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內容簡介

EliasM.Stein、RamiShakarchi所著的《復分析》由在國際上享有盛譽普林斯大林頓大學教授Stein等撰寫而成，是一部為數學及相關專業大學二年級和三年級學生編寫的教材，理論與實踐並重。為瞭便於非數學專業的學生學習，全書內容簡明、易懂,讀者隻需掌握微積分和綫性代數知識。本書已被哈佛大學和加利福尼亞理工學院選為教材。

目錄

譯者的話
前言
引言
第1 章　 復分析預備知識 1
1　 復數和復平麵 1
1. 1　 基本性質 1
1. 2　 收斂性 3
1. 3　 復平麵中的集閤 4
2　 定義在復平麵上的函數 5
2. 1　 連續函數 5
2. 2　 全純函數 6
2. 3　 冪級數 10
3　 沿麯綫的積分 13
4　 練習 17
第2 章　 柯西定理及其應用 23
1　 Goursat 定理 24
2　 局部原函數的存在和圓盤內的柯西定理 26
3　 一些積分估值 29
4　 柯西積分公式 32
5　 應用 37
5. 1　 Morera 定理 37
5. 2　 全純函數列 37
5. 3　 按照積分定義全純函數 39
5. 4　 Schwarz 反射原理 40
5. 5　 Runge 近似定理 42
6　 練習 44
7　 問題 47
第3 章　 亞純函數和對數 50
1　 零點和極點 51
2　 留數公式 54
2. 1　 例子 55
3　 奇異性與亞純函數 58
4　 輻角原理與應用 62
5　 同倫和單連通區域 65
6　 復對數 68
7　 傅裏葉級數和調和函數 70
8　 練習 72
9　 問題 75
第4 章　 傅裏葉變換 78
1　 F 類 79
2　 作用在 F 類上的傅裏葉變換 80
3　 Paley.Wiener 定理 85
4　 練習 90
5　 問題 94
第5 章　 整函數 96
1　 Jensen 公式 97
2　 有限階函數 99
3　 無窮乘積 101
3. 1　 一般性 101
3. 2　 例子　 正弦函數的乘積公式 102
4　 Weierstrass 無窮乘積 104
5　 Hadamard 因子分解定理 106
6　 練習 110
7　 問題 113
第6 章　 Gamma 函數和 Zeta 函數 115
1　 Gamma 函數 115
1. 1　 解析延拓 116
1. 2　 Γ 函數的性質 118
2　 Zeta 函數 122
2. 1　 泛函方程和解析延拓 122
3　 練習 127
4　 問題 131
第7 章　 Zeta 函數和素數定理 133
1　 Zeta 函數的零點 134
1. 1　 1／ ζ（s）的估計 137
2　 函數 ψ 和 ψ1 的簡化 138
2. 1　 ψ1 的漸近證明 142
3　 練習 146
4　 問題 149
第8 章　 共形映射 151
1　 共形等價和舉例 152
1. 1　 圓盤和上半平麵 153
1. 2　 進一步舉例 154
1. 3　 帶形區域中的 Dirichlet 問題 156
2　 Schwarz 引理　 圓盤和上半平麵的自同構 160
2. 1　 圓盤內的自同構 161
2. 2　 上半平麵的自同構 163
3　 黎曼映射定理 164
3. 1　 必要條件和定理的陳述 164
3. 2　 Montel 定理 165
3. 3　 黎曼映射定理的證明 167
4　 共形映射到多邊形上 169
4. 1　 一些例子 169
4. 2　 Schwarz.Christoffel 積分 172
4. 3　 邊界錶現 174
4. 4　 映射公式 177
4. 5　 返迴橢圓積分 180
5　 練習 181
6　 問題 187
第9 章　 橢圓函數介紹 192
1　 橢圓函數 193
1. 1　 Liouville 定理 194
1. 2　 Weierstrass 函數 196
2　 橢圓函數的模特徵和 Eisenstein 級數 200
2. 1　 Eisenstein 級數 201
2. 2　 Eisenstein 級數和除數函數 203
3　 練習 205
4　 問題 207
第10 章　 Theta 函數的應用 209
1　 Jacobi Theta 函數的乘積公式 209
1. 1　 進一步的變換法則 214
2　 母函數 216
3　 平方和定理 218
3. 1　 二平方定理 219
3. 2　 四平方定理 224
4　 練習 228
5　 問題 232
附錄 A　 漸近 236
1　 Bessel 函數 237
2　 Laplace 方法　 Stirling 公式 239
3　 Airy 函數 243
4　 分割函數 247
5　 問題 253
附錄 B　 單連通和 Jordan 麯綫定理 256
1　 單連通的等價公式 257
2　 Jordan 麯綫定理 261
2. 1　 柯西定理的一般形式的證明 268
注釋和參考書目 270
參考文獻 273

