西安交大 常微分方程定性与稳定性方法 第二版 马知恩 科学出版社 常微分方程定性理论稳定性 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030443557

商品编码：27254549812

丛书名： 常微分方程定性与稳定性方法(第2版)研究生教

出版时间：2015-06-01

产品展示

基本信息

图书名称：	常微分方程定性与稳定性方法
作 者：	马知恩
定价：	58.00
ISBN号：	9787030443557
出版社：	科学出版社
开本：	32
装帧：	平装
出版日期：	2015-6-1
印刷日期：	2015-6-1

编辑推荐

适读人群 ：《常微分方程定性与稳定性方法》可作为理工类专业研究生的教材和高年级本科生的选修课教材，也可供相关的科学技术人员参考.  本书作者马知恩老师是微分动力系统与生物数学方向专家，是优秀大学教师中的佼佼者，本书内容着眼于应用，取材精练,注意概念实质，定理思路阐述清晰、应用方法介绍简明扼要，实际例子分析一语中的。

内容介绍

《常微分方程定性与稳定性方法》是为理工类专业的硕士研究生和高年级本科生的需要所编写的一《常微分方程定性与稳定性方法》.《常微分方程定性与稳定性方法》为第二版.主要包括定性理论、稳定性理论和分支理论三个部分.内容着眼于应用的需要 取材精练，注意概念实质的揭示、定理思路的阐述、应用方法的介绍和实际例子的分析，并配合内容引入计算机软件. 每章后附有习题供读者练习.

作者介绍

马知恩，男，数学家，西安交通大学教授，博士生导师。1954年毕业于北京大学数学系，分配至交通大学任教。1963-1965在南京大学数学系进修。 1985-1986在美国威斯康辛大学与田纳西大学访问学者，学习生物数学。曾任西安交通大学数学系主任、理学院院长。全国工科数学课程教学指导委员会主任，中国数学学会生物数学专业委员会副主任，陕西省生态数学专业委员会主任等职。现任"J.of Biological Systems"(Canada)杂志副主编，J. of Theoretical Biology(USA)， 等6种杂志编委。曾多次赴美、意、加、德、日、荷兰、比利时等国访问、合作研究和讲学。研究领域或方向:微分动力系统与生物数学。科研项目:八十年代以来，承担了教育部立项的教学改革项目9项，国家自然科学基金项目8项，国家十五攻关项目1项。学术及科研成果:讲授过高等数学等12门课程，科研方向为微分动力系统与生物数学。培养了硕士生43人，博士生11人。出版教材10套，译著1套。发表学术论文130余篇，出版专著3本。曾获***和教育部有关教学奖8项，省部级科学进步奖3项(均排名第1)。1991年获全国优秀教师称号，2003年获国家首届教学名师奖。

