高等代数学习指导书 二版：上册+下册 丘维声 高等代数课程教程教材配套辅导用书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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丘维声 著

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出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302483670

商品编码：23326231645

高等代数学习指导书（二版：上册）

本套书是大学“高等代数”课程的辅导教材，是作者多年来在北京大学从事高等代数数学工作的结晶。本套书共有11章，分上、下两册。每章节主体结构包括内容精华、典型例题、习题三部分，章末还有补充题。本书阐述了高等代数的理论，总结了高等代数中重要的典型题型及考研题型，提炼了解题的规律、方法和技巧，旨在通过对理论的阐述以及解题方法和技巧的分析，使读者能掌握理论，举一反三、触类旁通。本书可作为“高等代数”或“线性代数”课程的教学参考书，也可供从事高等代数或线性代数教学的教师参考，还可作为工学、理学、经济学、管理学等学科专业硕士生入学考试数学科目的复习用书。

高等代数学习指导书（二版:上册）

引言高等代数的内容和学习方法1

1章线性方程组4

1.1线性方程组的解法4

1.1.1内容精华4

1.1.2典型例题6

1.1.3提高10

习题1.112

1.2线性方程组的解的情况及其判别准则13

1.2.1内容精华13

1.2.2典型例题15

习题1.219

1.3数域21

1.3.1内容精华21

1.3.2典型例题22

习题1.323

补充题一23

2章行列式24

2.1n元排列25

2.1.1内容精华25

2.1.2典型例题25

习题2.127

2.2n阶行列式的定义28

2.2.1内容精华28

2.2.2典型例题30

习题2.231

2.3行列式的性质33

2.3.1内容精华33

2.3.2典型例题34

习题2.338

2.4行列式按一行（列）展开40

2.4.1内容精华40

2.4.2典型例题42

习题2.453

2.5克拉默（Cramer）法则57

2.5.1内容精华57

2.5.2典型例题59

习题2.562

2.6行列式按k行（列）展开63

2.6.1内容精华63

2.6.2典型例题66

习题2��668

补充题二69

3章n维向量空间Kn72

3.1n维向量空间Kn及其子空间73

3.1.1内容精华73

3.1.2典型例题76

习题3.179

3.2线性相关与线性无关的向量组80

3.2.1内容精华80

3.2.2典型例题83

习题3.291

3.3极大线性无关组，向量组的秩92

3.3.1内容精华92

3.3.2典型例题95

习题3.3100

3.4向量空间Kn及其子空间的基与维数101

3.4.1内容精华101

3.4.2典型例题103

习题3.4106

3.5矩阵的秩107

3.5.1内容精华107

3.5.2典型例题111

习题3.5118

3.6线性方程组有解的充分必要条件120

3.6.1内容精华120

3.6.2典型例题121

习题3.6124

3.7齐次线性方程组的解集的结构125

3.7.1内容精华125

3.7.2典型例题127

习题3.7131

3.8非齐次线性方程组的解集的结构132

3.8.1内容精华132

3.8.2典型例题134

习题3.8138

补充题三139

4章矩阵的运算140

4.1矩阵的加法、数量乘法与乘法运算140