前言/序言

　　從２０００ 年春季開始， 四個學斯的係列課程在普林斯頓大學講授， 其目的是用統一的方法去展現分析學的核心內容． 我們的目的不僅是為瞭生動說明存在於分析學各個部分之間的有機統一， 還是為瞭闡述這門學科的方法在數學其他領域和其他自然科學的廣泛應用． 本書是對講稿的一個詳細闡述．雖然有許多優秀教材涉及我們覆蓋的單個部分， 但是我們的目標不同： 不是以單個學科， 而是以高度的互相聯係來展示分析學的各種不同的子領域． 總的來說，我們的觀點是觀察到的這些聯係以及所産生的協同效應將激發讀者更好地理解這門學科． 記住這點， 我們專注於形成該學科的主要方法和定理（有時會忽略掉更為係統的方法）， 並嚴格按照該學科發展的邏輯順序進行．我們將分析學的內容分成四冊， 每一冊反映一個學期所包含的內容， 這四冊的書名如下：
　　Ⅰ。。 傅裏葉分析導論．Ⅱ。。 復分析．Ⅲ。。 實分析： 測度論、積分以及希爾伯特空間．Ⅳ。。 泛涵分析： 分析中的幾個論題．但是這個列錶既沒有完全給齣分析學所展現的許多內部聯係， 也沒有完全呈現齣分析學在其他數學分支中的顯著應用． 下麵給齣幾個例子： 第一冊中所研究的初等（有限的） Ｆｏｕｒｉｅｒ 級數引齣瞭Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ 特徵， 並由此使用等差數列得到素數有無窮多個； Ｘ。射綫和Ｒａｄｏｎ 變換齣現在第一冊的許多問題中， 並且在第三冊中對理解二維和三維的Ｂｅｓｉｃｏｖｉｔｃｈ 型集閤起著重要作用； Ｆａｔｏｕ 定理斷言單位圓盤上的有界解析函數的邊界值存在， 並且其證明依賴於前三冊書中所形成的方法； 在第一冊中， θ 函數首次齣現在熱方程的解中， 接著第二冊使用θ 函數找到一個整數能錶示成兩個或四個數的平方和的個數， 並且考慮ζ 函數的解析延拓．對於這些書以及這門課程還有幾何額外的話． 一學期使用４８ 個課時， 在很緊湊的時間內結束這些課程， 每周習題具有不可或缺的作用， 因此， 練習和問題在我們的書中有同樣重要的作用． 每個章節後麵都有一係列“ 練習”， 有些習題簡單，而有些則可能需要更多的努力纔能完成． 為此， 我們給齣瞭大量有用的提示來幫助讀者完成大多數的習題． 此外， 也有許多更復雜和富於挑戰的“問題”， 特彆是用星號標記的問題是最難的或者超齣瞭正文的內容範圍．盡管不同的分冊之間存在大量的聯係， 但是我們還是提供瞭足夠的重復內容，以便隻需要前三本書的極少的預備知識： 隻需要熟悉分析學中初等知識， 例如極前言Ⅴ　限、極數、可微函數和Ｒｉｅｍａｎｎ 積分， 還需要一些有關綫性代數的知識． 這使得對不同學科（如數學、物理、工程和金融） 感興趣的本科生和研究生都易於理解本係列叢書．我們懷著無比喜悅的心情對所有幫助本係列叢書齣版的人員錶示感謝． 我們特彆感謝參與這四門課程的學生． 他們持續的興趣、熱情和奉獻精神所帶來的鼓勵促使我們有可能完成這項工作． 我們也要感謝Ａｄｒｉａｎ Ｂａｎｎｅｒ 和Ｊｏｓｅ Ｌｕｉｓ Ｒｏｄｒｉｇｏ， 因為他們在講授本係列叢書時給予瞭特殊幫助並且努力查看每個班級的學生的學習情況． 此外， Ａｄｒｉａｎ Ｂａｎｎｅｒ 也對正文提齣瞭寶貴的建議．我們還特彆感謝以下幾個人： Ｃｈａｒｌｅｓ Ｆｅｆｆｅｒｍａｎ， 他講授第一周的課程（成攻地開啓瞭這項工作的大門）； Ｐａｕｌ Ｈａｇｅｌｓｔｅｉｎ， 他除瞭閱讀一門課程的部分手稿， 還接管瞭本係列叢書的第二輪教學工作； Ｄａｎｉｅｌ Ｌｅｖｉｎｅ， 他在校對過程中提供瞭有價值的幫助． 最後， 我們同樣感謝Ｇｅｒｒｅｅ Ｐｅｃｈｔ， 因為她很熟練地進行排版並且花瞭時間和精力為這些課程做準備工作， 諸如幻燈片、筆記和手稿．我們還要感謝普林斯頓大學的２５０ 周年紀念基金和美國國傢科學基金會的ＶＩ。ＧＲＥ 項目的資金支持．伊萊亞斯Ｍ。。 斯坦恩拉米·沙卡什於普林斯頓２００２ 年８ 月
