微分方程数值解法（第2版）/21世纪高等学校教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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戴嘉尊，邱建贤 编

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• 微分方程
• 数值解法
• 数学
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• 计算方法
• 数学模型

出版社： 东南大学出版社

ISBN：9787564137410

版次：2

商品编码：11092889

包装：平装

开本：16开

出版时间：2012-08-01

页数：237

编辑推荐

《21世纪高等学校教材：微分方程数值解法（第2版）》系统全面介绍了微分方程数值解法相关知识，《21世纪高等学校教材：微分方程数值解法（第2版）》适合于数学类本科生“微分方程数值解法”课程教学之用，也适用于工科研究生及计算数学与应用数学教学与科研人员，并可供有关工程技术人员参考。

内容简介

《21世纪高等学校教材：微分方程数值解法（第2版）》包括常微分方程数值解法、抛物型方程的差分方法、椭圆型方程的差分方法、双曲型方程的差分方法、非线性双曲型守恒律方程的差分方法、有限元法简介等共6章，每章后面附有一定数量的习题供练习之用。
《21世纪高等学校教材：微分方程数值解法（第2版）》适合于数学类本科生“微分方程数值解法”课程教学之用，也适用于工科研究生及计算数学与应用数学教学与科研人员，并可供有关工程技术人员参考。

目录

1 常微分方程初值问题数值解法
1.1 引言
1.2 欧拉法(Euler方法)
1.2.1 欧拉方法
1.2.2 收敛性研究
1.2.3 稳定性研究
1.3 梯形法、隐式格式的迭代计算
1.4 一般单步法、Runge-Kutta格式
1.4.1 一种构造单步法的方法——泰勒级数法
1.4.2 一般单步法基本理论
1.4.3 Runge-Kutta格式
1.4.4 误差控制和Runge-Kutta-Fehlberg法
1.5 线性多步法
1.6 误差的事后估计法、步长的自动选择
1.7 高阶常微分方程(组)的数值方法
习题1

2 抛物型方程的差分方法
2.1 差分格式建立的基础
2.2 显式差分格式
2.2.1 维常系数热传导方程的古典显式格式
2.2.2 系数依赖于X的一维热传导方程的显式格式
2.3 隐式差分格式
2.3.1 古典隐式格式
2.3.2 Crank-Nicolson隐式格式
2.3.3 加权六点隐式格式
2.3.4 系数依赖于于x,t的一维热传导方程的一个隐式格式的推导
2.4 解三对角形方程组的追赶法
2.5 差分格式的稳定性和收敛性
2.5.1 问题的提出
2.5.2 一图方法
2.5.3 稳定性定义、稳定性分析的矩阵方法
2.5.4 Gerschgorin定理及其在分析差分格式稳定性中的应用
2.5.5 稳定性分析的Fourier级数法(Von Neumann方法)
2.5.6 低阶项对稳定性的影响
2.5.7 差分格式的收敛性
2.5.8 相容逼近、Lax等价性定理
2.6 非线性抛物型方程的差分解法举例
2.6.1 Richtmyer线性方程
2.6.2 Less三层差分格式
2.6.3 算例
2.7 二维抛物型方程的差分格式
2.7.1 二维抛物型方程显式差分格式
2.7.2 隐式差分格式
2.7.3 差分格式的稳定性分析
2.8 交替方向的隐式差分格式(ADI格式)
习题2

3 椭圆型方程的差分方法
3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟
3.2 Neumann边值问题的差分模拟
3.3 混合边值条件
3.4 非矩形区域
3.5 极坐标形式的差分格式
3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析
3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究
3.8 椭圆型差分方程的迭代解法
3.8.1 迭代法的基本理论
3.8.2 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代
3.8.3 椭圆型方程差分格式的Jacobi迭代和Guass-Seidel迭代收敛速度计算举例
3.8.4 超松弛迭代法
3.8.4.1 逐次超松弛迭代法
3.8.4.2 相容次序、性质(A)和最佳松弛因子的确定
3.8.4.3 收敛速度
3.9 多重网格法简介
3.9.1 一个简单的例子、MG方法基本思想
3.9.2 二重网格法、V循环
3.9.3 多重网格法
习题3

