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内容简介

《黎曼·芬斯勒几何基础》是学习黎曼-芬斯勒几何（简称芬斯勒几何）的入门教材。全书共十章，作者以较大的篇幅，即前五章介绍了芬斯勒流形、闵可夫斯基空间（即芬斯勒流形的切空间）上的几何量、陈联络，以及共变微分和第二类几何量、黎曼几何不变量和弧长的变分等基本知识和工具。在有了上述宽广而坚实的基础以后，论述芬斯勒几何的核心问题，即射影球丛的几何、三类几何不变量的关系、具有标量曲率的芬斯勒流形、从芬斯勒流形出发的调和映射、局部射影平坦和非局部射影平坦的芬斯勒度量等。它们既是当前十分活跃的研究领域，也是作者研究成果的领域之一，含有作者独到的见解。《黎曼·芬斯勒几何基础》每章内都附有一定数量的习题，书末附有习题解答和提示，便于读者深入学习或自学。
《黎曼·芬斯勒几何基础》可作为综合性大学、师范院校数学系与物理系高年级本科生和研究生的教材或教学参考书，也可供科研院所从事数学和物理学等相关学科科研人员阅读。

作者简介

莫小欢，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。 1991年在杭州大学获得博士学位，长期从事几何学的研究工作和教学工作，研究项目“芬斯勒流形的几何与调和映射”获2002年教育部提名国家自然科学奖一等奖，负责的几何学及其习题课程被评为2005年北京市精品课。

目录

第一章 芬斯勒流形
§1.1 历史回顾
§1.2 芬斯勒流形
§1.3 基本例子
1.3.1 黎曼流形
1.3.2 闵可夫斯基流形
1.3.3 Randers流形
§1.4 基本不变量
1.4.1 基本张量
1.4.2 希尔伯特形式
§1.5 对称芬斯勒结构
习题一

第二章 闵可夫斯基空间上的几何量
§2.1 嘉当张量
§2.2 嘉当形式和Deicke定理
§2.3 畸变
§2.4 芬斯勒子流形
§2.5 子流形的嵌入问题
习题二

第三章 陈联络
§3.1 芬斯勒丛上的适当标架场
§3.2 陈联络的构造
§3.3 陈联络的性质
§3.4 SM的水平子丛和垂直子丛
习题三

第四章 共变微分和第二类几何量
§4.1 水平共变导数和垂直共变导数
§4.2 沿着测地线的共变导数
§4.3 Landsberg曲率
§4.4 S曲率
习题四

第五章 黎曼几何不变量和弧长的变分
§5.1 陈联络的曲率
§5.2 旗曲率
§5.3 弧长的第一变分
§5.4 弧长的第二变分
习题五

第六章 射影球丛的几何
§6.1 射影球丛的联络和曲率
§6.2 芬斯勒丛的可积条件
§6.3 芬斯勒丛的极小性
习题六

第七章 三类几何不变量的内蕴联系
§7.1 嘉当张量和旗曲率的关系
§7.2 里奇恒等式
§7.3 S曲率和旗曲率的关系
§7.4 具有常S曲率的芬斯勒流形
习题七

第八章 具有标量曲率的芬斯勒流形
§8.1 具有迷向S曲率的芬斯勒流形
§8.2 具有标量曲率的芬斯勒流形的基本方程
§8.3 具有相对迷向平均Landsberg曲率的度量
习题八

第九章 从芬斯勒流形出发的调和映射

第十章 局部射影平坦和非局部射影平坦的芬斯勒度量
习题解答和提示
参考文献
索引

前言/序言

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　　Chern和Bao在1996年成功的把这个公式推广到indcatrix为常数的所有Finsler流形上，从而对于所有Landsberg空间，这个公式成立。不过非平凡的Landsberg空间是很少的，这方面的结果可以参考Bao，Chern和Shen 1997年关于Finsler曲面刚性的工作。对于任意Finsler流形上Gauss-Bonnet公式的证明已经在2002年由Lackey圆满完成。很遗憾的是，对于Finsler流形，这个公式并不能看做Atiyah-Singer指标定理的特例（这里假设Atiyah-Singer的定理能被推广到紧致Finsler流形上），因为Finsler流形上不存在自伴的椭圆微分算子，我们已经知道这一点。不过，Bao和Lackey合作，在1996年证明了Hodge分解定理，这个工作的重要性是不言而喻的。

