圖的拓撲理論 pdf epub mobi txt 電子書下載 2025

Name: 圖的拓撲理論 pdf epub mobi txt 電子書 2025
SKU: 10449707941
Rating: 4 (10 reviews)

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☆☆☆☆☆

劉彥佩著

圖書標籤:

拓撲學
圖論
數學
離散數學
組閤數學
網絡理論
算法
數據結構
理論計算機科學
圖的理論

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齣版社：中國科學技術大學齣版社

ISBN：9787312022753

商品編碼：10449707941

齣版時間：2008-09-01

具體描述

基本信息

商品名稱：圖的拓撲理論	齣版社：中國科學技術大學齣版社	齣版時間：2008-09-01
作者：劉彥佩	譯者：	開本： 3
定價： 88.00	頁數：458	印次： 1
ISBN號：9787312022753	商品類型：圖書	版次： 1

離散幾何與網絡結構：探析歐拉與柯西的遺産導言：從平麵到高維空間的幾何革命本書旨在深入探討離散幾何學中一個核心而迷人的分支——網絡結構分析。我們聚焦於那些不依賴於傳統連續微積分或微分幾何框架的結構，轉而依賴於純粹的組閤關係和拓撲性質。本書的構建邏輯遵循從基礎概念的嚴謹定義，到經典問題的解析，再到現代應用中的復雜模型構建。我們開篇即聚焦於歐拉在解決柯尼斯堡七橋問題時所奠定的基礎，這不僅是圖論的開端，更是離散拓撲思想的萌芽。我們將詳細剖析“連通性”、“迴路”、“割集”這些基本概念的數學定義，並展示如何利用這些定義來形式化地描述和分析現實世界中的連接關係。第一部分：基礎結構與拓撲不變量第一章：圖的正式定義與基本元素本章首先建立圖論分析的數學語言。我們嚴格定義瞭無嚮圖、有嚮圖（Digraphs）及其變體，如多重圖和僞圖。重點將放在鄰接關係和關聯關係的精確描述上。我們引入瞭鄰接矩陣、關聯矩陣和拉普拉斯矩陣作為描述圖結構的代數工具。對於這些矩陣，我們將深入探究其特徵值與圖的結構特性（如連通性、劃分等）之間的深刻聯係。第二章：連通性、路徑與距離連通性是分析任何網絡結構的首要任務。本章將細緻區分“弱連通”與“強連通”的概念，尤其是在有嚮圖中。我們對最短路徑問題進行瞭詳盡的分析，引入瞭Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法的原理及其在不同圖結構上的適用性與計算復雜性。此外，我們探討瞭直徑和平均路徑長度作為衡量網絡效率的關鍵指標。第三章：循環與割集：迴路的代數拓撲本章是連接組閤學與代數拓撲的關鍵。我們定義瞭圖的環空間（Cycle Space）和割空間（Cut Space），並展示它們如何構成嚮量空間，並通過邊界算子和餘邊界算子的定義，闡述瞭“邊界”與“上界”之間的正交關係。對於任何圖 $G=(V, E)$，我們將推導齣基礎迴路集閤的大小（即零度 $mu(G) = |E| - |V| + omega(G)$，其中 $omega(G)$ 是連通分支數）的嚴格證明。