目录

第二版前言  第一版前言  第 1 章 基本定理 1  1.1 解的存在唯一性定理 1  1.2 解的延拓 3  1.3 解对初值和参数的连续依赖性和可微性 9  1.4 比较定理 13  习题 1 21  第 2 章 动力系统的基本知识 23  2.1 自治系统与非自治系统 23  2.1.1 相空间与轨线 23  2.1.2 自治系统的基本性质 25  2.1.3 动力系统的概念 28  2.2 轨线的极限集合.29  2.2.1 常点与奇点 29 2.2.2 自治系统解的延拓性 30  2.2.3 极限集与 极限集及其基本性质 32  2.3 平面上的极限集.35  2.3.1 平面有界极限集的特性与结构35  2.3.2 Poincar.e-Bendixson 环域定理37  2.4 极限集的应用实例 39  2.4.1 Volterra 捕食{被捕食模型 39  2.4.2 三极管电路的 van der Pol 方程 42  习题 2 44  第 3 章 稳定性理论 46  3.1 稳定性的定义和例子 46  3.1.1 稳定性的几个定义 46  3.1.2 稳定性的关系及例子 49  3.2 自治系统零解的稳定性 54  3.2.1 V 函数 54？ 3.2.2 Liapunov 稳定性定理 55  3.2.3 不稳定性定理 57  3.3 非自治系统零解的稳定性 59  3.3.1 V 函数和 k 类函数 59  3.3.2 零解的稳定性 62  3.3.3 零解的不稳定性 65  3.4 全局稳定性 67  3.4.1 全局稳定的概念和判定定理 67  3.4.2 应用举例.71  3.4.3 吸引域的估计 73  3.5 线性系统及其扰动系统的稳定性 73  3.5.1 常系数线性系统的稳定性 74  3.5.2 线性系统的扰动 81  3.5.3 非自治线性系统的稳定性 84  3.6 临界情形下奇点的稳定性分析 87  3.6.1 中心流形.88  3.6.2 中心流形定理 92  3.6.3 临界情况下奇点的稳定性分析举例.95  3.7 Liapunov 函数的构造 102  3.7.1 Liapunov 函数的存在性 102  3.7.2 常系数线性系统的巴尔巴欣公式 104  3.7.3 二次型方法的推广 108  3.7.4 线性类比法 110  3.7.5 能量函数法 112  3.7.6 分离变量法 113  3.7.7 变梯度法 114  3.8 判定稳定性时的比较方法 116  3.8.1 与数量方程的比较 116  3.8.2 与向量方程的比较 120  习题 3122  第 4 章 平面系统的奇点 125  4.1 初等奇点.125  4.1.1 线性系统的孤立奇点 125  4.1.2 非线性系统的双曲奇点 135  4.2 中心与焦点的判定 140 4.2.1 非双曲初等奇点的类型与中心的判定定理 140  4.2.2 细焦点及其判定法 147  4.3 高阶奇点.157  4.3.1 沿不变直线方向的拉伸变换158  4.3.2 通过极坐标变换的吹胀" 技巧 160  4.3.3 沿 x 与 y 方向的吹胀"165  4.3.4 非齐次 吹胀" 169  4.4 旋转数与指数 171  4.4.1 旋转数及其基本性质 171  4.4.2 奇点的指数 173  习题 4177  第 5 章 极限环.179  5.1 基本概念与极限环的不存在性 179  5.1.1 基本概念 179  5.1.2 极限环不存在性的判定法 181  5.2 极限环的存在性.187  5.3 后继函数与极限环的稳定性.198  5.3.1 Poinear.e 映射与后继函数 198  5.3.2 曲线坐标与极限环的稳定性200  5.4 极限环的唯一性.204  习题 5211  第 6 章 无穷远奇点与全局结构 212  6.1 无穷远奇点 212  6.1.1 Poincar.e 球面与 Poincar.e 变换 212  6.1.2 无穷远奇点与 Poincar.e 圆盘214  6.2 轨线的全局结构分析举例 224  习题 6228  第 7 章 分支理论 229  7.1 一个例子.229  7.2 结构稳定与分支现象230  7.2.1 结构稳定的定义 230  7.2.2 结构稳定的等价描述 232  7.2.3 结构不稳定:分支现象 233  7.3 奇点分支.234  7.3.1 一维系统的奇点分支 234 7.3.2 二维或更高维系统的奇点分支.238  7.3.3 给定扰动参数的奇点分支问题.242  7.4 Hopf 分支 243  7.4.1 平面系统的 Hopf 分支 244  7.4.2 利用特征根的共振性求正规形.255  7.4.3 三维或更高维系统的 Hopf 分支 257  7.5 闭轨分支.259  7.5.1 平面系统的闭轨分支 259  7.5.2 三维或更高维系统的闭轨分支.263  7.6 奇异闭轨分支 268  7.6.1 平面系统的同宿分支 269  7.6.2 旋转向量场 270  7.6.3 平面系统同宿分支的例子 272  7.6.4 关于异宿分支和高维系统奇异闭轨分支的介绍 275  7.7 Poincar.e 分支||从平面闭轨族分支极限环 276  7.7.1 平面 Hamilton 系统的扰动问题 276  7.7.2 高阶 Melnikov 函数.284  7.7.3 平面可积系统的扰动问题 286  7.7.4 弱化的希尔伯特第 16 问题 287  7.8 从高维系统的闭轨族产生周期解的分支问题 289  7.9 Bogdanov-Takens 分支 296  7.9.1 利用变换求正规形 296  7.9.2 余维 2 的 B-T 分支:普适开折的推导 298  7.9.3 余维 2 的 B-T 分支:分支图与轨线拓扑分类 302  习题 7303  第 8 章 常微分方程的应用举例 308  8.1 一个三种群相互作用的 Volterra 模型研究 308  8.1.1 正平衡解的稳定性 308  8.1.2 模型平面解的存在性及其渐近性态 311  8.1.3 一个 Volterra 模型的 Hopf 分支 314  8.2 传染病模型 317  8.2.1 假设和记号 317  8.2.2 SIS 模型 317  8.2.3 SIR 模型 319  8.2.4 SEIR 模型 321 8.3 一个总人口变化的 SEIR 模型的全局性态分析 323  8.3.1 模型及其平衡解 323  8.3.2 无病平衡点的稳定性 325 8.3.3 地方病平衡点的稳定性 327  8.3.4 地方病平衡点的全局稳定性329  8.4 三分子反应模型.332  8.4.1 模型及其奇点分析 332  8.4.2 极限环的存在唯一性 334  8.5 一个具有非线性传染率的 SI 模型的稳定性与分支 336  8.5.1 具有非线性传染率的 SI 模型 336  8.5.2 平衡点的稳定性 338  8.5.3 模型 (8.5.3) 的 Bogdanov-Takens 分支 341  8.6 一个具有饱和恢复率的季节性传染病模型 348  8.6.1 模型及其基本再生数 348  8.6.2 两个正周期解的存在性 349  8.6.3 周期解的稳定性 354  习题 8 359  参考文献362