4.1.1内容精华140

4.1.2典型例题143

习题4.1151

4.2特殊矩阵154

4.2.1内容精华154

4.2.2典型例题160

习题4.2166

4.3矩阵乘积的秩与行列式167

4.3.1内容精华167

4.3.2典型例题172

习题4.3182

4.4可逆矩阵184

4.4.1内容精华184

4.4.2典型例题188

习题4.4201

4.5矩阵的分块203

4.5.1内容精华203

4.5.2典型例题208

习题4.5227

4.6正交矩阵·欧几里得空间Rn230

4.6.1内容精华230

4.6.2典型例题235

习题4.6248

4.7Kn到Ks的线性映射250

4.7.1内容精华250

4.7.2典型例题253

习题4.7258

补充题四259

5章矩阵的相抵与相似263

5.1等价关系与集合的划分263

5.1.1内容精华263

5.1.2典型例题265

习题5.1268

5.2矩阵的相抵268

5.2.1内容精华268

5.2.2典型例题270

习题5.2277

5.3广义逆矩阵278

5.3.1内容精华278

5.3.2典型例题281

习题5.3284

5.4矩阵的相似286

5.4.1内容精华286

5.4.2典型例题288

习题5.4295

5.5矩阵的特征值和特征向量296

5.5.1内容精华296

5.5.2典型例题299

习题5.5308

5.6矩阵可对角化的条件310

5.6.1内容精华310

5.6.2典型例题312

习题5.6321

5.7实对称矩阵的对角化323

5.7.1内容精华323

5.7.2典型例题325

习题5.7331

补充题五331

6章二次型·矩阵的合同337

6.1二次型和它的标准形337

6.1.1内容精华337

6.1.2典型例题340

习题6.1356

6.2实二次型的规范形357

6.2.1内容精华357

6.2.2典型例题360

习题6.2366

6.3正定二次型与正定矩阵366

6.3.1内容精华366

6.3.2典型例题370

习题6.3379

补充题六380

习题答案与提示383

参考文献522

高等代数学习指导书（二版：下册）

本套书是大学“高等代数”课程的辅导教材,是作者从事教学、科研工作38年的经验和心得的结晶,也是作者在北京大学进行“高等代数”课程建设和教学改革的成果。本套书按照数学思维方式编写,着重培养数学思维能力,内容丰富、全面、深刻,阐述清晰、详尽、严谨,可以使读者在高等代数理论上和科学思考能力上都达到相当的高度。

本套书以研究线性空间和多项式环的结构及其态射(线性映射,多项式环的通用性质)为主线,遵循高等代数知识的内在规律和学生的认知规律安排内容结构。上册内容包括线性方程组,行列式,n 维向量空间Kn,矩阵的运算,欧几里得空间Rn,矩阵的相抵和相似,以及矩阵的合同与二次型。下册内容包括一元和n 元多项式环,环和域的概念;域上的线性空间,线性映射(包括线性变换和线性函数);具有度量的线性空间(欧几里得空间、酉空间、正交空间和辛空间)及其上的线性变换(正交变换、对称变换、酉变换、Hermite变换、辛变换),群的概念(介绍正交群、酉群、辛群);多重线性代数(包括线性空间的张量积,线性空间V 上的张量代数和外代数)。书中每节均包括内容精华、典型例题、习题3部分,每章末(除11章外)有补充题。下册总计有1238道题,可从中选择一部分作为习题课上的题目和课外作业。

本套书可作为综合大学、高等师范院校和理工科大学的“高等代数”课程的教材,也可作为“高等代数”或“线性代数”课程的教学参考书,是想把高等代数学得*的学生的*书籍,也是数学教师和数学工作者高质量的参考书。

 

