 )续论，谱分析，广义函数
习题9．8
参考文献

作者介绍

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文摘

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序言

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《实变函数论基础与泛函分析导引》 （一本深入探究数学核心领域的严谨著作） 本书旨在为读者提供一个扎实而深入的实变函数论基础，并在此基础上系统地介绍现代泛函分析的核心概念、基本理论和重要方法。作者以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，带领读者穿越抽象的数学世界，领略数学分析的魅力，为进一步深入研究拓扑学、微分几何、偏微分方程、量子力学等领域奠定坚实的理论基石。 第一部分：实变函数论基础 实变函数论是现代数学分析的基石，它为理解更高级的数学概念提供了必不可少的工具和视角。本部分内容围绕测度论和积分理论展开，强调概念的严谨性与方法的普适性。 第一章：集合论与拓扑基础 在深入探讨测度与积分之前，我们首先需要建立一个清晰的集合论和拓扑学的概念框架。本章将从集合的基本运算、关系与函数入手，引入集合的计数性与不可数性等概念。随后，我们将聚焦于度量空间，阐述开集、闭集、稠密集、完备集等基本拓扑概念，并探讨紧致集、连通集等重要性质。这些概念的引入，不仅为后续的测度构建提供了必要的语言，也为理解函数的性质和空间的结构打下了基础。我们将详细讨论各种度量空间的例子，如欧几里得空间、函数空间等，并初步感受函数空间在数学研究中的重要性。 第二章：测度空间与勒贝格测度 本章是本书的重头戏之一，我们将构建勒贝格测度的理论。我们将从可测集的概念出发，介绍外测度、Carathéodory扩张定理等关键理论，从而严谨地定义勒贝格测度。我们将详细讨论勒贝格测度的性质，如可列可加性、单调性、零测集等，并分析其与长度、面积、体积等直观概念的关系。本章还会介绍可测函数，探讨其运算性质和收敛性。通过大量的例子，读者将理解勒贝格测度如何克服黎曼积分的局限性，为更广泛的积分理论奠定基础。 第三章：勒贝格积分 在测度理论的基础上，本章将发展勒贝格积分。我们将从简单函数积分开始，逐步推广到非负可测函数的积分，最终定义任意可测函数的勒贝格积分。我们将深入探讨勒贝格积分的各种重要性质，如线性性质、单调性、收敛定理（单调收敛定理、Fatou引理、控制收敛定理）等。这些收敛定理是勒贝格积分的核心力量，它们使得我们在处理函数序列的积分时，能够有效地交换积分与极限的顺序，极大地简化了许多分析问题。本章还将讨论L^p空间的概念，为泛函分析的学习做好铺垫。 第四章：Lp空间 Lp空间是泛函分析中最重要的函数空间之一。本章将详细介绍Lp空间的定义、性质以及它们之间的关系。我们将讨论Minkowski不等式和Holder不等式在Lp空间中的应用，以及它们在证明收敛性时的作用。本章还将重点介绍Lp空间中的完备性，证明Lp空间是Banach空间，并初步探讨其对偶空间的概念，为后续泛函分析的学习打下坚实基础。 第二部分：泛函分析导引 泛函分析是研究函数空间及其上线性算子的数学分支，它在现代科学和工程的诸多领域有着广泛的应用。本部分将从Banach空间开始，系统地介绍泛函分析的核心概念和基本理论。 第五章：Banach空间 Banach空间是带有范数的完备的线性空间，是泛函分析研究的基本对象。本章将首先回顾范数的性质，并介绍Banach空间的定义和例子。我们将详细讨论Banach空间的完备性，理解其在极限运算中的重要性。本章还会介绍线性泛函、有界线性算子等基本概念，并引入Hahn-Banach定理，这是泛函分析中最基本也是最重要的定理之一，它保证了在Banach空间中存在非零的有界线性泛函，并允许我们将线性泛函从子空间扩张到整个空间。 第六章：有界线性算子 本章聚焦于Banach空间之间的有界线性算子。我们将详细研究算子的定义、性质、表示法以及算子代数。我们将深入理解算子的范数，并探讨算子的逆、零空间、值域等概念。本章还会介绍开映射定理、闭图像定理以及有界逆定理，这些定理揭示了有界线性算子之间深刻的联系，是分析算子性质的有力工具。 第七章：Hilbert空间 Hilbert空间是带有内积的Banach空间，它在几何上具有更丰富的结构，在量子力学等领域有着至关重要的作用。本章将首先介绍内积空间的概念，并定义Hilbert空间。我们将讨论正交性、正交基、正交补等概念，并证明投影定理。本章还会介绍Riesz表示定理，它建立了Hilbert空间与其对偶空间之间的同构关系，是理解Hilbert空间结构的关键。 第八章：谱理论初步 谱理论是泛函分析中研究算子性质的核心内容。本章将对谱理论进行初步的介绍，重点关注线性算子的谱。我们将定义谱集、点谱、连续谱等概念，并介绍一些基本的谱分析方法。虽然本章旨在提供一个初步的了解，但它将为读者理解算子的性质、稳定性以及在微分方程中的应用提供重要的启示。 第九章：特殊算子与应用 为了更好地理解泛函分析的实际应用，本章将介绍一些重要的特殊算子，如自伴算子、酉算子等。我们将探讨这些算子的性质以及它们在不同数学分支和物理模型中的应用。例如，我们将简要提及自伴算子在量子力学中作为可观测量代表示的意义，以及它们在微分方程求解中的作用。 本书的特点： 严谨性与系统性： 本书内容逻辑清晰，概念定义严谨，证明详尽，力求为读者构建一个完整的数学分析知识体系。 深度与广度： 本书在扎实掌握实变函数论的基础上，系统深入地介绍了泛函分析的核心理论，并触及了谱理论等前沿领域。 启发性与趣味性： 作者在讲解过程中，力求深入浅出，通过丰富的例子和恰当的引导，帮助读者理解抽象概念，培养数学思维，激发学习兴趣。 面向未来： 本书的内容选择充分考虑了现代数学和相关应用领域的需求，为读者未来深入学习和研究打下坚实基础。 适合读者： 本书适合数学、物理、工程等相关专业的本科生、研究生，以及对数学分析有浓厚兴趣的科研人员和自学者。阅读本书需要具备一定的微积分和线性代数基础。 通过对本书的学习，读者将能够深刻理解现代数学分析的精髓，掌握分析问题的有力工具，并为解决更复杂的科学与工程问题奠定坚实的数学基础。