在线试读部分章节

 

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定性分析的深邃之境：探索常微分方程世界的内在规律 常微分方程，作为描述自然界和社会现象演化规律的核心数学工具，其应用领域早已渗透到物理、工程、生物、经济等几乎所有科学技术分支。当方程本身的解析解难以获得，或其复杂性超出了直接求解的范畴时，我们便将目光投向方程的“定性”层面。这并非是对具体数值的追求，而是要揭示方程解的整体行为、内在结构以及随参数变化时的动态响应。本文所探讨的常微分方程定性与稳定性方法，正是致力于引领读者进入这个充满智慧与洞察的领域。 一、 定性分析的基石：理解方程的“灵魂” 在深入探究常微分方程的定性特征之前，我们需要建立一套坚实的理论基础。这其中，相空间的概念至关重要。它是一个抽象的几何空间，其维度等于方程的阶数，每个点都代表了系统在某一时刻的完整状态。方程的解在相空间中描绘出的轨迹，就如同一个动态的“生命线”，揭示了系统从一个状态向另一个状态演化的过程。通过观察这些轨迹的走向、汇聚与离散，我们便能初步洞察系统的行为模式。 奇点（平衡点）是相空间中至关重要的一类点。它们代表了系统处于稳定或非稳定平衡状态下的位置，即微分量为零的点。奇点的性质，如是节点、焦点、鞍点还是中心，直接决定了系统在这些平衡点附近的动态行为。例如，一个稳定的节点意味着系统将逐渐趋向于该平衡点，而一个鞍点则可能导致系统在某些方向上趋近，在另一些方向上远离。对奇点类型的深入理解，是进行更复杂定性分析的前提。 相平面分析，对于二阶常微分方程而言，更是提供了一种直观而强大的工具。通过绘制相平面的等倾线图，我们可以大致描绘出解的走向，即使无法精确求解，也能清晰地看到解的渐进行为、周期性运动以及可能存在的复杂吸引子。这种可视化方法极大地增强了我们对系统行为的理解。 李雅普诺夫稳定性理论，则是对奇点稳定性的严谨数学刻画。它不依赖于直接求解方程，而是通过构造特殊的“李雅普诺夫函数”，来判断系统在扰动下的收敛性。一个巧妙选择的李雅普诺夫函数，可以像一个“能量函数”一样，衡量系统偏离平衡点的程度，并根据其变化趋势来判定系统的稳定性。这使得我们能够分析那些难以求解的非线性系统的稳定性，这在控制理论和动力学系统中具有不可估量的价值。 二、 稳定性分析的精妙艺术：把握系统的“生命力” 稳定性是常微分方程研究的核心议题之一。一个系统是否能够容忍外界微小的扰动而保持其基本状态，这直接关系到其在现实世界中的可靠性和可用性。 线性系统的稳定性是研究的起点。对于线性常微分方程组，其稳定性完全取决于系数矩阵的特征值。特征值的实部正负决定了系统是指数增长、指数衰减还是出现振荡。这是分析复杂非线性系统稳定性的重要基础，因为许多非线性系统可以在其平衡点附近被线性化，从而借用线性系统的稳定性判据。 非线性系统的稳定性则更为复杂和有趣。局部稳定性分析，即分析系统在其平衡点附近的稳定性，是研究非线性系统行为的常见方法。李雅普诺夫第二方法（直接法）在这里大显身手，它通过构造李雅普诺夫函数，可以判断系统的全局稳定性，即系统是否对任意的初始状态都能收敛到平衡点。