7章 一元和n元多项式环……………………………………………………………… 1

 7.1 一元多项式环……………………………………………………………………… 1

 7.2 整除关系,带余除法……………………………………………………………… 13

 7.3 *大公因式……………………………………………………………………… 22

 7.4 不可约多项式,*因式分解定理……………………………………………… 37

 7.5 重因式…………………………………………………………………………… 43

 7.6 一元多项式的根,复数域上的不可约多项式…………………………………… 49

 7.7 实数域上的不可约多项式,实系数多项式的实根……………………………… 68

 7.8 有理数域上的不可约多项式…………………………………………………… 79

 7.9 n元多项式环…………………………………………………………………… 95

 7.10 n元对称多项式……………………………………………………………… 109

 *7.11 结式…………………………………………………………………………… 127

 7.12 域与域上的一元多项式环…………………………………………………… 142

 补充题七……………………………………………………………………………… 169

8章 线性空间………………………………………………………………………… 173

 8.1 域F 上线性空间的基与维数………………………………………………… 174

 8.2 子空间及其交与和,子空间的直和…………………………………………… 222

 8.3 域F 上线性空间的同构……………………………………………………… 258

 8.4 商空间…………………………………………………………………………… 275

 补充题八……………………………………………………………………………… 284

9章 线性映射………………………………………………………………………… 287

 9.1 线性映射及其运算……………………………………………………………… 287

 9.2 线性映射的核与象……………………………………………………………… 305

 9.3 线性映射和线性变换的矩阵表示……………………………………………… 316

 9.4 线性变换的特征值和特征向量,线性变换可对角化的条件………………… 346

9.5 线性变换的不变子空间,Hamilton—Cayley定理……………………………… 367

 9.6 线性变换和矩阵的*小多项式………………………………………………… 392

 9.7 幂零变换的Jordan标准形…………………………………………………… 418

 9.8 线性变换的Jordan标准形…………………………………………………… 432

 *9.9 线性变换的有理标准形………………………………………………………… 466

 9.10 线性函数与对偶空间………………………………………………………… 496

 补充题九……………………………………………………………………………… 516

10章 具有度量的线性空间…………………………………………………………… 519

 10.1 双线性函数…………………………………………………………………… 519

 10.2 欧几里得空间………………………………………………………………… 563

 10.3 正交补,正交投影……………………………………………………………… 594

 10.4 正交变换与对称变换………………………………………………………… 609

 10.5 酉空间,酉变换,Hermite变换,正规变换…………………………………… 636

 *10.6 正交空间与辛空间…………………………………………………………… 698

 *10.7 正交群,酉群,辛群…………………………………………………………… 721

 补充题十……………………………………………………………………………… 737

 *应用天地:酉空间在量子力学中的应用……………………………………………… 738

*11章 多重线性代数………………………………………………………………… 773

 11.1 多重线性映射………………………………………………………………… 773

 11.2 线性空间的张量积…………………………………………………………… 781

 11.3 张量代数……………………………………………………………………… 803

 11.4 外代数………………………………………………………………………… 810

 *应用天地:张量积在量子隐形传态中的应用………………………………………… 826

习题答案与提示…………………………………………………………………………… 833

 7章 一元和n元多项式环……………………………………………………… 833

 8章 线性空间…………………………………………………………………… 860

 9章 线性映射…………………………………………………………………… 882

 10章 具有度量的线性空间……………………………………………………… 934

参考文献…………………………………………………………………………………… 969        

