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内容简介

《数学分析经典习题解析》对数学分析的基本概念、基本结论、重要方法及证明、计算技巧进行了归类和总结，对其中重要的内容进行了深入细致、全面的讨论，同时介绍了数学分析教材中不常见到的但同时又非常重要的定理。
《数学分析经典习题解析》收集了大量的数学分析习题，这些习题中的大部分无论其结论，还是证明这些结论的方法都是非常重要的。《数学分析经典习题解析》内容全面系统，由浅入深，重点突出，对提高数学分析的水平和能力都有很大帮助。有部分内容介绍了数学分析在微分方程、复变函数中的应用。

目录

第一章 数学分析基本概念及主要结论
一、数列极限
二、函数的定义
三、函数极限
四、连续函数的定义和基本性质
五、导数及导数的基本性质
六、定积分的定义及积分存在条件
七、数项级数的基本概念和主要结果
八、正项级数的基本概念和主要结果
九、绝对收敛与条件收敛
十、函数项级数
十一、函数项级数的和的性质
十二、幂级数
十三、傅里叶级数
十四、多元函数的极限与连续性
十五、多元函数的导数
十六、高阶偏导数与多元函数的极值
十七、隐函数
十八、重积分
十九、
第一型曲线与曲面积分
二十、
第二型曲线积分
二十一、
第二型曲面积分
二十二、反常积分
二十三、瑕积分
二十四、有限区间上的含参变量积分
二十五、无穷限的含参变量积分

第二章 数列极限

第三章 连续函数
一、连续函数的相关定义和基本性质
二、有关实数的基本性质
三、连续函数的习题

第四章 实数理论的七个基本定理
一、确界存在原理
二、柯西收敛准则
三、区间套原理
四、单调有界原理
五、致密性定理
六、聚点原则
七、有限覆盖定理

第五章 导数
一、导数的基本定义和性质
二、阶的概念
三、常见阶公式
四、基本导数公式
五、关于导数的习题

第六章 方程与不等式

第七章 定积分
一、基本不定积分公式
二、关于定积分的重要定理 可积函数的构造
三、微积分学基本定理 变上限求导公式 分部积分法
四、积分不等式 积分中值定理
五、关于定积分的习题

第八章 级数
一、数项级数的收敛定理
二、正项级数的收敛性判别定理
三、级数收敛的相关不等式泰勒公式
四、函数项级数的一致收敛性
五、函数项级数的一致收敛性判别定理
六、函数项级数的和的性质
七、幂级数
八、傅里叶级数
九、关于级数的习题

第九章 多元函数的连续性和偏导数
一、多元函数的极限和连续性定义及主要定理
二、多元函数的偏导数 中值定理隐函数存在定理
三、常用结论
四、多元函数的连续性及偏导数的习题

第十章 重积分
第十一章 曲线、曲面积分
第十二章 反常积分和瑕积分
一、反常积分的基本定义及收敛判别定理
二、瑕积分基本定义及收敛判别定理
三、常见的收敛结论
四、关于反常积分和瑕积分的习题

第十三章 含参变量的积分
一、有限区间上含参变量的积分的性质
二、无穷区间上含参变量的积分的一致收敛性
三、含参变量的积分的习题

精彩书摘

　　（4）周期函数 设函数y=f（x）在实直线上有定义，T0是一正数，若对任意x∈R，有 f（x+T0）=f（x），则称y=f（x）为以T0为周期的周期函数，T0称为y=f（x）的一个周期，如果存在T1>0是使上式成立的最小正数，则称T1为y=f（x）的最小正周期。（5）复合函数设（D，f），（U，g）是两个函数，且R=f（D）∈U，由此对任意的x∈D，有惟一确定y=f（x）∈R∈U与之对应，于是对此y∈U，有惟一确定的x=g（y）与之对应，这就得到新的函数x=g（f（x）），x∈D称为g，f的复合函数。复合函数是数学分析中比较重要的函数概念，有关初等函数的定义及求导运算和积分运算都涉及了复合函数。（6）凸函数 （a）设y=f（x）在区间I上有定义，若对于任意x，y∈I，t∈（0，1）有 f（tx+（1—t）y）≤tf（x）+（1—t）f（y），则称y=f（x）为区间I上的凸函数或称其在区间I上是凸的。若不等式严格成立，则称y=f（x）为区间I上的严格凸函数或称其在区间I上是严格凸的。凸函数的另一表达形式是对于任意的x f（y）—f（x）≤f（z）—f（x）／z—x≤f（z）—f（y）/z—y （b）若对于任意x，y∈I，t∈（0，1）有 f（tx+（1—t）y）≥tf（x）+（1—t）f（y），则称y=f（x）为区间I上的凹函数或称其在区间I上是凹的。若不等式严格成立，则称f（x）为区间I上的严格凹函数或称其在区间I上是严格凹的。凹函数的另一表达形式是对于任意的x f（y）—f（x）/y—x≥f（z）—f（x）／z—x≥f（z）—f（y）/z—y 凸函数是数学分析中相当重要的函数概念，有关凸函数的性质的研究是数学分析中重要的问题之一，不但其主要结果在数学和其他学科得到了广泛的应用，而且数学分析中相当多的重要不等式就是利用凸函数的性质得到的。（7）函数的确界与振幅 设y=f（x）是有界函数。四、连续函数的定义和基本性质 （1）连续函数的定义 设函数f（x）在区间I上有定义，x0∈I，若则称f（x）在x=x0处连续，若对任意x∈I，f（x）都连续，则称f（x）在I上连续。（2）有界闭区间上的最大和最小值定理。

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4，二阶线性偏微分方程标准型的存在性、二阶线性偏微分方程的分类、偏微分方程问题提法的适定性、反射法、依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥、能量不等式、波动方程Cauchy问题解的唯一性。

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10，Laplace方程的基本解、调和函数、广义调和函数、Green公式、热流定理、球面平均值定理、极值原理、Hopf-Oleinik定理、Laplace方程的Dirichlet问题解的唯一性、Dirichlet原理。

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4，Laplace方程Cauchy问题可解性的充要条件、调和函数族的紧性定理、Newton势、单层势、双层势、对数势、亚椭圆算子、Newton势的密度、Lyapunov曲面。

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6，波动方程混合问题解的唯一性、波动方程混合问题解的稳定性、Holder不等式、Friedrichs不等式。

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1，偏微分方程学科的发展、数学物理方程的导出、第一边值问题、第二边值问题、Dirichlet问题、第三边值问题。

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偏微分方程-2

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