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《黎曼·芬斯勒几何基础》可作为综合性大学、师范院校数学系与物理黎曼·芬斯勒几何基础》是学习黎曼-芬斯勒几何（简称芬斯勒几何）的入门教材。全书共十章，作者以较大的篇幅，即前五章介绍了芬斯勒流形、闵可夫斯基空间（即芬斯勒流形的切空间）上的几何量、陈联络，以及共变微分和第二类几何量、黎曼几何不变量和弧长的变分等基本知识和工具。在有了上述宽广而坚实的基础以后，论述芬斯勒几何的核心问题，即射影球丛的几何、三类几何不变量的关系、具有标量曲率的芬斯勒流形、从芬斯勒流形出发的调和映射、局部射影平坦和非局部射影平坦的芬斯勒度量等。它们既是当前十分活跃的研究领域，也是作者研究成果的领域之一，含有作者独到的见解。《黎曼·芬斯勒几何基础》每章内都附有一定数量的习题，书末附有习题解答和提示，便于读者深入学习或自学。

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　　根据Cartan formalism，这种几何可以用活动标架法来研究。可是，由于度量未必是二次型，因此我们不能用正交标架，所以情形就变得困难。事实上，假如标架是正交的，活动标架导致的联络是度量相容的，解方程组总能使联络同时是无挠的，这就是Riemann几何上所发生的情形。Cartan研究这种几何时找到一种度量相容的联络，可惜它有挠，这使得计算非常麻烦。Chern在1948年的论文里继续发挥他用投射把微分形式拉回到纤维丛的思想（相应的思想用于Gauss-Bonnet公式和Chern示性类，在那里它们叫超渡（transgression）），在射影化切丛[;PTM;]（或射影球丛[;SM;]）上定义了联络，由于[;SM;]是一个Riemann流形，因此这个联络依然可以用正交标架来定义，从而解方程组就得到一个无挠的联络。所不同的是度量相容的要求会被加强，因为牺牲Finsler度量的y依赖性将会导致一个很大的Riemann流形，从而度量相容要求在这个更大的流形上成立。这导致这个联络尽管无挠，但是度量不相容。现已能够证明，对于Finsler几何而言，不存在无挠且度量相容的联络。Chern的联络极为重要，它展示了Finsler几何怎样通过Cartan张量的消失退化成Riemann几何，这个联络处理整体问题的能力已经通过Chern和Bao在1993年的一篇论文中得到了体现，这篇论文可能是Finsler几何学领域唯一引用超过100的论文。

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　　由于Chern在做1948年的工作时，Cartan的活动标架法并不通行，尤其是对于无知的Finsler几何学家，这些人只能在偏僻之处做点小工作，甚至对于正在呼风唤雨的Chern-Weil理论都一无所知，所以Chern的这篇文章长期以来并不被人了解。Rund在1961年重新发现了Chern定义过的联络，由于Rund的无知，这个用矢量场来定义的联络和Chern的联络的等价性并未被发现。在Anastasiei 1996年的一篇注记中，这种等价性首先被揭示出来，现在这种联络叫作Chern-Rund联络。尽管Chern首先发现了它，这个叫法是有好处的，因为可以和复几何上的Chern联络相区分。在这本书里这种联络依然被称为Chern联络，我想这源于其他两个作者的无知。

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《黎曼·芬斯勒几何基础》可作为综合性大学、师范院校数学系与物理

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　　Chern和Bao在1996年成功的把这个公式推广到indcatrix为常数的所有Finsler流形上，从而对于所有Landsberg空间，这个公式成立。不过非平凡的Landsberg空间是很少的，这方面的结果可以参考Bao，Chern和Shen 1997年关于Finsler曲面刚性的工作。对于任意Finsler流形上Gauss-Bonnet公式的证明已经在2002年由Lackey圆满完成。很遗憾的是，对于Finsler流形，这个公式并不能看做Atiyah-Singer指标定理的特例（这里假设Atiyah-Singer的定理能被推广到紧致Finsler流形上），因为Finsler流形上不存在自伴的椭圆微分算子，我们已经知道这一点。不过，Bao和Lackey合作，在1996年证明了Hodge分解定理，这个工作的重要性是不言而喻的。

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