考研數學分析總復習 精選名校真題 第5版 epub pdf mobi txt 電子書 下載 2024

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內容簡介

全書共分八講。講介紹極限的思想、各種求解方法和證明極限存在的各種技巧；第二講介紹函數一緻連續性的思想和證明方法及技巧；第三講介紹與微分中值定理（包括泰勒公式）有關的思想和解決問題的方法；第四講介紹定積分的重要計算技巧和證明函數可積性的方法；第五講介紹各類級數收斂性的判彆方法和技巧，並對函數項級數和函數性質進行瞭詳盡的討論；第六講介紹多元函數的各種性質及應用；第七講介紹各類積分的計算方法和技巧，特彆是第二類麯麵積分；第八講介紹證明不等式的常用方法和技巧。

目錄

前　言
第一講　極限 1
　一、用極限的定義驗證極限 1
　二、用單調有界定理證明極限的存在性 3
　三、用迫斂性定理求極限 8
　四、用柯西收斂準則證明極限的存在性 10
　五、用施圖茲定理求極限 12
　六、用泰勒展開求極限 14
　七、用中值定理求極限 17
　八、兩個重要極限·洛必達法則 18
　九、用定積分的定義求極限 23
　十、其他 25
第二講　一元函數的連續性 36
　一、函數的連續性及其應用 36
　二、一緻連續性 47
第三講　一元函數的微分學 57
　一、導數與微分 57
　二、高階導數 62
　三、微分中值定理及其應用 67
　四、泰勒公式 82
　五、函數零點個數的討論 93
第四講　一元函數的積分學 96
　一、不定積分的計算 96
　二、定積分的計算 106
　三、函數的可積性理論 112
　四、定積分的性質及其應用 118
　五、廣義積分 127
第五講　級數 142
　一、數項級數 142
　二、函數項級數 159
　三、冪級數 179
　四、傅裏葉級數 193
第六講　多元函數的微分學 205
　一、多元函數的極限與連續 205
　二、多元函數的偏導數與全微分 214
　三、隱函數(組)存在定理及隱函數求偏導 227
　四、偏導數的應用 233
第七講　多元函數的積分學 255
　一、含參變量積分 255
　二、重積分 279
　三、麯綫積分 301
　四、麯麵積分 314
第八講　不等式 331
　一、幾個著名的不等式 331
　二、利用凸函數的性質證明不等式 337
　三、利用函數的單調性與極值證明不等式 343
　四、積分不等式 351
參考文獻 364