4 双曲型方程的差分方法
4.1 一阶拟线性双曲线方程的特征线法
4.1.1 一阶线性方程、特征线及Cauchy问题的解法
4.1.2 一阶拟线性方程Cauchy问题的特征线法
4.2 一阶拟线性双曲型方程组的特征线法
4.2.1 一阶拟线性双曲型方程组、特征、正规形式
4.2.2 举例
4.2.3 两个未知函数情形的特征线法
4.3 一阶双曲线方程的差分格式
4.3.1 Lax--Friedrichs格式
4.3.2 Courant-Isaacsorr-Rees格式
4.3.3 Leap-Frog格式(蛙跳格式)
4.3.4 Lax-Wendroff格式
4.3.5 Crank-Nicolson格式
4.4 一阶双曲线方程组的差分格式
4.4.1 Lax-Friedrichs格式
4.4.2 Courant-Isaacson-Rees格式
4.4.3 举例Courant-Friedrichs-Lewy条件
4.5 二阶线性双曲型方程的差分方法
4.5.1 显式差分格式
4.5.2 隐式差分格式
习题4

5 非线性双曲型守恒律方程的差分方法
5.1 非线性双曲型守恒律简介、弱解的定义
5.2 守恒型差分格式、Lax-Wendroff定理
5.3 单调差分格式
5.4 TVD差分格式
5.5 对一维方程组的推广
习题5

6 有限元方法简介
6.1 二阶常微分方程边值问题的有限元解法
参考文献

前言/序言

深入探索现代计算科学的基石：经典数值分析与计算方法 本书聚焦于现代科学与工程领域不可或缺的理论核心——数值分析与计算方法，系统地阐述了如何利用计算机高效、精确地解决传统解析方法难以处理的复杂数学问题。 它不仅仅是求解代数方程组、微分方程的“工具箱”，更是理解算法效率、误差控制以及计算可行性的理论基础。本书结构严谨，内容全面，旨在为读者构建一个扎实而深入的数值计算知识体系。 --- 第一部分：误差分析与函数逼近的理论基石 本部分是理解所有后续数值算法稳定性和准确性的前提。我们首先从浮点数的表示与基本运算的误差分析入手。深入讨论了计算机如何存储和处理实数，并详细剖析了截断误差（Truncation Error）与舍入误差（Round-off Error）的来源、量化方法以及在迭代过程中的积累效应。理解误差的本质是设计鲁棒算法的第一步。 紧接着，我们转入插值理论。插值是数据拟合和函数近似的核心技术。我们不仅详细讲解了最基础的牛顿插值法和拉格朗日插值法，分析了它们在节点选择上的局限性，更重要的是，系统地引入了分段插值的概念，特别是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）。样条插值因其优良的连续性和局部控制性，在数据拟合和图形学中占据核心地位。我们将推导三次样条的边界条件，并将其转化为一个线性代数问题来求解。此外，我们还将探讨最佳一致逼近的基本思想，引入切比雪夫多项式在函数逼近中的作用。 第二部分：线性代数方程组的数值求解 线性方程组是科学计算中最常见的问题类型。本部分将彻底剖析求解 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的各种数值策略。 直接法部分，我们详细分析了高斯消元法的原理、步骤及其计算复杂度。在此基础上，重点讨论了提升稳定性的关键技术——主元选择（Pivoting），包括部分主元和完全主元策略。随后，我们将这些消元过程转化为矩阵的分解形式，深入研究LU分解及其变种（如Doolittle和Crout分解），并阐释其在求解多个右端项向量时的效率优势。对于对称正定矩阵，Cholesky分解因其高效和保证正定性而被重点讨论。 迭代法是处理大型、稀疏线性系统的核心手段。我们从理论上推导了雅可比迭代法（Jacobi）和高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel）的收敛条件和速率分析。为了加速收敛，我们引入了更强大的迭代法，如SOR（Successive Over-Relaxation），并探讨了最优松弛参数的选择。最后，我们将介绍处理超大规模问题的现代方法，如共轭梯度法（CG）和GMRES，它们是现代有限元和有限差分方法求解的幕后功臣。 第三部分：非线性方程的求解 寻找函数的零点（即求解 $f(x) = 0$）是数值分析的另一大分支。 本部分从最直观的区间套用法（如二分法）开始，分析其可靠性但收敛速度慢的特点。随后，我们将聚焦于更高效的方法：牛顿法（Newton's Method）。我们将详细分析牛顿法的局部二次收敛性，同时深入探讨其对初始猜测值的敏感性以及如何通过信赖域法（Trust Region Methods）或阻尼牛顿法来增强其全局收敛能力。 对于一元函数的求解，我们还将介绍割线法（Secant Method）作为牛顿法的一种改进，它避免了计算导数。对于多维非线性方程组 $mathbf{F}(mathbf{x}) = mathbf{0}$，本书将介绍多维牛顿法，并讨论其在实际应用中如何结合线搜索（Line Search）技术来确保每一步迭代都朝着解的方向移动。 第四部分：常微分方程的数值积分（ODE Solvers） 常微分方程（ODE）是描述动态系统的核心数学工具。本部分致力于研究如何使用离散化的方法来近似求解初值问题 $frac{dy}{dt} = f(t, y), y(t_0) = y_0$。 我们从最基础的欧拉法（Euler's Method）入手，分析其一阶精度和稳定性限制。接着，系统性地介绍高阶的单步法，特别是龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法族，其中四阶RK法因其实用性和精度平衡而得到详尽的推导和应用实例。 为了处理具有刚性（Stiffness）的系统，单步法往往效率低下。因此，本书将重点引入多步法，包括Adams-Bashforth法（显式）和Adams-Moulton法（隐式）。隐式方法虽然每一步都需要求解一个代数方程，但其在处理刚性问题时具有天然的优势。我们将深入探讨向后差分公式（BDF）及其稳定性区域，这是工程软件中求解刚性ODE的标准配置。此外，我们还将讨论局部截断误差的估计和步长自动控制的策略，以确保在满足给定误差容限的同时实现最高效的计算。 第五部分：偏微分方程的数值方法导论 偏微分方程（PDE）是描述场、流体和结构行为的基础。本部分提供对主流数值方法的概述和入门。 我们将重点讲解两种最常用的离散化技术： 1. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）：我们将推导一维和二维拉普拉斯方程的离散形式，讨论中心差分、前向差分和后向差分公式的精度和稳定性（例如，CFL条件）。 2. 有限元法（Finite Element Method, FEM）基础：虽然FEM的完整理论非常庞大，但本书将从变分原理出发，简要介绍其核心思想——将微分问题转化为弱形式，并通过基函数（形函数）在局部区域进行加权积分，从而将PDE转化为一个大规模的线性代数系统。 本书的最终目标是使读者不仅掌握这些计算方法的“如何做”，更理解其背后的“为什么”，从而能够批判性地选择、应用和设计出适合特定科学或工程挑战的数值算法。