这对于理解例如飞行器姿态控制、机器人轨迹跟踪等问题至关重要。 极限环是另一种非常重要的定性现象，尤其是在描述振荡和周期性行为的系统中。极限环是孤立的周期解，系统可以稳定地或不稳定地趋向于它。例如，在生物振荡模型、电路振荡器中，极限环的性质直接决定了系统的振动频率和幅度。寻找和分析极限环的存在、稳定性和其吸引区域，是定性分析的重要组成部分。 分岔理论揭示了系统参数变化时，其定性行为可能发生剧烈改变的现象。当一个或多个参数缓慢变化时，系统的奇点数量、类型甚至稳定性都可能发生突变，这就如同事物发展到某个临界点会发生质变。例如，一个稳定平衡点可能随着参数的变化变成一个不稳定的奇点，或者出现新的极限环。理解分岔现象，能够帮助我们预测系统在不同工作条件下的行为，并指导我们如何通过调整参数来达到期望的系统性能。超临界分岔和次临界分岔是两种基本的分岔类型，它们描述了在分岔点附近系统行为变化的不同模式。 三、 方法的拓展与应用：洞察动态世界的奥秘 除了上述基本概念和理论，常微分方程的定性与稳定性方法还包含着更广泛的工具和应用。 数值方法的辅助虽然定性分析旨在避免直接求解，但在某些复杂情况下，数值计算可以为定性分析提供重要的参考和验证。例如，通过数值模拟轨迹，可以直观地观察奇点的性质，验证李雅普诺夫函数的有效性，或者初步判断极限环的存在。然而，需要注意的是，数值结果仅仅是对局部行为的近似，并不能替代严谨的理论分析。 多尺度分析在处理具有不同时间尺度行为的系统时显得尤为重要。某些系统可能同时包含快速和慢速的动力学过程，这时直接进行整体分析会变得非常困难。多尺度方法通过分离不同的时间尺度，并分别进行分析，从而简化问题，并揭示系统在不同时间尺度下的耦合机制。 耗散系统是另一类重要的研究对象。耗散系统是指系统中能量会随着时间逐渐减少的系统，其最终会收敛到一个稳态或者吸引子。这类系统在物理、化学、生物等领域有广泛的应用。研究耗散系统的吸引子，能够帮助我们理解系统的长期演化趋势和稳态行为。 混沌理论的兴起，更是为常微分方程的定性分析注入了新的活力。混沌系统是指那些对初始条件极其敏感的确定性系统，其长期行为具有不可预测性。尽管混沌系统是确定性的，但其复杂的、看似随机的行为，使得传统的定性分析方法面临新的挑战。通过庞加莱截面、分形维度等工具，我们可以对混沌系统的内在结构进行深入的刻画。 全局稳定性分析是稳定性理论的进一步发展，它关心的是系统在整个状态空间内的稳定性。当系统能够从任何初始状态收敛到平衡点时，我们就称其具有全局稳定性。这在很多工程应用中是至关重要的，例如需要确保系统在任何可能的故障情况下都能恢复正常。 四、 结语 常微分方程的定性与稳定性方法，是一门深入探索动态系统内在规律的学问。它不拘泥于繁琐的计算，而是以一种更宏观、更本质的视角，去理解方程解的行为模式。从相空间的几何描绘，到李雅普诺夫函数的严谨论证，再到分岔与混沌的奇妙现象，这一系列方法为我们提供了一套强大的工具，去揭示自然界和工程世界中那些看似神秘的演化规律。掌握这些方法，不仅能够帮助我们更好地理解现有的系统，更能指导我们设计和控制新的系统，以期达到我们所期望的动态行为。它是一场关于理解、预测和控制的智慧之旅，带领我们深入常微分方程的深邃之境。

