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刘彦佩 著

图书标签:

• 拓扑学
• 图论
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• 数据结构
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出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312022753

商品编码：10449707941

出版时间：2008-09-01

基本信息

商品名称： 图的拓扑理论	出版社： 中国科学技术大学出版社	出版时间：2008-09-01
作者：刘彦佩	译者：	开本： 3
定价： 88.00	页数：458	印次： 1
ISBN号：9787312022753	商品类型：图书	版次： 1

离散几何与网络结构：探析欧拉与柯西的遗产 导言：从平面到高维空间的几何革命 本书旨在深入探讨离散几何学中一个核心而迷人的分支——网络结构分析。我们聚焦于那些不依赖于传统连续微积分或微分几何框架的结构，转而依赖于纯粹的组合关系和拓扑性质。本书的构建逻辑遵循从基础概念的严谨定义，到经典问题的解析，再到现代应用中的复杂模型构建。 我们开篇即聚焦于欧拉在解决柯尼斯堡七桥问题时所奠定的基础，这不仅是图论的开端，更是离散拓扑思想的萌芽。我们将详细剖析“连通性”、“回路”、“割集”这些基本概念的数学定义，并展示如何利用这些定义来形式化地描述和分析现实世界中的连接关系。 第一部分：基础结构与拓扑不变量 第一章：图的正式定义与基本元素 本章首先建立图论分析的数学语言。我们严格定义了无向图、有向图（Digraphs）及其变体，如多重图和伪图。重点将放在邻接关系和关联关系的精确描述上。我们引入了邻接矩阵、关联矩阵和拉普拉斯矩阵作为描述图结构的代数工具。对于这些矩阵，我们将深入探究其特征值与图的结构特性（如连通性、划分等）之间的深刻联系。 第二章：连通性、路径与距离 连通性是分析任何网络结构的首要任务。本章将细致区分“弱连通”与“强连通”的概念，尤其是在有向图中。我们对最短路径问题进行了详尽的分析，引入了Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法的原理及其在不同图结构上的适用性与计算复杂性。此外，我们探讨了直径和平均路径长度作为衡量网络效率的关键指标。 第三章：循环与割集：回路的代数拓扑 本章是连接组合学与代数拓扑的关键。我们定义了图的环空间（Cycle Space）和割空间（Cut Space），并展示它们如何构成向量空间，并通过边界算子和余边界算子的定义，阐述了“边界”与“上界”之间的正交关系。对于任何图 $G=(V, E)$，我们将推导出基础回路集合的大小（即零度 $mu(G) = |E| - |V| + omega(G)$，其中 $omega(G)$ 是连通分支数）的严格证明。 第四章：平面图的内在结构 平面图是几何直观性最强的网络结构。本章的核心在于欧拉公式 $v - e + f = 1 + omega$ 在连通平面图中的应用与推广。我们详细分析了对偶图的构造，并证明了原图中的回路对应于对偶图中的割集，反之亦然。本章还将引入柯西关于凸多面体骨架的研究，将其与平面图的嵌入问题联系起来。 第二部分：特定图类与结构定理 第五章：树的特有性质与应用 树作为无环连通图，具有极其优化的结构。本章将系统地梳理树的多种等价刻画（如边数、删除边后的连通性变化等）。我们重点分析了最小生成树的构造问题，详述了Kruskal算法和Prim算法的贪婪策略背后的数学原理，并探讨了在不同边权函数下的生成树性质。 第六章：二分图与匹配理论 二分图在资源分配和调度问题中占据核心地位。本章首先定义了二分图的特征，如没有奇数长度回路。核心内容转向匹配理论，包括最大匹配的求解。我们将使用Hall的婚姻定理（或称充要条件）来判定完美匹配的存在性，并利用Konig定理阐明最大匹配与最小顶点覆盖之间的对偶关系。 第七章：可视图与结构可分性 本章探讨了图的“不可分割性”的概念。我们定义并分析了割点（Articulation Points）和桥（Bridges），它们是影响网络鲁棒性的关键元素。随后，我们深入探讨了块分解（Block Decomposition），将复杂的图分解为一系列互不相交的块（最大二连通子图），并用块树来描述这些块之间的层次关系。 第三部分：着色与代数方法 第八章：图的着色问题与色多项式 图着色是组合优化中的经典难题。本章从色数（Chromatic Number $chi(G)$）的定义出发，讨论了其下界与上界（如Brooks定理）。重点在于色多项式 $P(G, lambda)$ 的引入，我们利用删除-收缩原理（Deletion-Contraction Recurrence）来递归计算色多项式，并展示了它如何量化了使用 $lambda$ 种颜色安全着图的可能性。 第九章：代数图论的初步视角 本章将图的组合结构映射到线性代数空间。我们回归到拉普拉斯矩阵 $L$ 的分析，证明了其特征值与图的代数连通度（Algebraic Connectivity，即第二小特征值 $lambda_2$）之间的直接关系。我们展示了 $lambda_2$ 如何成为衡量图“紧密程度”的精确指标，并讨论了矩阵树定理——利用拉普拉斯矩阵的余子式计算生成树的个数。 结语：从结构到动态系统 本书的分析工具为理解更复杂的网络结构奠定了坚实基础。我们将简要回顾这些组合与拓扑工具在更高阶问题中的潜力，例如网络流理论、复杂网络中的同步现象等，强调离散结构分析的普适性。 --- 本书的特点： 概念的严谨性： 每一个定义都经过细致的逻辑推导，避免模糊的直观描述。 方法的统一性： 力图展示欧拉的拓扑思想如何通过代数工具（矩阵论）和组合技巧（递归分解）得到统一的解析。 侧重内在结构： 强调图的内在拓扑不变量（如回路空间、割空间、连通度）而非外部嵌入或度量属性。 专注于基础理论： 对平面性、着色等经典问题的证明过程进行了详尽的展示。

