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☆☆☆☆☆

王连笑 著

图书标签:

• 组合数学
• 二项式系数
• 排列组合
• 数学竞赛
• 高中数学
• 奥数
• 计数原理
• 组合恒等式
• 数学推导
• 算法

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560335117

版次：1

商品编码：11001032

包装：平装

丛书名： 数学统计学系列

开本：16开

出版时间：2012-03-01

用纸：胶版纸

页数：155

字数：200000

正文语种：中文

内容简介

《组合数浅谈》是一本介绍组合数的书。高中阶段已经学习过排列与组合的基础知识，对于排列与组合有了初步的了解，但是还有许多问题，例如，组合恒等式如何证明？怎样利用组合数解决一些数列的有关问题？怎样确定组合数的奇偶性？怎样利用组合数进行因式分解？怎样利用组合数研究不定方程的整数解的个数？怎样利用组合数计算空间分割的数目等。这些问题大家接触的并不多，但是每个中学生又都能解决，这本书就要对这样一些与组合数有关的数学问题做一些粗浅的介绍，以引起大家对组合数研究的兴趣。

目录

第一章 排列数与组合数
练习一
第二章 有限制条件的排列与组合问题
练习二
第三章 容斥原理与装错信封问题
练习三
第四章 路径计数问题
练习四
第五章 一次不定方程的整数解的个数
练习五
第六章 组合恒等式的证明
练习六
第七章 组合数与数列
练习七
第八章 组合数的因式分解
练习八
第九章 组合数与空间的分割
练习九
第十章 组合数的推广
练习十
第十一章 重复排列与重复组合
练习十一
第十二章 高考中的组合计数问题
练习十二
第十三章 数学竞赛中的组合计数问题
练习十三
习题答案或提示
编辑手记

