2019考研數學湯傢鳳考研數學全國碩士研究生招生考試綫性代數輔導講義 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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湯傢鳳 著

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店鋪： 文都教育官方旗艦店

齣版社： 原子能齣版社

ISBN：9787502286675

商品編碼：21776941384

開本：16開

齣版時間：2017-12-05

《穿越綫性之海：徵服考研數學的利器》 第一章：嚮量空間與綫性變換——搭建數學的骨架 嚮量空間的基石： 本章將帶你深入理解嚮量空間的本質。我們不再滿足於將嚮量僅僅看作是具有方嚮和大小的箭頭，而是將其升華為一個充滿結構和規律的抽象集閤。我們將從基本定義齣發，詳細闡述嚮量空間的綫性組閤、綫性無關、基與維數等核心概念。你將學會如何辨識一個集閤是否構成嚮量空間，如何尋找嚮量空間的基，以及如何度量嚮量空間的“大小”——維度。我們將通過大量精心設計的例題，幫助你理解這些抽象概念的幾何意義和代數特性，例如 $mathbb{R}^n$ 空間、多項式空間、函數空間等，讓你在腦海中構建起清晰的嚮量空間模型。 綫性變換的魔力： 在理解瞭嚮量空間之後，綫性變換的引入將為你打開一扇通往更高維度數學世界的大門。我們將揭示綫性變換如何將一個嚮量空間映射到另一個嚮量空間，並且保持嚮量加法和標量乘法的結構不變。你將學習到綫性變換的充要條件，如何錶示綫性變換的矩陣，以及矩陣與綫性變換之間的深刻聯係。我們將深入探討綫性變換的核（Kernel）和像（Image），理解它們在刻畫變換性質中的重要作用。通過對不同類型綫性變換（如鏇轉、伸縮、投影）的分析，你將領略到綫性變換在幾何和代數領域的強大錶現力，並為後續理解更復雜的數學模型打下堅實基礎。 矩陣與嚮量空間的關係： 本章的重點之一在於揭示矩陣作為綫性變換的載體，在嚮量空間中的具體體現。你將學習如何通過矩陣來描述和實現綫性變換，以及如何通過矩陣的運算來研究綫性變換的性質。我們將講解矩陣的秩與嚮量空間的維數之間的關係，理解列空間、行空間和零空間如何反映矩陣的本質。通過對矩陣乘法、逆矩陣、伴隨矩陣等運算的深入剖析，你將掌握用矩陣這一強大工具來分析和解決綫性代數問題的核心方法。 第二章：行列式與矩陣——解析數的精密工具 行列式的定義與性質： 行列式，作為刻畫方陣“大小”和“方嚮”的強大工具，在本章中將得到詳盡的介紹。我們將從最基本的二階、三階行列式開始，逐步引入n階行列式的代數定義，並詳細闡述其各項重要性質，如行（列）交換、倍乘、相加對行列式值的影響，以及行列式與矩陣可逆性的關聯。你將學習到通過展開定理、行（列）變換等方法高效計算行列式，並理解行列式的幾何意義——它錶示由矩陣的列嚮量（或行嚮量）構成的平行多麵體的有嚮體積。 矩陣的逆與伴隨矩陣： 逆矩陣是綫性方程組求解和矩陣分析的基礎。本章將深入講解矩陣可逆的充要條件，並介紹多種求解逆矩陣的方法，包括初等行變換法、伴隨矩陣法等。你將深刻理解伴隨矩陣的構造及其與逆矩陣的關係，掌握如何通過伴隨矩陣快速求得逆矩陣。這將極大地提升你解決涉及矩陣求逆問題的能力，為後續的方程組求解和特徵值分析奠定基礎。 矩陣的秩與綫性方程組： 矩陣的秩是衡量矩陣“有效性”的關鍵指標。本章將詳細闡述矩陣秩的定義，並介紹通過初等行變換等方法來求解矩陣秩。更重要的是，我們將把矩陣秩與綫性方程組的解的存在性及解的個數聯係起來。你將學習如何利用增廣矩陣的秩和係數矩陣的秩來判斷綫性方程組是否有解、有唯一解還是有無窮多解，並掌握求齣所有解（包括通解和特解）的係統方法。這將是你解決考研數學中絕大多數綫性方程組問題的核心依據。 第三章：特徵值與特徵嚮量——揭示矩陣的內在規律 特徵值與特徵嚮量的定義與計算： 特徵值和特徵嚮量是理解矩陣內在結構和性質的關鍵。本章將嚴謹地定義特徵值和特徵嚮量，並詳細講解如何通過求解特徵方程來計算一個矩陣的特徵值。你將學習到如何根據特徵值計算對應的特徵嚮量，並理解特徵嚮量的幾何意義——它們是經過綫性變換後方嚮不變的嚮量（隻發生伸縮）。我們將通過大量實例，讓你熟練掌握特徵值與特徵嚮量的求解技巧。 特徵值與特徵嚮量的應用： 特徵值與特徵嚮量的應用極其廣泛。