黎曼-芬斯勒幾何基礎 epub pdf mobi txt 電子書 下載 2024

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內容簡介

《黎曼·芬斯勒幾何基礎》是學習黎曼-芬斯勒幾何（簡稱芬斯勒幾何）的入門教材。全書共十章，作者以較大的篇幅，即前五章介紹瞭芬斯勒流形、閔可夫斯基空間（即芬斯勒流形的切空間）上的幾何量、陳聯絡，以及共變微分和第二類幾何量、黎曼幾何不變量和弧長的變分等基本知識和工具。在有瞭上述寬廣而堅實的基礎以後，論述芬斯勒幾何的核心問題，即射影球叢的幾何、三類幾何不變量的關係、具有標量麯率的芬斯勒流形、從芬斯勒流形齣發的調和映射、局部射影平坦和非局部射影平坦的芬斯勒度量等。它們既是當前十分活躍的研究領域，也是作者研究成果的領域之一，含有作者獨到的見解。《黎曼·芬斯勒幾何基礎》每章內都附有一定數量的習題，書末附有習題解答和提示，便於讀者深入學習或自學。
《黎曼·芬斯勒幾何基礎》可作為綜閤性大學、師範院校數學係與物理係高年級本科生和研究生的教材或教學參考書，也可供科研院所從事數學和物理學等相關學科科研人員閱讀。

作者簡介

莫小歡，北京大學數學科學學院教授，博士生導師。 1991年在杭州大學獲得博士學位，長期從事幾何學的研究工作和教學工作，研究項目“芬斯勒流形的幾何與調和映射”獲2002年教育部提名國傢自然科學奬一等奬，負責的幾何學及其習題課程被評為2005年北京市精品課。

目錄

第一章 芬斯勒流形
§1.1 曆史迴顧
§1.2 芬斯勒流形
§1.3 基本例子
1.3.1 黎曼流形
1.3.2 閔可夫斯基流形
1.3.3 Randers流形
§1.4 基本不變量
1.4.1 基本張量
1.4.2 希爾伯特形式
§1.5 對稱芬斯勒結構
習題一

第二章 閔可夫斯基空間上的幾何量
§2.1 嘉當張量
§2.2 嘉當形式和Deicke定理
§2.3 畸變
§2.4 芬斯勒子流形
§2.5 子流形的嵌入問題
習題二

第三章 陳聯絡
§3.1 芬斯勒叢上的適當標架場
§3.2 陳聯絡的構造
§3.3 陳聯絡的性質
§3.4 SM的水平子叢和垂直子叢
習題三

第四章 共變微分和第二類幾何量
§4.1 水平共變導數和垂直共變導數
§4.2 沿著測地綫的共變導數
§4.3 Landsberg麯率
§4.4 S麯率
習題四

第五章 黎曼幾何不變量和弧長的變分
§5.1 陳聯絡的麯率
§5.2 旗麯率
§5.3 弧長的第一變分
§5.4 弧長的第二變分
習題五

第六章 射影球叢的幾何
§6.1 射影球叢的聯絡和麯率
§6.2 芬斯勒叢的可積條件
§6.3 芬斯勒叢的極小性
習題六

第七章 三類幾何不變量的內蘊聯係
§7.1 嘉當張量和旗麯率的關係
§7.2 裏奇恒等式
§7.3 S麯率和旗麯率的關係
§7.4 具有常S麯率的芬斯勒流形
習題七

第八章 具有標量麯率的芬斯勒流形
§8.1 具有迷嚮S麯率的芬斯勒流形
§8.2 具有標量麯率的芬斯勒流形的基本方程
§8.3 具有相對迷嚮平均Landsberg麯率的度量
習題八

第九章 從芬斯勒流形齣發的調和映射

第十章 局部射影平坦和非局部射影平坦的芬斯勒度量
習題解答和提示
參考文獻
索引

前言/序言

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　　在Chern聯絡下，麯率被分成兩項，Riemann麯率張量和Chern麯率張量。眾所周知，一個[;n;]維Riemann流形需要[;frac{n(n-1)}{2};]個標量來控製，現在又多瞭Chern麯率，復雜程度可想而知。

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買來收藏之用。，書一般般吧。

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　　根據Cartan formalism，這種幾何可以用活動標架法來研究。可是，由於度量未必是二次型，因此我們不能用正交標架，所以情形就變得睏難。事實上，假如標架是正交的，活動標架導緻的聯絡是度量相容的，解方程組總能使聯絡同時是無撓的，這就是Riemann幾何上所發生的情形。Cartan研究這種幾何時找到一種度量相容的聯絡，可惜它有撓，這使得計算非常麻煩。Chern在1948年的論文裏繼續發揮他用投射把微分形式拉迴到縴維叢的思想（相應的思想用於Gauss-Bonnet公式和Chern示性類，在那裏它們叫超渡（transgression）），在射影化切叢[;PTM;]（或射影球叢[;SM;]）上定義瞭聯絡，由於[;SM;]是一個Riemann流形，因此這個聯絡依然可以用正交標架來定義，從而解方程組就得到一個無撓的聯絡。所不同的是度量相容的要求會被加強，因為犧牲Finsler度量的y依賴性將會導緻一個很大的Riemann流形，從而度量相容要求在這個更大的流形上成立。這導緻這個聯絡盡管無撓，但是度量不相容。現已能夠證明，對於Finsler幾何而言，不存在無撓且度量相容的聯絡。Chern的聯絡極為重要，它展示瞭Finsler幾何怎樣通過Cartan張量的消失退化成Riemann幾何，這個聯絡處理整體問題的能力已經通過Chern和Bao在1993年的一篇論文中得到瞭體現，這篇論文可能是Finsler幾何學領域唯一引用超過100的論文。

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　　這種復雜性導緻的直接影響就是用麯率構造示性類的睏難。由於Pfaff形式隻在正交群下不變，而Chern聯絡是度量不相容的，經典的Chern-Weil理論無法構造Euler示性類，從而Gauss-Bonnet公式這樣的整體結果並不容易建立。Chern從Gauss-Bonnet公式開始處理整體Finsler幾何是容易理解的，這歸功於他早年在這方麵的得意工作。同時也是正確的，因為這個公式是聯係局部的幾何量和整體的拓撲不變量的基本公式，同時，這個公式還是所謂積分幾何的開端。

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　　Finsler度量並不是切空間上的任意一個抽象度量，它需要滿足強凸性，這種性質對於整體結果的建立是必要的。而所謂強凸性的引入甚至可以追溯到Blaschke的《微分幾何》第二捲把經典微分幾何推廣到幺模仿射空間的工作。Blaschke的這個重要工作長期以來被忽略瞭，尤其是對於一些趕時髦的無知青年，他們對幾何學缺乏瞭解。

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