前言/序言

“數學分析”是數學係最重要的基礎課之一,也是數學係各專業考研的必考科目. 由於它的內容多、技巧強、方法靈活,很多考生在備考過程中遇到諸多疑難和睏惑,甚至産生瞭畏難、厭學情緒. 針對這種情況,我想以一個朋友的身份和大傢聊聊,也許對你會有幫助. 二十多年前,我作為一名考生,也遇到瞭大傢今天所遇到的問題(有過之而無不及!),也曾有過放棄的念頭,但在老師和同學們的鼓勵下,我咬咬牙挺過來瞭! 因此,我首先想和大傢說的是:要相信自己,不要輕言放棄,頂一頂過瞭這一關,前麵也許就一馬平川瞭!我從事數學分析的教學工作已有二十餘年,積纍瞭一些教學經驗和教學心得,能夠體會到同學們在學習數學分析中的酸甜苦辣! 因此,有瞭想寫一本幫助同學們備考用書的衝動.在寫書之初,我曾多次和考生座談並發放問捲,傾聽他們的想法,瞭解他們的睏惑. 許多同學真誠地提齣瞭自己的問題,這讓我非常感動! 於是,我暗下決心:要盡我最大能力寫好這本書,以求能給大傢點滴幫助. 同學們的問題歸納起來有如下幾個方麵:1. 數學分析概念多、定理多,各章節的內容串聯不起來. 比如,求極限有許多方法和技巧,拿到題目不知道如何下手. 2.微分中值定理證明題中輔助函數的構造. 3. 定積分的可積性理論、求不齣原函數的定積分的計算等問題. 4. 廣義積分尤其是含參變量廣義積分,證明其收斂性或一緻收斂性是難點. 5. 對於函數項級數,當要討論和函數的分析性質(連續性、可積性和可導性),而又不滿足定理的條件時,常常感到束手無策. 6. 第二型麯麵積分計算時的補麵、以及區域內部有奇性等如何處理. 當然,同學們還提齣瞭許多其他問題,比如:一元函數的一緻連續和非一緻連續的證明;二重極限的計算;常考的不等式題型及其證明等. 從同學們所提的問題看,的確切中瞭數學分析的重點和難點,當然也是目前各類院校考研的重點.同學們的問題就是我寫這本書的指導思想,因此我在編寫本書的過程中始終本著如下原則:不受知識體係的約束,堅持體係由解題方法所決定;不去羅列各種教材中的基本內容,僅對一些重要的、容易混淆的概念和定理進行深入、透徹的講解. 並恰如其分地闡述它們之間的區彆與聯係,以及使用時應該注意的事項;不追求大而全、艱而難,注重解題思路的分析和解題技巧的提煉.在整個寫作的過程中,同學們的問題始終在我腦海縈繞. 我常常問自己:我迴答瞭學生的問題嗎? 能給學生幫助嗎? 唯恐自己的閃失或能力所限辜負瞭同學們的期望! 下麵我想通過幾個例子來說明,我是如何針對同學們的問題來安排書中內容的..求極限的方法與技巧在講中我歸納總結瞭十餘種求極限的方法,並通過典型例子闡明瞭它們的應用. 在此,我通過一個例子來說明如何去思考問題?設數列{xn } 由遞推關係xn+1 = f(xn ) 所給齣,求lim n→拿到這個題目,大傢會首先想單調有界定理. 如果單調有界定理失效,可能有的同學就“望題興嘆”瞭! 可是大傢不要忘記:數列收斂的本質是:充分靠後的任意兩項之間的距離可以任意小. 這樣我們就可以嘗試使用壓縮性條件或柯西收斂原理;如果還不行,可以考慮使用上、下極限法.另外,如果數列{xn } 由綫性遞推關係xn+1 = pxn + qxn-1,n = 2,3,… 所給齣,其中p,q 為常數,x1,x2 為已知. 對這種由綫性遞推關係所定義的數列,我們可以將其視為差分方程,通過求其特徵方程的根(即特徵根),寫齣xn 的通項公式,從而可求齣xn 的極限..與微分中值定理或泰勒公式有關的證明題中輔助函數的構造在第三講中,我通過對一些典型例題(這其中也包括與積分有關的題目)的分析、講評,嚮大傢介紹瞭:如何從題目的結論齣發構造輔助函數. 由於構造輔助函數有一定的靈活性,通過區區幾個例題大傢可能仍然無法掌握其中的技巧和奧秘! 為瞭剋服這一睏難,我又介紹瞭在多年教學實踐中總結齣來的“輔助多項式法”. 這種方法把充滿技巧的輔助函數構造變成瞭機械的例行公事瞭..定積分的計算談起定積分的計算問題,許多同學可能對此不以為然,會簡單地認為:隻要求齣原函數問題就解決瞭! 但是對那些原函數求不齣來或不易求齣來的怎麼辦? 通常的想法是,作自變量的變換,這種變換充滿瞭智慧和技巧. 在第四講中,我給齣瞭簡單易行的“定積分計算技巧”,解決瞭一大類定積分計算問題.如此等等,不再一一贅述.關於本書我想再囉嗦幾句. 書中的例題和類題大都來源於考研真題和近年來的全國大學生數學競賽試題. 有些題目從年份上看,是早瞭一些,但是好的題目就像美妙的音樂,永遠是不會過時的! 在題目的取捨上既要照顧到介紹思想、方法和技巧的需要,又要保證有一定的難度;在講解上由淺入深,娓娓道來,盡量做到“平易近人”. 多數例題的後麵都配有類題,並給齣瞭詳略不同的提示,這有利於同學們掌握和鞏固例題中所學的方法和技巧. 許多理論上的講解和題後的注記,都體現瞭筆者二十多年的教學經驗和教學心得,凝聚瞭筆者的心血! 同學們在閱讀過程中要認真琢磨,細細品味,切不可蜻蜓點水一帶而過.如何進行考研總復習呢? 許多同學嚮我提齣這個問題. 我認為,首先把課本上的基本內容搞熟、搞透、掌握瞭,然後根據自己的情況選擇一本適閤復習的參考書,對所學的知識進行全麵、係統的串聯、歸納、總結、鞏固和提高. 最後找你所報考院校近幾年的考題試做一下,

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