评分☆☆☆☆☆

作为一名正在努力攻克数值分析各个难关的学生，我最近终于入手了这本《微分方程数值解法（第2版）/21世纪高等学校教材》。坦白说，初拿到书的时候，我脑子里闪过的第一个念头就是“这本书看起来…真厚实”。翻开第一页，那种熟悉的、带着点油墨香的纸张触感，以及印刷清晰的文字，都让人觉得踏实。我尤其喜欢它扉页上的那句“献给所有在数学海洋中探索的勇士”，感觉作者团队很有情怀，也确实把这本书定位成了一本能帮助我们这些“勇士”乘风破浪的工具。 这本书的章节安排，我个人觉得非常系统。它不是那种上来就抛出几个算法让你死记硬背的书。而是先从最基础的微分方程概念说起，然后循序渐进地介绍各种数值方法的思想由来，比如欧拉法，感觉就像是作者手把手教你如何从最朴素的想法出发，一步步构建出解决问题的模型。我特别留意到，在介绍每一种方法时，书中不仅给出了严谨的数学推导，还配了不少图示。这些图示太重要了！有时候看公式看得云里雾里，但看到图，立刻就能明白算法的几何意义，直观了很多。比如在讲到收敛性和稳定性的时候，那些关于误差增长的示意图，简直是我的“救命稻草”。而且，书里的例题也很有代表性，都是那种既能考察核心知识点，又能让我们上手练习的。我感觉，认真学完这本书，我对微分方程的理解，绝对会提升一个档次。

评分☆☆☆☆☆

说实话，在接触这本《微分方程数值解法（第2版）/21世纪高等学校教材》之前，我对数值解法的理解还停留在比较零散的层面。但是，这本书的出现，就像是给我打通了任督二脉。它在结构上安排得非常合理，从基础的一阶常微分方程入手，逐步过渡到高阶方程，再到偏微分方程。每个章节都循序渐进，不会让人感到一下子接受不了。 我特别喜欢书中在讲解每一个数值方法时，都非常注重其理论基础的阐述。例如，在介绍各种方法时，都会详细地给出其误差分析，包括截断误差和局部误差，以及全局误差的估计。这一点对于我来说至关重要，因为它让我能够理解不同方法的精度之间的差异，以及在实际应用中如何控制误差。而且，书中还对数值方法的稳定性和收敛性进行了深入的讨论，这让我对这些方法的适用范围有了更清晰的认识。我还在书中看到了一些关于刚性方程组的处理方法，以及一些隐式方法的介绍，这都让我觉得这本书的内容非常丰富，而且具有一定的深度。总而言之，这本书的编写质量很高，内容翔实，理论与实践相结合，是学习微分方程数值解法的绝佳选择。