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《高等代数精要：理论解析与典型例题》 编著者： (此处省略编著者信息，旨在突出内容而非作者) 图书简介： 本书旨在为学习高等代数课程的学生提供一套系统、深入且实用的学习辅助材料。我们深刻理解高等代数作为一门抽象性与逻辑性极强的学科，对初学者而言可能存在一定的挑战。因此，本书并非简单地罗列习题或公式，而是致力于在清晰阐释核心概念的基础上，引导读者理解高等代数背后的思想脉络，掌握解决问题的关键技巧，从而真正构建起扎实的高等代数知识体系。 本书特色与内容解析： 一、 理论深度与广度并重： 本书在内容编排上，严格遵循高等代数课程的经典框架，涵盖了线性代数、多项式理论、域扩张、伽罗瓦理论等核心章节。然而，我们并不满足于对教材内容的简单复述，而是力求在每一个知识点上都进行深入的剖析。 核心概念的透彻解读： 对于线性空间的基、维数、线性映射、矩阵、行列式、特征值与特征向量、内积空间、二次型等基本概念，本书不仅给出了严格的定义，更通过多角度的解释，类比生活中的直观理解，以及与其他相关概念的联系，帮助读者打破抽象壁垒，建立清晰的数学图像。例如，在线性空间一章，我们会详细阐述向量空间的定义和性质，深入探讨子空间、线性无关组、基和维数的内在联系，并提供多种构造基的方法和证明思路。在特征值与特征向量部分，我们不仅仅介绍计算方法，更强调其几何意义和在实际问题中的应用，例如对角化如何简化矩阵运算，以及特征值在稳定性分析等领域的角色。 定理证明的精细引导： 高等代数中的许多定理是理解该学科体系的关键。本书在引用重要定理时，都会提供清晰、严谨且易于跟随的证明过程。我们注重分解证明步骤，解释每一步的逻辑依据，并突出证明中的关键技巧和思想。对于一些难度较大的证明，我们还会提供多种证明思路，或者对比不同证明方法的优劣，以帮助读者培养独立思考和解决问题的能力。例如，在讨论线性无关组的性质或矩阵秩的性质时，我们会提供清晰的逻辑推理链条，并指出证明过程中的核心要素。 理论体系的融会贯通： 高等代数并非孤立的知识点集合，而是一个紧密联系的理论体系。本书在讲解过程中，会不断强调不同章节、不同概念之间的内在联系。例如，我们会展示线性映射与矩阵之间的对应关系，以及如何利用矩阵的性质来刻画线性映射；我们会探讨多项式理论在域扩张问题中的作用，以及伽罗瓦群如何刻画域扩张的对称性。通过这种体系化的讲解，读者能够建立起对高等代数整体的宏观认识，避免“只见树木不见森林”的困境。 二、 典型例题的精选与解析： 理论学习离不开习题的训练，而选择有代表性、能体现核心思想的例题尤为重要。本书精心挑选了大量不同难度、不同类型的典型例题，并对其进行详尽的解析。 例题的分类与选取： 例题的设计不仅覆盖了基本计算、概念应用，更包含了许多能够启发思路、提升理解深度的综合性题目。我们会将例题按照知识点和解题方法进行分类，方便读者在学习特定章节后进行针对性练习。例如，针对线性方程组的求解，我们会提供不同系数矩阵结构下的例题，并演示高斯消元法、克拉默法则等不同求解方法的适用性。 解题思路的层层剖析： 对于每一个例题，本书都提供了清晰、细致的解题步骤和思路分析。我们不仅仅给出答案，更重要的是解释“为什么这样做”。这包括： 题意理解与关键信息提取： 分析题目所问，识别出题目中的已知条件和待求量。 解题方法的选择与论证： 引导读者思考可以使用哪些相关的理论和方法，并说明选择某种方法的原因。 具体运算过程的展示： 清晰地展示每一步的计算过程，避免跳步，并对易错点进行提示。 结果的检验与讨论： 对所得结果进行合理性检验，并对结果的意义进行简要讨论。 解题思想的提炼： 总结该例题所体现的核心解题思想或技巧，帮助读者触类旁通。 常见错误分析： 在例题解析中，我们还会穿插对学习者在解题过程中可能遇到的常见错误进行分析和警示，帮助读者提前规避陷阱，提高解题的准确性。 三、 学习方法的指导与启发： 本书不仅关注知识的传授，更注重培养读者的数学思维和学习能力。 启发式学习引导： 在讲解理论和例题时，我们会适时提出问题，引导读者主动思考，而不是被动接受。例如，在介绍某个新概念时，会先抛出一些与此相关的问题，激发读者的探索欲。 数学思想的渗透： 通过例题和理论的结合，本书会潜移默化地将高等代数中的一些核心数学思想传递给读者，例如构造性证明、化归思想、对称性应用等。 学习路径的建议： 在每章开头或结尾，我们会提供该章的学习重点、难点以及建议的学习方法，帮助读者合理规划学习进度，高效掌握知识。 融会贯通的提示： 强调知识点之间的联系，鼓励读者将新学知识与已学知识进行对比和整合，形成完整的知识网络。 本书适用对象： 本书适用于所有学习高等代数课程的学生，包括但不限于： 高等院校数学类专业本科生： 作为教材的有力补充，深化理解，提升解题能力。 非数学类专业学生： 需要学习高等代数课程，希望建立扎实基础，理解抽象概念。 考研学生： 针对考研数学中高等代数部分的复习，提供系统化的理论梳理和题型训练。 数学爱好者： 对高等代数感兴趣，希望深入了解其理论体系和思想的读者。 总结： 《高等代数精要：理论解析与典型例题》是一本集理论讲解、例题分析、学习指导于一体的学习辅助读物。我们力求以清晰的逻辑、深入的剖析和丰富的实例，帮助读者跨越高等代数的门槛，领略其严谨而迷人的数学魅力，最终在理论理解和问题解决两方面都获得显著提升。本书将是您高效学习高等代数的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，一开始拿到这套书，我对它的期望值是“看完教材后，用来查漏补缺”。但实际使用下来，我发现它远不止于此。它更像是一个“循循善诱”的老师，能够在我迷茫的时候，点拨我；在我卡壳的时候，给我提示；在我想要深入理解的时候，提供更丰富的视角。 我尤其欣赏指导书在处理证明题时的技巧。它不会直接给出完整的证明过程，而是先分析问题的本质，再给出证明的思路和关键步骤，最后才将完整的证明呈现出来。这种“由浅入深”的方式，让我能够自己去尝试，去思考，而不是被动地接受。当我能够独立完成一道题的证明时，那种成就感是无法言喻的。