评分☆☆☆☆☆

一本厚重的书，封面设计简洁大气，透着一股严谨的学术气息。虽然我还没有深入阅读，但仅从目录和前言的浏览，就能感受到作者在内容编排上的用心。实数分析部分，感觉会是对基础概念的扎实梳理，比如实数系的完备性、序列与级数收敛的精妙之处，以及函数连续性、可导性、积分理论的详尽阐述。这些都是泛函分析的基石，如果打牢了基础，后面的学习会事半功倍。我特别期待作者在处理一些经典证明时的处理方式，是像传统的教材那样一步步推导，还是会融入一些现代的视角和工具，让理解更直观。泛函分析的部分，从名称上就能感受到其抽象和深刻。希尔伯特空间、巴拿赫空间，这些概念本身就充满挑战。我猜想书中会对这些空间的基本性质、线性算子、有界线性算子、紧算子等核心内容进行深入的探讨，并可能涉及谱理论等更高级的话题。对于我这样一个正在探索数学领域的研究生来说，能够有一本既有深度又不失清晰度的教材，无疑是极大的福音。希望它能帮助我构建起坚实的泛函分析理论框架，为日后的研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我之前接触过一些泛函分析的入门材料，但总感觉像是隔靴搔痒，很多概念理解得不够透彻。这本书的出现，让我看到了希望。从书名“实分析与泛函分析”的组合来看，它很可能能够很好地衔接这两个领域，让我在扎实的实数分析基础上，更顺畅地过渡到抽象的泛函分析世界。我非常好奇作者是如何处理实数分析部分与泛函分析部分的联系的。是简单地罗列概念，还是会巧妙地在实分析的例子中引入泛函分析的思想？比如，在讨论勒贝格积分时，是否会自然地引出L^p空间的概念？或者在研究函数序列的一致收敛时，是否会联系到距离空间和度量空间的性质？这些细节上的处理，往往决定了一本教材的教学效果。我对泛函分析的学习一直有种“纸上得来终觉浅”的体会，希望这本书能够通过严谨的数学推导和恰当的例证，帮助我真正地“得”，掌握泛函分析的核心思想和方法。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学的抽象美学有着深深的迷恋，而泛函分析正是这种抽象美学的集大成者。我猜想这本书会带领读者走进一个全新的数学世界，在那里，点不再是简单的坐标，而是具有丰富结构的向量；函数不再是独立的个体，而是构成空间的元素。我非常期待作者在介绍巴拿赫空间和希尔伯特空间时，能够给予足够清晰的几何直观和代数描述，帮助我理解这些高维抽象空间的内在联系。特别是对于一些关键定理，如开映射定理、闭图像定理、Hahn-Banach定理等，它们往往是泛函分析的“脊梁”，我希望能在这本书中找到对它们详尽且易于理解的解释和证明。同时，我也对书中可能出现的关于测度论、L^p空间、以及积分算子和微分算子等内容的讲解充满好奇。希望这本书能够为我揭示数学世界深层次的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

对于“面向21世纪课程教材”这个定位，我充满了期待。这通常意味着教材的内容会与时俱进，既包含经典理论，又可能融入一些最新的发展和研究方向。实分析和泛函分析都是数学中非常基础且重要的分支，它们的应用领域极为广泛，从量子力学到信号处理，再到机器学习，都离不开它们的身影。因此，一本好的教材不仅要讲清楚理论，更要展现这些理论的生命力和实际价值。我希望这本书在讲解完基础理论后，能够提供一些具有启发性的应用案例或者研究背景介绍，让我看到这些抽象的数学工具是如何解决实际问题的。比如，在介绍泛函分析的算子理论时，是否会联系到微分方程的求解，或者在讲解积分变换时，是否会提及傅里叶分析在信号处理中的应用。这种理论与实践的结合，能够极大地激发我的学习兴趣，让我更深入地理解数学的魅力。

评分☆☆☆☆☆

一直以来，我对“实分析”这个词总有一种特别的亲近感，它象征着对数学严谨性的最直接的体验。从epsilon-delta的定义到积分的黎曼和与勒贝格积分的交汇，实分析的每一步都充满了逻辑的力量。而“泛函分析”，则在我看来，是实分析的升华，是将这种严谨性延展到了无限维的空间。我非常好奇这本书是如何将这两个看似独立又息息相关的领域有机地结合起来的。我猜想，在实分析部分，作者会非常注重基础概念的清晰界定和数学证明的规范性，为后续泛函分析的学习打下坚实的基础。而泛函分析部分，我期望能够看到对线性算子、度量空间、赋范空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等核心概念的深入剖析，并辅以丰富的例证，帮助我理解这些抽象概念在几何和代数上的直观含义。我希望这本书能让我领略到数学思维的深度和广度。