评分☆☆☆☆☆

这本《微分方程数值解法（第2版）/21世纪高等学校教材》，给我最深的印象就是它的“实用性”。我之前在学习一些更复杂的偏微分方程时，总感觉理论和实际操作之间隔着一层纱。但这本书，从目录上看，就囊括了很多实际应用中非常常见的问题类型，比如一些热传导、流体力学相关的例子，让我觉得学到的知识真的能派上用场。我特别关注了书中关于有限差分法和有限元法的介绍，虽然这部分内容的确有一定深度，但作者的讲解方式，我认为是很循序渐进的。他不是直接给出一堆公式，而是从离散化的思想开始，一步步引导读者去理解如何将连续的问题转化为计算机可以处理的离散方程组。而且，书中在讨论不同方法的优缺点时，也常常会结合实际应用的场景来分析，比如某种方法在处理边界条件时更方便，或者在精度和计算量上有什么权衡。这对于我这种想将理论知识转化为解决实际问题的能力的学生来说，非常有价值。 我发现，这本书在理论的严谨性和工程的可操作性之间找到了一个很好的平衡点。它并没有因为追求理论的完美而忽略了实际应用的需求。书中对各种方法的误差分析也相当到位，这让我清楚地知道，在不同的情况下，应该选择哪种方法才能保证结果的精度，以及如何评估计算结果的可靠性。另外，我注意到书中还涉及到了一些比较前沿的数值方法，虽然我目前还不是特别理解，但光是看到这些内容，就让我对这个领域有了更广阔的视野，知道还有很多可以深入研究的方向。总而言之，这本书给我一种“学完就能用”的感觉，这对于一名学习者来说，是非常宝贵的。

评分☆☆☆☆☆

我最近在学习过程中，发现很多工程和科学领域的问题，最终都可以归结为求解微分方程。然而，很多时候这些微分方程的解析解难以获得，这就凸显了数值解法的重要性。这本《微分方程数值解法（第2版）/21世纪高等学校教材》，正是我寻找的这样一本能够系统梳理和讲解这些方法的书籍。它最让我印象深刻的是，书中对各种数值方法的分类非常清晰，从最简单的欧拉方法，到更复杂的龙格-库塔方法，再到求解偏微分方程的有限差分法，都有详尽的介绍。 我特别喜欢书中对于每一种方法的“由来”的解释，它不是直接给出公式，而是先从基本概念讲起，然后逐步推导。这让我能够理解算法背后的思想，而不是死记硬背。而且，书中对每种方法的优缺点都有客观的评价，并且经常会与其他的数值方法进行对比分析。这对我来说非常有帮助，能够让我根据问题的特点选择最适合的求解方法。我还在书中看到了一些关于如何提高数值解法精度的讨论，比如自适应步长控制等，这让我觉得这本书的内容非常实用，能够直接应用于实际的科学计算问题。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学建模和科学计算充满好奇的学生，我一直都在寻找一本能够系统性介绍微分方程数值解法的书籍。这本《微分方程数值解法（第2版）/21世纪高等学校教材》，可以说是满足了我大部分的期待。我尤其赞赏书中在讲解不同数值方法时，都尽可能地给出了清晰的算法描述和详细的推导过程。这对于我理解每种方法的内在逻辑至关重要。我曾经在阅读其他资料时，常常会因为跳过一些关键的推导步骤而感到困惑，但在这本书中，我很少遇到这种情况。 更让我惊喜的是，这本书不仅仅停留在介绍算法的层面，它还深入探讨了这些算法的特性，比如收敛速度、稳定性和精度等。对于我来说，理解这些特性，能够帮助我做出更明智的选择，从而更好地解决实际问题。书中关于如何选择合适的步长、如何处理刚性方程组的讨论，都非常有启发性。我感觉作者团队在编写这本书时，充分考虑到了学生在学习过程中可能遇到的难点，并提供了相应的解决方案。而且，书中还穿插了一些历史背景的介绍，让我了解到这些数值方法的起源和发展，这在一定程度上增加了学习的趣味性。总的来说，这是一本既有深度又有广度的教材，非常适合想要深入理解微分方程数值解法理论和实践的学生。

评分☆☆☆☆☆

书还不错，详细，详细

评分☆☆☆☆☆

好书

评分☆☆☆☆☆

书还不错，详细，详细

评分☆☆☆☆☆

喜欢，不错，对我作用很大

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