评分☆☆☆☆☆

《图的拓扑理论》这个书名，听起来就有一种挑战性的数学深度。我一直对数学的结构性非常着迷，而图论正是研究结构与关系的一个强大工具。我特别希望这本书能够超越基础的图论概念，深入到那些能够展现出“拓扑”特性的方面。比如，我很好奇书中是否会讨论到图的同构问题，以及如何利用拓扑学的方法来区分不同图，即使它们在表面上看起来结构相似。我希望能够看到一些关于图的“韧性”或“鲁棒性”的讨论，例如在移除一些顶点或边后，图的连通性会发生怎样的变化，这是否能用拓扑学的概念来量化和描述。我也对网络科学中经常提到的“社区发现”等问题感兴趣，不知道这本书的“拓扑理论”是否能为理解这些问题提供更深刻的数学洞见。如果书中能举例说明，如何将抽象的拓扑概念应用于分析真实的复杂网络，比如社交网络或信息网络，那就更完美了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名让人联想到一种严谨的数学分支，我一直对抽象的逻辑和结构感到好奇，而图论无疑是其中一颗璀璨的明珠。它以极简的语言描绘复杂的关联，这种“以简驭繁”的魅力是我最看重的。我期望这本书能带我领略图论的精髓，从最基础的定义出发，逐步深入到各种重要的定理和性质，比如欧拉图、汉密尔顿图、二分图的判定，以及各种定理的证明过程。我希望作者能够用清晰的语言和直观的图示来解释这些概念，避免过于晦涩的数学符号，让我这个初学者也能轻松理解。此外，我对图的染色问题、割点、桥等概念很感兴趣，希望书中能有详细的介绍和相关的算法。如果能涉及到一些图论中的著名猜想，比如四色猜想，并介绍其发展历史和证明过程，那就更加令人激动了。我希望这本书能让我对图论有一个全面而深入的认识，并且能激发我对这个领域的进一步探索热情。

评分☆☆☆☆☆

一本关于图论的书，封面简洁大方，我一直对数学中的抽象结构很感兴趣，而图论恰好提供了一个极好的切入点。它能够将现实世界中的各种关系，无论是交通网络、社交联系还是数据结构，都用点和线来直观地表示出来，这让我觉得非常迷人。我希望这本书能深入浅出地介绍图论的基本概念，比如顶点、边、度数、连通性等等，并且能给出一些经典的图论问题，比如最短路径问题、旅行商问题、最大匹配问题等等。我尤其期待书中能够有对这些问题的不同算法的介绍，比如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法、Kruskal算法、Prim算法等等，并且能够分析它们的复杂度，让我理解它们各自的优劣。如果书中还能包含一些图论在实际应用中的例子，那就更好了，例如在计算机科学中的网络路由、数据挖掘，或者在生物学中的基因网络分析等等，这样能让我更好地理解图论的价值和意义。我希望这本书不仅能让我掌握理论知识，更能培养我运用图论思维解决实际问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本《图的拓扑理论》光听名字就充满了学术气息，对于我这种喜欢钻研深度理论的读者来说，无疑是一本值得期待的书籍。我希望这本书能够深入探讨图的拓扑性质，不仅仅局限于图的连通性，还希望能够涉及更高级的概念，例如图的同胚、同态、环等。我非常好奇图的拓扑不变量是如何定义的，以及这些不变量在判断图的同构性等方面有什么作用。书中如果能包含一些关于平面图和嵌入图的理论，例如库拉夫斯基定理，并详细解释其证明思路，那将是非常宝贵的学习材料。我希望作者能够提供严谨的数学证明，并且在证明过程中能够给出清晰的逻辑推理，让我能够理解定理的由来和其内在的数学思想。此外，我对于代数图论，特别是图的谱理论，也抱有浓厚的兴趣，希望书中能有这方面的介绍，例如拉普拉斯矩阵的性质及其在图论问题中的应用。

评分☆☆☆☆☆

我一直以来对抽象数学有着浓厚的兴趣，而图论恰好提供了一个绝佳的视角来理解事物之间的内在联系。这本书的书名《图的拓扑理论》更是让我觉得它可能包含了更深层次的数学思想。我希望这本书能够不仅仅停留在对图的结构进行描述，更能深入地探讨图的拓扑性质，例如如何通过拓扑学的语言来刻画图的特性。我非常好奇书中是否会介绍如何利用拓扑学工具来分析图的性质，比如借助代数拓扑的手段来研究图的同调群或同伦群，以及这些概念与图的结构之间存在怎样的联系。如果书中能够涉及到一些图的嵌入问题，比如在不同曲面上嵌入图的分类，以及相关的欧拉示性数等概念，那对我来说将是极具吸引力的内容。我希望这本书能够展现图论与拓扑学深度融合的魅力，让我领略到数学不同分支之间奇妙的碰撞和启迪。