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内容简介

　　《数学分析教程（中册）》是供综合性大学和师范院校数学类各专业本科一、二年级学生学习数学分析课程的一部教材，分上、中、下三册。本册为中册，讲授一元函数的积分学和级数理论，内容包括一元函数的定积分及其应用、广义积分、无穷级数、函数序列和函数级数、幂级数和傅里叶级数等。

目录

目录
第7章 定积分 1
7.1 定积分的概念和基本性质 1
7.1.1 定积分概念的引出 1
7.1.2 定积分的定义 5
7.1.3 定积分的基本性质 8
习题7.1 14
7.2 定积分的计算 17
7.2.1 微积分基本定理 17
7.2.2 定积分的换元积分法和分部积分法 20
习题7.2 24
7.3 连续函数的可积性 28
7.3.1 连续函数的可积性 28
7.3.2 积分中值定理 30
7.3.3 连续函数原函数的存在性 32
习题7.3 33
7.4 函数可积的达布准则 36
7.4.1 上积分和下积分 36
7.4.2 达布准则 39
7.4.3 可积函数乘积的可积性 44
7.4.4 积分第二中值定理 45
习题7.4 48
第8章 定积分的应用 52
8.1 定积分在分析学中的应用 52
8.1.1 一阶线性微分方程 52
8.1.2 格朗沃尔引理 53
8.1.3 积分型余项的泰勒公式 54
8.1.4 高阶原函数 55
8.1.5 斯特林公式 57
习题8.1 58
8.2 定积分在几何学中的应用 59
8.2.1 平面图形的面积 60
8.2.2 旋转体的体积 64
8.2.3 旋转体的侧面积 66
8.2.4 曲线的弧长 69
习题8.2 71
8.3 定积分在物理学中的应用 74
8.3.1 已知质量密度求质量与质心和已知电荷密度求电量 74
8.3.2 由质点构成的曲线对质点的吸引力和带电导线对点电荷的库仑力 77
8.3.3 变力做的功 80
8.3.4 万有引力定律的导出 81
习题8.3 86
第9章 广义积分 88
9.1 无穷积分 88
9.1.1 问题的引出 88
9.1.2 无穷积分的定义 90
9.1.3 无穷积分敛散性的判定 94
习题9.1 101
9.2 瑕积分 104
9.2.1 瑕积分的定义 104
9.2.2 瑕积分敛散性的判定 107
9.2.3 瑕积分与无穷积分的关系 111
习题9.2 112
9.3 些定积分公式的推广 114
习题9.3 122
第10章 无穷级数 124
10.1 无穷级数的基本概念 124
10.1.1 级数问题的提出 124
10.1.2 无穷级数收敛与发散的概念 129
习题10.1 133
10.2 正项级数 135
10.2.1 正项级数的概念及其敛散性准则 135
10.2.2 比较判别法 137
10.2.3 检比法和检根法 141
10.2.4 积分判别法 144
习题10.2 145
10.3 任意项级数 149
习题10.3 157
10.4 级数的代数运算 160
习题10.4 170
10.5 零测集和勒贝格定理 172
习题10.5 177
第11章 函数序列和函数级数 179
11.1 函数序列的一致收敛 179
11.1.1 问题的提出 179
11.1.2 函数序列一致收敛的定义 185
11.1.3 一致收敛函数序列的性质 190
习题11.1 195
11.2 魏尔斯特拉斯逼近定理和阿尔采拉阿斯科利定理 196
11.2.1 魏尔斯特拉斯第一逼近定理 197
11.2.2 魏尔斯特拉斯第二逼近定理 201
11.2.3 阿尔采拉-阿斯科利定理 203
习题11.2 207
11.3 函数序列的积分平均收敛 210
11.3.1 p方可积圈数 210
11.3.2 积分平均收敛 213
习题11.3 220
11.4 函数级数 222
11.4.1 函数级数的逐点收敛和一致收敛 222
11.4.2 一致收敛的判别法 224
11.4.3 和函数的性质 229
11.4.4 函数级数的积分平均收敛 231
习题11.4 234
第12章 幂级数 237
12.1 幂级数的收敛区域 237
习题12.1 243
12.2 和函数的性质 244
习题12.2 251
12.3 函数的幂级数展开 253
12.3.1 函数展开成幂级数的必要条件和充分条件 254
12.3.2 基本初等函数的幂级数展开 257
12.3.3 解析函数 261
习题12.3 265
第13章 傅里叶级数 268
13.1 函数的傅里叶级数 269
习题13.1 277
13.2 傅里叶级数收敛的条件 279
13.2.1 部分和的表示式 279
13.2.2 黎曼局部化原理 281
13.2.3 迪尼利普希茨收敛定理 286
13.2.4 狄利克雷收敛定理 290
习题13.2 294
13.3 傅里叶级数的性质 296
13.3.1 由函数的光滑性推断傅里叶系数的衰减性 296
13.3.2 由傅里叶系数的衰减性推断函数的光滑性 298
习题13.3 303
13.4 傅里叶级数的积分平均收敛 305
习题13.4 311
13.5 有限区间上的傅里叶展开 313
习题13.5 322
综合习题 324
参考文献 338

前言/序言

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12，渐进展开、渐进幂级数、Laplace积分、Laplace积分的局部化原理、Watson引理、Laplace积分的渐进展开、稳定相位法。

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7，含参变量积分的定义、含参变量积分的连续性与可微性、含参变量积分的积分、含参变量广义积分的一致收敛性、含参变量广义积分的一致收敛的判别法、反常积分号下取极限、含参变量广义积分的连续性与可微性、含参变量广义积分的积分。

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4，流形的定义、带边与无边流形、光滑流形、光滑映射、可定向与不可定向流形、曲面边界定向的协调性、第二可数公理、单位分解。

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4，作为有向体积的行列式、行列式的基本性质、子式、余子式、行列式的展开。

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6，二元运算、半群、幺半群、群、子群、循环群、群的同构、Cayley定理、群的同态与自同态、环、同余类、剩余类环、环的同态、整环、域、域的同构与自同构、域的特征、素域、复数域、本原根、复数的几何、交比。

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1，R^n中的Jordan测度、多重Riemann积分、Riemann可积性、Lebesgue定理、上积分与下积分、Darboux可积性定理、容许集、集合上的Riemann积分、多重Riemann积分的可加性、多重Riemann积分的估计。

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8，Lebesgue可测函数、可测性与可积性之间的关系、Lebesgue积分号下取极限、交换积分顺序、Lebesgue测度、Lebesgue可测集、平方可积函数集、Riesz-Fischer定理。

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1，代数学简史、线性方程组、auss消去法、低阶行列式、集合与映射、二元关系、等价关系、商映射、偏序集。

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