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内容简介

　　本书紧密结合现行中小学数学教学内容，对中小学数学中的基本概念、基本理论进行适当的阐述、加深与拓广，力求用较高的数学观点、思想与方法，对初等数学作比较深入的研究，力求使用通俗的语言、严密的论述，结合典型实例研究解题思路与方法，使教材具有较好的可读性与思考性.

　　全书共分11章，包含数、整除与同余、解析式、初等函数、方程、不等式、数列、解析几何、求解与三角形有关的几何量、几何证明，几何作图等内容，每章之后均精选有各种类型和不同梯度的习题，并附有参考答案.

　　本书可作为高等师范院校数学教育专业的教材，也可作为中小学教师继续教育、各类数学教育工作者的参考书.

目录

第1章数

1.1数的扩充

1.1.1自然扩充

1.1.2理论扩充

1.1.3扩充原则

1.2正整数的序数理论

1.2.1皮亚诺公理

1.2.2正整数的运算

1.2.3正整数的性质

1.3数学归纳法

1.4正整数的基数理论

1.5整数

1.6有理数

1.6.1有理数的定义及运算

1.6.2有理数的顺序关系

1.6.3有理数的性质

1.7实数

1.7.1无理数的引入

1.7.2实数的无限小数定义

1.7.3实数的顺序

1.7.4实数的性质

1.7.5区间套定义实数

1.7.6实数的运算

1.8复数

1.8.1复数概念

1.8.2复数的性质

1.8.3复数的应用

1.9多元数

思考与练习题1

第2章整除与同余

2.1整除

2.2同余

2.3中国剩余定理

思考与练习题2

第3章解析式

3.1相关概念

3.2多项式

3.2.1多项式的恒等

3.2.2齐次、对称、轮换、交代多项式

3.2.3多项式因式分解

3.3分式

3.3.1基本概念

3.3.2部分分式

3.4根式

3.4.1基本概念

3.4.2复合二次根式

3.4.3共轭因式

思考与练习题3

第4章初等函数

4.1函数概念

4.1.1相关概念

4.1.2复合函数

4.1.3反函数

4.1.4基本初等函数

4.2初等函数及其分类

4.2.1初等函数

4.2.2初等函数的分类

4.3用初等方法讨论初等函数

4.3.1函数的周期性

4.3.2函数变换

4.4三角函数

4.4.1两角和与差的余弦公式、正弦公式、正切公式

4.4.2倍角公式

4.4.3半角公式

4.4.4积化和差公式与和差化积公式

思考与练习题4

第5章方程

5.1基本概念

5.2整式方程的变换

5.3特殊整式方程的解法介绍

5.3.1二项方程

5.3.2三项方程

5.3.3三次方程

5.3.4四次方程

5.3.5倒数方程

5.4不定方程

5.4.1二元一次不定方程(组)

5.4.2多元一次不定方程

5.4.3非一次不定方程(组)

5.4.4商高不定方程

5.5整式方程组

思考与练习题5

第6章不等式

6.1几个重要的不等式

6.2不等式的证明方法

6.3不等式恒成立问题

思考与练习题6

第7章数列

7.1基本数列

7.1.1等差数列及其简单性质

7.1.2等比数列及其简单性质

7.2递推数列

思考与练习题7

第8章解析几何

8.1直线与圆

8.2椭圆

8.3双曲线

8.4抛物线

8.5圆锥曲线综合应用

思考与练习题8

第9章求解与三角形有关的几何量

9.1基本定理及其等价性

9.2广勾股定理与斯图尔特定理

9.2.1勾股定理

9.2.2广勾股定理

9.2.3斯图尔特定理

思考与练习题9

第10章几何证明

10.1几何证明的常用方法

10.1.1常用方法

10.1.2一题多证

10.2常用几何定理介绍

思考与练习题10

第11章几何作图

11.1作图的基本知识

11.2三大尺规作图不可能问题简介

11.3非尺规作图

11.4不限工具作图

思考与练习题11

思考与练习题参考答案

思考与练习题1

思考与练习题2

思考与练习题3

思考与练习题4

思考与练习题5

思考与练习题6

思考与练习题7

思考与练习题8

思考与练习题9

思考与练习题10

思考与练习题11

参考文献

精彩书摘

　　第3章解析式

　　解析式是中学数学课程的重要内容之一，是在数的概念的基础上发展起来的，是数的概念的进一步抽象与概括，是研究方程、函数的基础.