评分☆☆☆☆☆

这本书最大的价值在于它能够帮助我理清思路，构建知识体系。很多时候，我在看教材的时候，虽然能理解单个的定义和定理，但总觉得它们之间联系不够紧密，知识点是零散的。而这本指导书，就像一座桥梁，将那些孤立的知识点串联起来，让我能够更清晰地看到高等代数这门学科的宏观结构。 它不仅仅是“刷题”的工具书，更像是“思考”的伙伴。作者在讲解过程中，会不断抛出一些问题，引导读者去思考，去探索。这比直接给出答案更能激发我的学习主动性。有时候，一道题看了指导书的解析，虽然明白了怎么做，但我会停下来，回过头去想，为什么可以用这种方法？有没有其他的可能性？这种思考过程，才是真正将知识内化的关键。

评分☆☆☆☆☆

读完这套《高等代数学习指导书》，我最大的感受就是，学习高等代数不再是一件令人生畏的事情。它让原本抽象的概念变得生动，让复杂的证明变得清晰，让零散的知识点融会贯通。这本书的编写风格非常适合数学专业本科生，甚至是研究生。 上册内容涵盖了从基础的线性代数到更高级的主题，每一步的讲解都非常细致。下册则进一步深入，涉及到抽象代数的精髓。我个人特别喜欢它对一些定理的直观解释，往往一个看似晦涩的定理，在指导书的图示和文字解释下，就变得很容易理解。这对于我这样视觉型学习者来说，简直是福音。而且，书中对于不同章节之间的联系也做了很好的梳理，让我能够理解高等代数是一个整体，而非孤立的知识点集合。

评分☆☆☆☆☆

下册的内容则更具挑战性，涉及到了群、环、域、线性空间、线性变换、二次型等更抽象的概念。坦白说，刚开始看的时候，脑子有点跟不上。那些定义和定理，读起来就像天书一样。但好在，指导书的作者似乎预料到了我们这些“小白”会遇到什么样的困难。他们在讲解抽象概念时，会穿插很多生动的例子，或者从更基础的知识点出发，层层递进地引入。我印象最深的是关于群论的部分，一开始只是觉得它是数学中的一个小小分支，但随着指导书的深入讲解，我才体会到它在整个数学体系中的重要性，以及它背后蕴含的对称性和结构。 这本书还有一个很棒的地方，就是它对数学史的适度穿插。在介绍某些概念的起源和发展时，会简单提及相关的数学家和他们的贡献。这不仅增加了阅读的趣味性，也让我觉得数学不再是冷冰冰的符号和公式，而是人类智慧的结晶，有着鲜活的故事。当然，也正是因为这些内容，让我在学习过程中，不至于觉得过于枯燥乏味。

评分☆☆☆☆☆

我一直对高等代数这门课充满敬畏，又夹杂着一丝好奇。这次终于下定决心，要好好啃下它。我选择的是丘维声先生的《高等代数学习指导书》，之所以选择这本书，很大程度上是因为它的配套性质，听说这是《高等代数课程教程》的官方辅导用书。拿到书的时候，第一感觉就是厚重，两册摞在一起，沉甸甸的，仿佛里面蕴藏着整个数学世界的奥秘。 翻开上册，前几章的内容，比如线性方程组、行列式，这些我之前在本科阶段接触过一些基础概念，但感觉这次的讲解更加深入和系统。指导书的特点很明显，它不像纯粹的教材那样直给，而是以一种引导性的方式，一步步地剖析概念，解释定理，提供解题思路。书中大量的例题和习题，让我觉得仿佛有一个经验丰富的老师在身边随时指导。我特别喜欢它对一些容易混淆的概念进行的辨析，比如矩阵的秩和线性无关组的秩，之前我总是觉得似是而非，但看了这里的解释，豁然开朗。