第四章：平麵圖的內在結構平麵圖是幾何直觀性最強的網絡結構。本章的核心在於歐拉公式 $v - e + f = 1 + omega$ 在連通平麵圖中的應用與推廣。我們詳細分析瞭對偶圖的構造，並證明瞭原圖中的迴路對應於對偶圖中的割集，反之亦然。本章還將引入柯西關於凸多麵體骨架的研究，將其與平麵圖的嵌入問題聯係起來。第二部分：特定圖類與結構定理第五章：樹的特有性質與應用樹作為無環連通圖，具有極其優化的結構。本章將係統地梳理樹的多種等價刻畫（如邊數、刪除邊後的連通性變化等）。我們重點分析瞭最小生成樹的構造問題，詳述瞭Kruskal算法和Prim算法的貪婪策略背後的數學原理，並探討瞭在不同邊權函數下的生成樹性質。第六章：二分圖與匹配理論二分圖在資源分配和調度問題中占據核心地位。本章首先定義瞭二分圖的特徵，如沒有奇數長度迴路。核心內容轉嚮匹配理論，包括最大匹配的求解。我們將使用Hall的婚姻定理（或稱充要條件）來判定完美匹配的存在性，並利用Konig定理闡明最大匹配與最小頂點覆蓋之間的對偶關係。第七章：可視圖與結構可分性本章探討瞭圖的“不可分割性”的概念。我們定義並分析瞭割點（Articulation Points）和橋（Bridges），它們是影響網絡魯棒性的關鍵元素。隨後，我們深入探討瞭塊分解（Block Decomposition），將復雜的圖分解為一係列互不相交的塊（最大二連通子圖），並用塊樹來描述這些塊之間的層次關係。第三部分：著色與代數方法第八章：圖的著色問題與色多項式圖著色是組閤優化中的經典難題。本章從色數（Chromatic Number $chi(G)$）的定義齣發，討論瞭其下界與上界（如Brooks定理）。重點在於色多項式 $P(G, lambda)$ 的引入，我們利用刪除-收縮原理（Deletion-Contraction Recurrence）來遞歸計算色多項式，並展示瞭它如何量化瞭使用 $lambda$ 種顔色安全著圖的可能性。第九章：代數圖論的初步視角本章將圖的組閤結構映射到綫性代數空間。我們迴歸到拉普拉斯矩陣 $L$ 的分析，證明瞭其特徵值與圖的代數連通度（Algebraic Connectivity，即第二小特徵值 $lambda_2$）之間的直接關係。我們展示瞭 $lambda_2$ 如何成為衡量圖“緊密程度”的精確指標，並討論瞭矩陣樹定理——利用拉普拉斯矩陣的餘子式計算生成樹的個數。結語：從結構到動態係統本書的分析工具為理解更復雜的網絡結構奠定瞭堅實基礎。我們將簡要迴顧這些組閤與拓撲工具在更高階問題中的潛力，例如網絡流理論、復雜網絡中的同步現象等，強調離散結構分析的普適性。 --- 本書的特點：概念的嚴謹性：每一個定義都經過細緻的邏輯推導，避免模糊的直觀描述。方法的統一性：力圖展示歐拉的拓撲思想如何通過代數工具（矩陣論）和組閤技巧（遞歸分解）得到統一的解析。側重內在結構：強調圖的內在拓撲不變量（如迴路空間、割空間、連通度）而非外部嵌入或度量屬性。專注於基礎理論：對平麵性、著色等經典問題的證明過程進行瞭詳盡的展示。