　　3.1相关概念

　　定义3.1用运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做解析式.解析式又称数学式子，简称式.

　　初等数学里的运算包括初等代数运算和初等超越运算.初等代数运算是指有限次的加、减、乘、除、正整数次乘方、开方.初等超越运算包括无理数次乘方、对数、三角和反三角运算.

　　解析式按字母进行什么运算加以分类.

　　定义3.2在一个解析式中，对字母只进行有限次的代数运算，这个解析式就称为代数式.对字母进行了有限次的初等超越运算，这个解析式就称为初等超越式，简称超越式.

　　下面对代数式作进一步的分类.

　　定义3.3只含有加、减、乘、除、指数为整数的乘方运算的代数式，叫做有理式.

　　只含有加、减、乘(包括非负整数次乘方)运算的有理式叫做有理整式(或多项式).特别地，只含有乘法(包括非负整数次乘方)运算的有理整式，叫做单项式.单独一个数或一个字母也看作单项式.

　　含有除法运算的有理式叫做有理分式.含有开方运算的代数式叫做无理式.

　　这样，在中学范围内解析式可分类如下：

　　解析式代数式有理式有理整式(多项式)

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前言/序言

　　前言　　“初等数学研究”是高等师范院校数学教育专业的必修课程.本书根据“初等数学研究”课程标准的要求进行编写.本书中的初等数学泛指基础教育阶段的中小学数学.本书紧密结合现行中小学数学教学内容，对中小学数学中的基本概念、基本原理、基本方法等基本理论进行适当的阐述、加深与拓广，力求用较高的数学观点、思想与方法，对初等数学作比较深入的研究，力求使用通俗的语言、严密的论述，结合典型实例，使教材具有较好的可读性与思考性，力求在总结自己教学经验的同时充分吸收各位前辈和同仁的经验和方法，丰富本书内容.　　全书共分11章，包含数、整除与同余、解析式、初等函数、方程、不等式、数列、解析几何、求解与三角形有关的几何量、几何证明、几何作图等内容，每章之后均精选有各种类型和不同梯度的习题供读者练习，并附有参考答案.　　本书在编写的过程中，得到了宋杰、简国明、孙宇锋、邓四清、李银等领导的支持和帮助.同事李善佳、罗静、盛维林等老师，岭南师范学院张映姜、陈美英等老师，嘉应学院蔺云、侯新华、陈星荣等老师，肇庆学院王传利、吴振英、苏丽卿等老师，惠州学院沈威、王海清等老师，北京师范大学珠海分校马迎秋老师，韩山师范学院欧慧谋、张磊、黄红梅等老师，五邑大学吴焱生、盛业青、金迎迎等老师，南昌师范学院胡启宙老师，景德镇学院黄顺发老师，新余学院陈裕先老师，萍乡学院程丽萍老师等为本书的编写提出了许多宝贵的建议和热情鼓励，在此表示衷心的感谢.　　本书在出版过程中得到了清华大学出版社的大力支持，特别是清华大学出版社刘颖编审付出了大量的心血.在此表示衷心的感谢.　　本书可作为高等师范院校数学教育专业的教材，也可作为中小学教师继续教育、各类数学教育工作者的参考书.　　本书在编写过程中，引用或参考了现有初等数学研究教材、数学专著、数学丛书、数学论文、数学帖子及中小学教师课堂教学中的内容等方面的内容，在此谨向有关作者表示由衷的谢意.　　由于编者水平有限，错误和缺点在所难免，恳请读者批评指正.　　编者　　2017年5月于广东韶关

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