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内容简介

《偏微分方程的有限差分方法》以抛物型方程、双曲型方程和椭圆型方程为基本模型，系统地阐述有 限差分方法的基础理论和主要格式。在详细介绍每个格式的时候，一些重要的 数值设计思想和理论分析技术得到详尽的讨论，有限差分方法同其他数值方法 的联系与区别也得到简要的论述。《偏微分方程的有限差分方法》既注重理论的严谨性，也关注算法的实 现细节；内容既注重历史的发展轨迹，也关注*新的研究进展。

目录

目录
前言
绪论 1
0.1 数值方法研究的必要性 1
0.2 内容和结构 3
第1章 两个简单格式 6
1.1 古典格式 6
1.1.1 格式构造 6
1.1.2 可行性和效率 9
1.1.3 数值表现 11
1.2 简单推广 14
1.3 总结 16
习题 16
第2章 线性差分格式的基本理论 18
2.1 预备知识 18
2.2 相容性 20
2.2.1 逐点相容性 20
2.2.2 整体相容性 22
2.2.3 导数的差商离散 23
2.3 稳定性 26
2.4 Fourier方法 32
2.4.1 理论背景 32
2.4.2 操作过程 35
2.5 收敛性 38
2.5.1 基本概念 39
2.5.2 Lax-Richtmyer等价定理 40
习题 41
第3章 热传导方程 43
3.1 相容性 43
3.1.1 加权平均格式 43
3.1.2 三层格式 47
3.2 计算效率 53
3.2.1 时间步长的轮替策略 53
3.2.2 显隐格式的交替使用 54
3.2.3 Saul'ev 格式及其应用 58
3.3 误差估计或收敛分析 61
3.3.1 基于强正则性假设 61
3.3.2 弱正则性假设 63
3.4 导数边界条件 66
3.4.1 单侧离散方式 67
3.4.2 双侧离散方式 70
3.4.3 数值表现 72
3.5 初值条件的离散 73
习题 75
第4章 一维扩散方程 77
4.1 具有光滑系数的线性扩散方程 77
4.1.1 非守恒型扩散方程 77
4.1.2 守恒型扩散方程 79
4.1.3 稳定性分析方法 82
4.2 具有间断系数的线性扩散方程 86
4.3 极坐标下的热传导方程 88
4.4 非线性扩散方程 91
习题 93
第5章 高维扩散方程 95
5.1 微分方程的数值离散 95
5.2 边界条件的数值离散 98
5.2.1 矩形区域 99
5.2.2 任意区域 101
5.2.3 高维格式的计算效率 106
5.3 分数步长方法 107
5.3.1 交替方向隐式方法 107
5.3.2 局部一维化方法 113
5.3.3 注释和说明 114
习题 116
第6章 线性常系数对流方程 119
6.1 迎风格式和 Lax-Wendroff格式 119
6.1.1 迎风格式 119
6.1.2 Lax-Wendroff格式 121
6.1.3 稳定性分析方法 122
6.1.4 数值表现 124
6.2 线性常系数差分格式 126
6.2.1 基本数值概念 127
6.2.2 单调格式与数值振荡 128
6.2.3 数值耗散、数值频散和数值振荡 129
6.3 其他著名格式 133
6.3.1 Lax-Friedrichs 格式 133
6.3.2 蛙跳格式 135
6.3.3 盒子格式 138
6.4 人工边界条件 141
习题 143
第7章 线性双曲型方程 145
7.1 线性变系数对流方程 145
7.2 一阶双曲型方程组 148
7.3 二阶声波方程 150
7.3.1 直接离散方式 150
7.3.2 间接离散方式 151
7.3.3 哈密顿系统和辛格式 153
7.4 高维对流方程 155
习题 157
第8章 非线性双曲守恒律 159
8.1 弱解和熵解 159
8.2 守恒型差分格式 162
8.2.1 基于光滑解的格式构造 162
8.2.2 关于间断解的健壮性 167
8.3 有限体积方法 169
8.3.1 基本框架 169
8.3.2 Godunov方法 173
8.4 稳定性和收敛性 177
8.4.1 单调保持格式 178
8.4.2 单调格式 178
8.4.3 TVD格式 179
8.5 TVD修正技术 181
8.5.1 数值通量修正技术 181
8.5.2 数值斜率修正技术 182
习题 184
第9章 发展型方程差分方法综述 185
9.1 对流扩散方程 185
9.1.1 中心差商显格式 185
9.1.2 常用的解决方法 187
9.2 修正方程方法 191
9.3 能量方法 193
习题 196
第10章 椭圆型方程 198
10.1 五点格式 198
10.1.1 规则内点的五点差分方程 198
10.1.2 非规则内点的五点差分方程 199
10.1.3 离散方程组 200
10.1.4 线性方程组的数值解法 201
10.2 最大模估计 205
10.2.1 强最大值原理 205
10.2.2 简单估计 206
10.2.3 精细估计 207
10.3 提高数值精度的方法 209
10.3.1 Richardson外推技术 209
10.3.2 九点格式 210
10.3.3 Kreiss差分格式 210
10.4 有限元方法 211
10.4.1 变分方法的基本理论 212
10.4.2 古典变分法 214
10.4.3 标准有限元方法 216
习题 219
主要参考文献 221
附录 222
A Taylor 级数 222
B Fourier 级数 (积分) 222
C 周期函数的离散 Fourier理论 222
D 线性差分方程的基本理论 223
E 三对角矩阵的特征值 224
F Gronwall不等式 225
G 圆盘定理 225
部分习题答案和提示 226
索引 228

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