前言/序言

好的，这是一份关于《组合数浅谈》之外的其他书籍的详细简介，内容将侧重于介绍组合数学领域中不同分支的经典著作或热门主题，力求内容翔实且贴近专业读者的阅读体验。 --- 数学领域经典与前沿著作导览（非《组合数浅谈》相关） 本导览旨在为对离散数学、高等代数、概率论以及理论计算机科学等领域感兴趣的读者，提供一系列具有里程碑意义或代表当前研究热点的学术著作概述。这些书籍涵盖了从基础理论的深入探讨到高级应用领域的拓展，与专注于组合数基础介绍的《组合数浅谈》形成鲜明对比。 一、 图论的基石与应用：深入解析网络结构 推荐书籍：《图论导引与算法实现》（A Concise Introduction to Graph Theory and Algorithmic Implementation） 本书并非简单地罗列图论的基本定义，而是将图论作为研究离散结构的核心工具，深度剖析其在现实世界中的应用。 核心内容聚焦： 1. 基础结构与拓扑性质的严谨论证： 首先，本书在欧拉和哈密顿路径的经典讨论之后，迅速过渡到更抽象的代数图论基础，如群论在图的对称性分析中的应用，探讨了矩阵表示法（邻接矩阵、关联矩阵）如何揭示图的内在代数结构。 2. 连通性与网络流的优化： 书中花费大量篇幅详细阐述了Menger定理及其在网络可靠性分析中的地位。重点分析了Max-Flow Min-Cut定理的各种证明方法（如Ford-Fulkerson方法及其基于预流提升的优化版本），并辅以实际的运输网络优化案例。 3. 平面图与嵌入： 对于平面图的讨论，本书不仅限于Kuratowski定理，更深入探讨了图的嵌入理论，包括对数螺旋图和三角剖分的性质。对于Kuratowski子图的识别算法进行了复杂度分析。 4. 图的着色问题的高级分析： 重点在于着色多项式的计算复杂性，介绍布鲁克定理（Brooks' Theorem）的精妙之处，并讨论了不完美图（Perfect Graphs）类的性质，特别是完美图猜想（现已证明）的背景和意义。 5. 随机图模型的应用： 引入Erdős–Rényi模型（$G(n, p)$和$G(n, M)$）的阈值现象（Threshold Phenomena），分析巨型图的连通性、团（Cliques）的生成概率，以及它们在社交网络和生物信息学中的初步建模尝试。 本书的特点在于其算法导向和对复杂图类（如可分解图、区间图）的深入挖掘，这远超一般组合数教材的基础范畴。 二、 概率论的严谨推导：从极限到随机过程 推荐书籍：《概率论的测度论基础与大偏差理论》（Measure-Theoretic Foundations of Probability and Large Deviation Theory） 这本书将概率论建立在实分析和测度论的坚实基础上，并聚焦于现代概率论的核心挑战——描述极端事件的行为。 核心内容聚焦： 1. 测度空间的构建与随机变量的严格定义： 详细讲解了$sigma$-代数、波雷尔集、勒贝格测度和随机变量的定义。重点讨论了积分（期望）的严格定义及其与随机变量序列的收敛性的关系。 2. 大数定律的层次： 区别并证明了弱大数定律（WLLN）和强大数定律（SLLN）。特别是对Kolmogorov不等式和SLLN的证明过程，展示了处理依分布独立随机变量序列收敛性的技术细节。 3. 中心极限定理的推广： 不仅限于经典的Lindeberg-Feller CLT，本书更深入探讨了特征函数法，并引入了更广泛的中心极限定理（如Martingale差分序列的CLT）。 4. 大偏差理论的入门与应用： 这是本书的重头戏。它引入了Cramér定理，详细解释了速率函数（Rate Function）的性质，并展示了如何利用指数加速方法计算小概率事件的渐近行为。讨论了Sanov定理在信息论和统计推断中的应用。 5. 马尔可夫链与鞅论基础： 简要介绍了马尔可夫链的平稳分布和遍历性，并为鞅论（Martingales）的讨论奠定基础，这是处理时间序列概率问题的关键工具。 本书的深度和对测度论的依赖性，明确区分了其与仅涉及离散概率或组合计数的入门读物的不同。 三、 离散结构与计算复杂性交叉领域 推荐书籍：《计算组合学与NP完全性导论》（Computational Combinatorics and Introduction to NP-Completeness） 此书探讨了组合结构在理论计算机科学中的地位，特别是它们在确定问题可解性边界时的作用。 核心内容聚焦： 1. 可满足性问题的核心： 从布尔逻辑出发，本书系统地介绍了SAT问题的形式化，并详细分析了Cook-Levin定理的构造性证明，奠定了NP完全性的理论基石。 2. 经典NP完全问题的规约链： 大量篇幅用于展示关键的规约步骤，例如3-SAT到子集和问题（Subset Sum）、图着色到3D匹配（3DM），以及汉密尔顿回路到旅行商问题（TSP）的近似解性质。 3. 对策论与博弈的组合结构： 探讨了组合博弈（Combinatorial Games），如Nim和Grundy值，以及它们与Sprague-Grundy定理的关系。这些分析依赖于对可能状态空间的枚举和分析，而非纯粹的计数技巧。 4. 集合论基础与基数理论： 深入探讨了Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）的基本公理，以及超越有限集合的阿列夫数（Aleph Numbers）和连续统势（Cardinality of the Continuum）的性质，这涉及康托尔对角线论证的更抽象应用。 5. 算法设计范式与对策： 介绍如贪婪算法、分治策略、动态规划在解决组合优化问题时的效率比较，并引入近似算法的概念，讨论如何为那些已知为NP-Hard的问题设计可证明性能边界的求解器。 