本章將著重介紹它們在對角化、二次型化簡等方麵的應用。你將學習到如何判斷一個矩陣是否可以對角化，以及如何找到相似對角矩陣。對角化不僅能簡化矩陣運算，還能揭示矩陣的本質。此外，我們還將深入探討特徵值與特徵嚮量在二次型化簡中的作用，學習如何通過正交變換將二次型化為標準型，從而分析二次型的正定性等性質。 齊次綫性方程組與非齊次綫性方程組的解法： 在前幾章的基礎上，本章將集中解決綫性方程組的求解問題。我們將係統梳理齊次綫性方程組的解空間概念，理解零空間與齊次綫性方程組解集的關係，並掌握求齣所有解（基礎解係）的方法。對於非齊次綫性方程組，我們將結閤矩陣的秩和增廣矩陣的秩，以及特徵值與特徵嚮量的知識，係統講解求齣特解和通解的完整步驟。你將學會如何清晰地錶達綫性方程組的解集，並能靈活運用各種方法應對不同類型的綫性方程組。 第四章：嚮量空間與子空間——綫性代數的抽象世界 嚮量空間的基與維數： 嚮量空間的基是描述該空間的最簡潔、最基本的一組嚮量。本章將深入探討嚮量空間的基的概念，理解基嚮量的綫性無關性和張成性。你將學會如何尋找給定嚮量集閤的基，並計算嚮量空間的維數。維數是衡量嚮量空間“大小”的重要概念，你將通過具體例子來理解不同類型嚮量空間的維數，例如 $mathbb{R}^n$ 的維數，多項式空間的維數等。 子空間的性質與運算： 子空間是嚮量空間內部的“小世界”。本章將詳細介紹子空間的定義及其重要性質，例如子空間自身的綫性組閤、綫性無關等。你將學習如何判斷一個子集是否構成一個嚮量空間，以及如何求解子空間的基和維數。我們將深入研究嚮量空間的和、交、差等運算，理解這些運算如何構建齣新的子空間，並分析它們的維度關係。 同構與同態： 抽象的嚮量空間之間可能存在著深刻的聯係。本章將引入同構和同態的概念，幫助你理解不同嚮量空間之間的結構相似性。你將學習到如何判斷兩個嚮量空間是否同構，以及同構在研究嚮量空間性質上的重要作用。這將幫助你從更宏觀的視角去理解綫性代數的結構，發現不同數學領域之間的共性。 第五章：二次型——多項式的幾何解讀 二次型的定義與矩陣錶示： 二次型是描述多元二次函數的重要工具。本章將從最基本的定義齣發，為你清晰地闡述二次型的概念，並重點講解如何將其寫成矩陣乘法的形式。你將學習到如何根據二次項係數和交叉項係數構建二次型矩陣，以及矩陣的對稱性在二次型中的重要意義。 標準型與規範型： 將二次型化為標準型是理解其性質的關鍵步驟。本章將詳細介紹如何通過正交變換將二次型化為標準型，即消去交叉項。你將學習到特徵值與特徵嚮量在二次型化簡中的核心作用，以及如何通過求解矩陣的特徵值來得到標準型中的係數。我們還將介紹規範型，即進一步化為隻含平方項且係數為±1或0的形式，這有助於我們更直觀地理解二次型的性質。 二次型的正定性判斷： 二次型的正定性是其在優化、穩定性分析等領域的重要性質。本章將為你提供多種判斷二次型正定性的方法，包括通過標準型中係數的正負號、順序主子式的符號以及矩陣的特徵值符號。你將深刻理解這些方法之間的聯係，並能熟練地運用它們來判斷二次型的正定性、半正定性等。 本書特色： 概念清晰，層層遞進： 我們遵循從具體到抽象、由淺入深的原則，力求將每一個概念都講透徹，並輔以豐富的幾何直觀和實際例子，幫助你建立起堅實的數學模型。 方法係統，技巧精煉： 在講解理論知識的同時，我們高度重視解題方法的訓練。書中匯集瞭大量經典例題和易錯點分析，並提煉齣高效的解題技巧，幫助你做到舉一反三，快速準確地解決各類考研數學難題。 邏輯嚴謹，體係完整： 本講義的編排嚴格遵循綫性代數知識體係的內在邏輯，確保知識點之間的銜接自然流暢，前後呼應。學習完本書，你將對綫性代數有一個全麵、係統的認識。 緊扣考綱，直擊要點： 所有內容均緊密圍繞考研數學綫性代數科目的考試大綱進行編寫，重點突齣考查頻率高、難度大的知識點和題型，助你精準備考，事半功倍。 本書目標讀者： 所有參加全國碩士研究生招生考試的考生，特彆是對綫性代數感到吃力，需要係統梳理、深入理解並掌握解題技巧的考生。無論你是初次接觸綫性代數，還是希望鞏固和提升現有水平，本書都將是你不可或缺的學習夥伴。 使用建議： 在學習過程中，請務必動手演算例題，嘗試獨立完成練習題。將理論與實踐相結閤，纔能真正將知識內化為自己的能力。遇到睏難時，不要氣餒，多迴顧前麵章節的知識點，嘗試從不同角度去理解。 相信通過本書的學習，你一定能夠剋服綫性代數的挑戰，自信地邁嚮考研成功的彼岸！