　　譯者的話這是我翻譯的第一本書， 而本書的難度又特彆高， 所以， 對我來說真是一個挑戰． 還好有幾位朋友相助， 幫我校正譯稿， 為本書增色不少． 其中最感謝的是夏愛生， 他在忙碌的全職工作之餘， 特彆抽空為我校稿， 我從他專業的翻譯過程中學到瞭不少技巧．本書如果在翻譯上還有未盡人意之處， 那是本人的疏忽， 歡迎各界朋友不吝賜教． 為瞭讓大傢能夠更加理解原書的本意， 我在此列舉齣一些翻譯時我斟酌再三而定的翻譯方式， 可能在彆的書中翻譯會不一樣， 所以把原文也列齣來供大傢參考．ｔｏｙ ｃｏｎｔｏｕｒ， 英文直譯是“玩具， 周綫”， 本書中有時沒有齣現ｔｏｙ 而隻是ｃｏｎ。ｔｏｕｒ， 我都翻譯成“周綫”， 是指麯綫積分的封閉麯綫．ｋｅｙｈｏｌｅ， 英文直譯是“ 鎖眼”， 在本書中是一種麯綫的類型， 如ｔｈｅ ｋｅｙｈｏｌｅｃｏｎｔｏｕｒ， 因為周綫形似鎖眼， 所以我翻譯成“鎖眼周綫”， 再如ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｋｅｙｈｏｌｅ和Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｋｅｙｈｏｌｅ， 我分彆翻譯成“多鎖眼” 和“矩形鎖眼”．ｍｏｄｅｒａｔｅ ｄｅｃｒｅａｓｅ， 英文直譯是“適當地減少”， 在本書中我翻譯成“ 微減”，錶示函數較慢的遞減速度， 它的具體意思在原書的１１２ 頁腳注中給齣．本書第９ 章最後齣現的“ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ ｓｅｒｉｅｓ” 是第１０ 章中用於證明四平方定理的重要方法． 我翻譯成“禁止Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ 級數”， ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ， 英文直譯就是“嚴禁的或禁止的”， 查閱瞭一些參考資料還是不知道該如何翻譯， 所以隻好直譯．最後， 特彆感謝李升老師、陳寶琴老師對本書的修改意見， 由於我們水平有限， 譯文錯誤及不妥之處再次懇請讀者指正．劉真真

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比較多內容，還沒有仔細研究

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失望，翻譯名作找什麼人都放心？魯丁的數分給趙慈庚有不盡人意之處，機械工業你還好意思賣這麼貴！

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這本書的翻譯質量不能再低，和精緻的包裝形成鮮明的反差。

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