用戶評價

評分☆☆☆☆☆

《圖的拓撲理論》這個書名，聽起來就有一種挑戰性的數學深度。我一直對數學的結構性非常著迷，而圖論正是研究結構與關係的一個強大工具。我特彆希望這本書能夠超越基礎的圖論概念，深入到那些能夠展現齣“拓撲”特性的方麵。比如，我很好奇書中是否會討論到圖的同構問題，以及如何利用拓撲學的方法來區分不同圖，即使它們在錶麵上看起來結構相似。我希望能夠看到一些關於圖的“韌性”或“魯棒性”的討論，例如在移除一些頂點或邊後，圖的連通性會發生怎樣的變化，這是否能用拓撲學的概念來量化和描述。我也對網絡科學中經常提到的“社區發現”等問題感興趣，不知道這本書的“拓撲理論”是否能為理解這些問題提供更深刻的數學洞見。如果書中能舉例說明，如何將抽象的拓撲概念應用於分析真實的復雜網絡，比如社交網絡或信息網絡，那就更完美瞭。

評分☆☆☆☆☆

一本關於圖論的書，封麵簡潔大方，我一直對數學中的抽象結構很感興趣，而圖論恰好提供瞭一個極好的切入點。它能夠將現實世界中的各種關係，無論是交通網絡、社交聯係還是數據結構，都用點和綫來直觀地錶示齣來，這讓我覺得非常迷人。我希望這本書能深入淺齣地介紹圖論的基本概念，比如頂點、邊、度數、連通性等等，並且能給齣一些經典的圖論問題，比如最短路徑問題、旅行商問題、最大匹配問題等等。我尤其期待書中能夠有對這些問題的不同算法的介紹，比如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法、Kruskal算法、Prim算法等等，並且能夠分析它們的復雜度，讓我理解它們各自的優劣。如果書中還能包含一些圖論在實際應用中的例子，那就更好瞭，例如在計算機科學中的網絡路由、數據挖掘，或者在生物學中的基因網絡分析等等，這樣能讓我更好地理解圖論的價值和意義。我希望這本書不僅能讓我掌握理論知識，更能培養我運用圖論思維解決實際問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

我一直以來對抽象數學有著濃厚的興趣，而圖論恰好提供瞭一個絕佳的視角來理解事物之間的內在聯係。這本書的書名《圖的拓撲理論》更是讓我覺得它可能包含瞭更深層次的數學思想。我希望這本書能夠不僅僅停留在對圖的結構進行描述，更能深入地探討圖的拓撲性質，例如如何通過拓撲學的語言來刻畫圖的特性。我非常好奇書中是否會介紹如何利用拓撲學工具來分析圖的性質，比如藉助代數拓撲的手段來研究圖的同調群或同倫群，以及這些概念與圖的結構之間存在怎樣的聯係。如果書中能夠涉及到一些圖的嵌入問題，比如在不同麯麵上嵌入圖的分類，以及相關的歐拉示性數等概念，那對我來說將是極具吸引力的內容。我希望這本書能夠展現圖論與拓撲學深度融閤的魅力，讓我領略到數學不同分支之間奇妙的碰撞和啓迪。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名讓人聯想到一種嚴謹的數學分支，我一直對抽象的邏輯和結構感到好奇，而圖論無疑是其中一顆璀璨的明珠。它以極簡的語言描繪復雜的關聯，這種“以簡馭繁”的魅力是我最看重的。我期望這本書能帶我領略圖論的精髓，從最基礎的定義齣發，逐步深入到各種重要的定理和性質，比如歐拉圖、漢密爾頓圖、二分圖的判定，以及各種定理的證明過程。我希望作者能夠用清晰的語言和直觀的圖示來解釋這些概念，避免過於晦澀的數學符號，讓我這個初學者也能輕鬆理解。此外，我對圖的染色問題、割點、橋等概念很感興趣，希望書中能有詳細的介紹和相關的算法。如果能涉及到一些圖論中的著名猜想，比如四色猜想，並介紹其發展曆史和證明過程，那就更加令人激動瞭。我希望這本書能讓我對圖論有一個全麵而深入的認識，並且能激發我對這個領域的進一步探索熱情。

評分☆☆☆☆☆

這本《圖的拓撲理論》光聽名字就充滿瞭學術氣息，對於我這種喜歡鑽研深度理論的讀者來說，無疑是一本值得期待的書籍。我希望這本書能夠深入探討圖的拓撲性質，不僅僅局限於圖的連通性，還希望能夠涉及更高級的概念，例如圖的同胚、同態、環等。我非常好奇圖的拓撲不變量是如何定義的，以及這些不變量在判斷圖的同構性等方麵有什麼作用。書中如果能包含一些關於平麵圖和嵌入圖的理論，例如庫拉夫斯基定理，並詳細解釋其證明思路，那將是非常寶貴的學習材料。我希望作者能夠提供嚴謹的數學證明，並且在證明過程中能夠給齣清晰的邏輯推理，讓我能夠理解定理的由來和其內在的數學思想。此外，我對於代數圖論，特彆是圖的譜理論，也抱有濃厚的興趣，希望書中能有這方麵的介紹，例如拉普拉斯矩陣的性質及其在圖論問題中的應用。

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