评分☆☆☆☆☆

翻阅这本《常微分方程定性与稳定性方法 第二版》，我最大的感受是它对于理论细节的重视，以及对证明过程的严谨性。马知恩教授在书中对于每一个定理的提出，都给予了详尽的证明，并且在证明过程中，思路清晰，逻辑严密，很少有跳跃式的推导，这对于希望深入理解数学原理的读者来说，简直是福音。书中关于线性系统的稳定性分析部分，我感觉尤为受益。从特征方程的根与系统稳定性的关系，到各种情况下（实数根、复数根、重根）的分析，都处理得非常到位。尤其是对于高维线性系统的稳定性判断，书中给出的方法和理论依据，非常具有指导意义。我尝试着去推导一些书中的引理，并且对照书中的证明进行比对，收获颇丰。这不仅仅是知识的获取，更是一种数学思维的训练。此外，书中对非线性系统稳定性分析的探讨，也展现了作者深厚的功底。虽然非线性系统的分析往往比线性系统复杂得多，但书中通过引入一些关键的定理和概念，例如局部稳定性、全局稳定性以及一些稳定性判据，为读者提供了一个系统性的分析框架。我特别喜欢书中关于李雅普诺夫第二方法的部分，虽然初看有些抽象，但经过反复揣摩和联系之前的例子，逐渐体会到了其在判断系统稳定性方面的强大力量。这本书确实能让你在数学的严谨性中感受到一种别样的美。

评分☆☆☆☆☆

这本《常微分方程定性与稳定性方法 第二版》的确是一本让人印象深刻的书，尽管我当初是出于对这个领域的好奇而翻开它，但其内容的深度和广度还是远远超出了我的预期。马知恩教授的讲解，以其严谨而又不失条理的风格，将抽象的数学概念层层剥开，呈现在读者面前。尤其是关于平衡点的分类和相图的绘制，书中通过大量生动的例子，将理论与实践紧密结合，使得原本可能枯燥的数学推导变得清晰易懂。我尤其欣赏书中对于不同类型奇点的分析，从简单的节点、鞍点到更复杂的极限环，每一种情况都进行了详尽的讨论，并给出了判断和分析的方法。这种深入浅出的讲解方式，对于初学者来说无疑是一大福音，能够帮助他们建立起扎实的理论基础。同时，书中对于稳定性理论的阐述，也让我对系统的动态行为有了更深刻的认识。从李雅普诺夫稳定性到渐近稳定性，再到李雅普诺夫函数法的应用，每一个概念的引入都伴随着清晰的证明和直观的解释。我尝试着运用书中的方法去分析一些简单的动力学模型，发现效果非常显著，能够准确地预测系统的长期行为。总而言之，这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的导师，带领我一步步走进常微分方程定性分析的迷人世界。