本书的重点在于“计算”的难度而非“计数”的数量，强调组合结构在判定问题边界上的作用，与组合数本身的研究范畴存在显著区别。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书的第一感觉，就是它的质感非常棒。封面设计简洁大方，触感也很好，这让我对里面的内容充满了期待。我一直在寻找能够拓展我思维边界的书籍，而这本书似乎正是我想找的那种。它没有那些华丽的辞藻，也没有过于复杂的排版，一切都显得那么自然而然。我希望这本书能够像一个宝藏，里面蕴藏着我所期待的知识和见解。我喜欢那种能够让我静下心来，慢慢品味的书籍，而这本书给我的感觉就是如此。我期待着它能够以一种独特的方式，为我打开一扇新的大门，让我能够看到更广阔的世界。我希望在阅读的过程中，能够感受到作者的用心，并且从中获得一些深刻的启发。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就很有意思，那种淡雅的色彩搭配，再加上中间简洁而又富有内涵的图案，第一眼就吸引了我。拿到手里，纸张的质感也相当不错，翻阅起来手感很舒适，这对于我这种喜欢沉浸在书本里的人来说，是加分项。我一直在寻找一些能够拓展思维，又不会过于枯燥的读物，而这本书给我的感觉就是，它能做到这一点。从目录上看，涉及的方面似乎挺广的，不知道内容上是否能给我带来惊喜。我对数学方面的内容其实并没有特别深入的研究，所以这本书的“浅谈”二字对我来说特别友好，希望能用一种我能理解的方式，去领略一些之前觉得高深莫测的概念。包装也很好，确保了书本在运输过程中不会有任何损伤，这点很赞。我期待着能够在这本书里找到一些新的灵感，或者仅仅是享受一段平静的阅读时光，感受文字的魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，仿佛是一股清流，涤荡了我最近有些疲惫的精神世界。我平时的工作需要大量地处理信息，有时候会觉得大脑像一台运转过度的机器，急需一些能够重新梳理、激活的东西。这本书的装帧风格，那种低调而又不失格调的设计，恰好符合了我对“宁静”和“深度”的追求。我尤其欣赏那种不落俗套的排版，字里行间都透露着一种精心打磨的痕迹，让人在阅读时不易产生视觉疲劳。我尝试着翻阅了几页，文字的表述方式非常流畅，仿佛作者在娓娓道来，而不是生硬地灌输知识。我希望能在这本书中找到一些关于逻辑、结构或者模式的思考方式，或许能为我的工作带来一些新的视角和方法。它不仅仅是一本书，更像是一位善于引导的朋友，能带我探索未知的领域，并在这个过程中，让我感受到学习的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面，给我一种回归本源的感觉，那种素净的色调，以及恰到好处的留白，都透露着一种沉稳的气质。我最近正在寻找能够帮助我梳理思维、理清思路的书籍，而这本书的风格，恰好与我的需求不谋而合。我希望它能提供一种全新的视角，让我能够以更清晰、更有条理的方式去理解一些抽象的概念。我喜欢那种能够引发深度思考的内容，而不是仅仅停留在表面的讲解。这本书的“浅谈”二字，让我觉得它不会过于晦涩难懂，而是能够用一种比较平易近人的方式，去阐述一些可能比较复杂的主题。我期待着在阅读过程中，能够感受到知识的魅力，并且从中汲取到一些有用的养分，来充实我的精神世界。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的期待，很大程度上源于它那略带神秘感的书名。当我在书店里看到它的时候，立刻就被吸引住了。那种简洁的命名方式，反而激起了我的好奇心，让人不禁想要一探究竟，看看它到底“谈”了些什么“组合数”。书的整体感觉非常沉静，没有那些浮华的宣传语，也没有过于花哨的插图，一切都显得那么朴实而有力量。我希望这本书能够像一位经验丰富的引路人，带领我走进一个我未曾涉足过的领域，用一种引人入胜的方式，讲解那些看似复杂的问题。我对于这种能够激发我思考、锻炼我逻辑思维的书籍，总是抱有特别的兴趣。我期待着它能提供给我一些全新的观点，或者是一些巧妙的解题思路，让我在阅读的同时，也能有所收获。

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

容斥原理与装错信封问题 练X习六D 第五章 组合数与数列 有限制条件的排列AI与组合问题 练习一 一次不定方程的整数解的个数 练习六 练习一Q Q一次不定方程的整数解的个数 练习十二 第八r章 组合数的因式分解 练习五 数学竞赛中的组合w计数问题 第十章 练习六 高考中的组合计数问题 数学竞赛中的组合计数问题 第八章 练习十三 练K习三 练习四 练习六 练N习七 第O二章 练习二 练习五 路径计数问题 第R三章 U重复排列与重复W组合

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好

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容斥原理与装错信封问题 练X习六D 第五章 组合数与数列 有限制条件的排列AI与组合问题 练习一 一次不定方程的整数解的个数 练习六 练习一Q Q一次不定方程的整数解的个数 练习十二 第八r章 组合数的因式分解 练习五 数学竞赛中的组合w计数问题 第十章 练习六 高考中的组合计数问题 数学竞赛中的组合计数问题 第八章 练习十三 练K习三 练习四 练习六 练N习七 第O二章 练习二 练习五 路径计数问题 第R三章 U重复排列与重复W组合