代數K理論及其應用 [Algebraic K-Theory and Its Applications] epub pdf mobi txt 電子書 下載 2024

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內容簡介

代數K理論在代數拓撲、數論、代數幾何和算子理論等現代數學各個領域中的作用越來越大。這門學科的廣泛性往往使人感覺望而生畏。《代數K理論及其應用》以1990年鞦天Maryland大學講義為基礎，不僅為數學領域研究生提供很好的學習代數K理論的基本知識，也講述其在各個領域的應用。全書結構完整，瞭解代數基礎知識、基本代數拓撲和幾何拓撲知識就可以完全讀懂這《代數K理論及其應用》。該書也涉及到不少代數拓撲、拓撲代數和代數數論的知識。最後一章簡明地介紹瞭循環同調以及其與K理論的關係。目次：環的K0群；環的K1群；範疇的K0、K1群，MilnorK2群；QuillenK理論和+-結構；循環同調及其與K理論的關係。
讀者對象：數學係高年級學生及研究生的教材，也可供高校數學教師及數學研究人員閱讀或參考。

目錄

Preface
Chapter 1. Ko of Rings
1. Defining K0
2. Ko from idempotents
3. Ko of PIDs and local rings
4. Ko of Dedekind domains
5. Relative Ko and excision
6. An application： Swans Theorem and topological K- theory
7. Another application： Euler characteristics and the Wall finiteness obstruction

Chapter 2. K1 of Rings
1. Defining K1
2. K1 of division rings and local rings
3. K1 of PIDs and Dedekind domains
4. Whitehead groups and Whitehead torsion
5. Relative K1 and the exact sequence

Chapter 3. Ko and K1 of Categories， Negative K-Theory
1. Ko and K1 of categories， Go and G1 of rings
2. The Grothendieck and Bass-Heller-Swan Theorems
3. Negative K-theory

Chapter 4. Milnors K2
1. Universal central extensions and H2
Universal central extensions
Homology of groups
2. The Steinberg group
3. Milnors K2
4. Applications of K2
Computing certain relative K1 groups
K2 of fields and number theory
Almost commuting operators
Pseudo-isotopy

Chapter 5. The +-Construction and Quillen K-Theory
1. An introduction to classifying spaces
2. Quillens +-construction and its basic properties
3. A survey of higher K-theory
Products
K-theory of fields and of rings of integers
The Q-construction and results proved with it
Applications

Chapter 6. Cyclic homology and its relation to K-Theory
1. Basics of cyclic homology
Hochschild homology
Cyclic homology
Connections with “non-commutative de Rhom theory”
2. The Chern character
The classical Chern character
The Chern character on Ko
The Chern character on higher K-theory
3. Some applications
Non-vanishing of class groups and Whitehead groups
Idempotents in C*-algebras
Group rings and assembly maps
References
Books and Monographs on Related Areas of Algebra，Analysis， Number Theory， and Topology
Books and Monographs on Algebraic K-Theory
Specialized References
Notational Index
Subject Index

前言/序言

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在1955年，讓-皮埃爾·塞爾已經用具有投射模嚮量叢的類似物來錶述塞爾猜想（Serre's conjecture），該猜想聲稱一個域上多項式環上的投射模是自由模；這個論斷是正確的，但知道20年後纔解決（斯旺定理（Swan'theorem）是這個類比的另一方麵）。1959年，塞爾給齣瞭環的格羅騰迪剋群構造，用它來證明投射模是穩定自由的。這個應用是代數K-理論之開端。

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這個課題最早由亞曆山大·格羅滕迪剋1957年發現，名字取自德文“Klasse”，意為“分類”class ，進而錶述為格羅滕迪剋-黎曼-羅赫定理[1]。格羅騰迪格需要在代數簇 X 的層上工作。不是直接在處理層，他給齣瞭兩個構造。首先，他利用直和運算將層的交換幺半群轉換成一個群 通過取層的分類的形式和以及形式加法逆（這是得到給定函子左伴隨的明確方法）。在第二個構造中，他強加以與層擴張一緻的額外關係，得到一個現在記作 的群。這兩個構造都被稱為格羅騰迪剋群； 具有上同調錶現而 有同調錶現。

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在拓撲學中，我們對嚮量叢有類似的和構造。邁剋爾·阿蒂亞與弗裏德裏希·希策布魯赫（Friedrich Hirzebruch）在1959年使用格羅騰迪格群構造來定義拓撲空間 的 （兩個構造一緻）。這是在代數拓撲中發現的第一個奇異上同調理論的基礎。它在指標定理的第二證明中起瞭巨大的作用。此外，這種途徑導嚮瞭 C*-代數的非交換 -理論。

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