评分☆☆☆☆☆

我不得不说，马知恩教授的这本《常微分方程定性与稳定性方法 第二版》在细节上的处理非常到位，堪称我读过的关于此领域最详尽的著作之一。书中对不同类型奇点的分析，细致入微，每个奇点的判定准则都给出了严谨的推导过程，并且附有大量的图示，使得抽象的概念能够直观地呈现在读者眼前。我尤其喜欢书中对于“同宿轨”和“异宿轨”的讲解，虽然这两个概念在初学时可能有些难以理解，但书中通过清晰的定义和生动的例子，将它们之间的区别和联系阐述得淋漓尽致。这让我对相图的复杂性有了更深刻的认识，也为理解混沌动力学打下了基础。此外，书中关于“多周期解”的讨论，也拓宽了我的视野。不仅仅是简单的周期解，书中还探讨了多重周期解的存在性和稳定性，这对于理解一些复杂的振动现象非常有帮助。这本书的另一个亮点在于其广泛的应用性。书中列举了许多来自物理、工程等领域的例子，将抽象的数学理论与实际问题紧密结合，让读者能够深刻体会到数学的实用价值。这本书是一本值得反复研读的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的最大冲击，在于它对于“稳定性”这个概念的深入剖析。在阅读《常微分方程定性与稳定性方法 第二版》之前，我对于“稳定”的理解非常表面化，比如系统不会“崩溃”，或者会趋于某个“平衡点”。然而，马知恩教授的讲解，让我认识到“稳定性”其实是一个非常精妙的数学概念，涉及到系统对微小扰动的响应以及系统本身的内在性质。书中对李雅普诺夫稳定性理论的阐述，简直是教科书级别的。我尤其欣赏书中关于“李雅普诺夫函数”的构建过程的详细说明，这不仅仅是给出了一个工具，更重要的是教会了读者如何去“想”出这个工具。从正定性、负定性到半负定性，每一个性质的引入都伴随着对其在稳定性判断中作用的清晰解释。我尝试着去运用书中提供的一些标准方法，去分析一些简单的非线性系统的稳定性，虽然过程有些曲折，但最终的成功让我非常有成就感。这本书让我明白，常微分方程的定性分析，不仅仅是求解方程，更重要的是理解方程所描述的系统在不同条件下的“命运”。这种理解，对于工程、物理、生物等多个领域的研究都至关重要。

评分☆☆☆☆☆

说实话，当我拿到这本《常微分方程定性与稳定性方法 第二版》时，对于“定性”和“稳定性”这些概念，我脑海里还只是一些模糊的印象。但随着阅读的深入，我发现这本书提供了一个非常系统化的视角来理解这些概念。马知恩教授的写作风格，个人感觉偏向于“引导式”的教学，也就是说，他不会直接抛出结论，而是通过一系列的问题、例子和推导，一步步地将读者引向最终的结论。这种方式对于培养独立思考能力非常有帮助。我记得书中在讲解“吸引子”这个概念时，花了相当多的篇幅去解释，从最简单的吸引子（如孤立子）到更复杂的吸引子（如奇怪吸引子），每一个都用图形和数学语言进行了生动的描绘。这让我对动态系统的长期行为有了更直观的认识。同时，关于“极限环”的讨论，也让我印象深刻。书中不仅讲解了如何存在极限环，还提供了判断和计算的方法，并且分析了极限环的稳定性。这对于理解周期性振荡等现象非常有启发。总的来说，这本书的优点在于它能够将抽象的数学理论，用一种非常“可见”的方式呈现出来，让读者能够“看到”数学在描述现实世界中的力量，而不仅仅是停留在枯燥的符号和公式上。