從代數基本定理到超越數：一段經典數學的奇幻之旅 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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馮承天 著

圖書標籤:

• 代數基本定理
• 超越數
• 數學史
• 經典數學
• 數學之旅
• 數學普及
• 高等代數
• 數論
• 復變函數
• 數學哲學

齣版社： 華東師範大學齣版社

ISBN：9787567558588

版次：1

商品編碼：12191072

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2017-05-01

用紙：輕型紙

頁數：164

字數：152000

正文語種：中文

編輯推薦

代數基本定理講些什麼？它是如何證明的？

圓周率π是怎樣得齣的？怎樣證明它是一個無理數?怎樣證明它是一個chaoyue數？

自然對數的底e是怎樣定義的？怎樣證明它是一個無理數？怎樣證明它是一個chaoyue數？

請追隨本書，來一次“經典數學的奇幻之旅”！

代數基本定理、chaoyue數的存在，以及π和e都是chaoyue數，這些曾是數學上的重要課題。高斯等對代數基本定理的證明，康托爾、劉維爾對chaoyue數存在的證明，以及埃爾米特和林德曼如何分彆證明瞭“π和e是chaoyue數”，本書試圖將這些知識，係統、簡潔且完美地介紹給廣大數學愛好者。

《從代數基本定理到chaoyue數：一段經典數學的奇幻之旅》試圖幫助讀者掌握多項式理論、域論、尺規作圖理論，以及用分析法和反證法去解決數學問題的一些常用方法，從而體會數學之美。

內容簡介

《從代數基本定理到chaoyue數：一段經典數學的奇幻之旅》試圖在高中數學和微積分初步的基礎上，把多項式理論、綫性代數、域論，以及分析學中的一些概念、理論和方法串在一起詳加論述.從“從求解多項式方程到代數基本定理”、“代數基本定理的證明”、“圓周率π和自然對數底e及其無理性”、“有關多項式與擴域的一些理論”、“代數擴域、有限擴域以及尺規作圖”、“π以及e是chaoyue數”等六個方麵逐步展開，盡可能地用深入淺齣的“詳述”論述和解答上述數學領域有重要意義的各個問題的種種方麵.

《從代數基本定理到chaoyue數：一段經典數學的奇幻之旅》能使讀者在研讀多項式、復變函數、綫性代數，以及域論等一些基本理論的基礎上，通曉代數基本定理和“π和e是無理數，又是chaoyue數”等這樣一些課題，同時也能學到在其他數學分支中也極其有用的許多數學思想、內容和方法.

《從代數基本定理到chaoyue數：一段經典數學的奇幻之旅》可供高中學生、理工科大學生、大中學校數學教師，以及廣大數學愛好者閱讀和參考。

作者簡介

馮承天，著有《從一元一次方程到伽羅瓦理論》、《從求解多項式方程到阿貝爾不可能性定理——細說五次方程無求根公式》；譯有《對稱》、《尋覓基元：探索物質的終ji結構》、《怎樣解題：數學思維的新方法》、《戀愛中的愛因斯坦：科學羅曼史》等。

內頁插圖

目錄

第一部分 從求解多項式方程到代數基本定理
第一章 從自然數係到有理數係
§1.1 自然數係與一元一次方程的求解
§1.2 有理數與循環小數
§1.3 可公度綫段
第二章 無理數與實數係
§2.1 無理數和不可公度綫段
§2.2 黃金分割與黃金三角形
§2.3 黃金矩形
§2.4 兔子繁殖與黃金分割
§2.5 斐波那契數列的通項公式——比奈公式
第三章 復數係與代數基本定理
§3.1 二元數與復數係
§3.2 數域的概念
§3.3 代數基本定理
§3.4 復數域是代數閉域
第二部分 代數基本定理的證明
第四章 代數基本定理的定性說明
§4.1 復平麵中的一些圓周麯綫
§4.2 多項式函數及其纏繞數
§4.3 纏繞數的一個重要性質
§4.4 r極大與極小時的兩個極端情況
第五章 業餘數學傢阿爾崗的證明
§5.1 考慮|p(z)|的最小值
§5.2 計算|p(z0+ζ)|等
§5.3 對qζν(1+ζξ)的討論
§5.4 反證法： 證明瞭代數基本定理
第六章 美國數學傢安凱奈的證明
§6.1 復變函數論中的解析函數
§6.2 柯西-黎曼定理
§6.3 連續復函數的綫積分
§6.4 微積分學中的格林定理的迴顧
§6.5 柯西積分定理
§6.6 安凱奈的思路
§6.7 ��(z)的兩個特殊綫積分
§6.8 兩個不相等的積分
第三部分 圓周率π和自然對數底e,及其無理性
第七章 圓周率π及其無理性
§7.1 劉徽割圓與圓周率π
§7.2 π是一個無理數
第八章 自然對數的底e及其無理性
§8.1 自然對數的底e與一些重要的公式
§8.2 一些重要的應用
§8.3 歐拉數e是一個無理數
第四部分 有關多項式與擴域的一些理論
第九章 有關多項式的一些理論
§9.1 數係S上的多項式的次數與根
§9.2 數係S上的可約多項式與不可約多項式
§9.3 多項式的可除性質
§9.4 多項式的因式、公因式與最大公因式
§9.5 多項式的互素與貝祖等式
§9.6 貝祖等式的一些應用以及多項式因式分解定理
§9.7 高斯引理
§9.8 整係數多項式的可約性性質
§9.9 艾森斯坦不可約判據
§9.10 多元多項式與對稱多項式
§9.11 初等對稱多項式
§9.12 對稱多項式的基本定理
§9.13 由對稱多項式基本定理得齣的一個有重要應用的定理
§9.14 關於多項式根的兩個重要的推論
第十章 有關擴域的一些理論
§10.1 數域的另一個例子
§10.2 擴域的概念
§10.3 要深入研究的一些課題
§10.4 域上的代數元以及代數數
§10.5 代數元的最小多項式
§10.6 互素的多項式與根
§10.7 代數元的次數以及代數元的共軛元
§10.8 代數元域
§10.9 單代數擴域
§10.10 添加有限多個代數元
§10.11 多次代數擴域可以用單代數擴域來實現
第五部分 代數擴域、有限擴域以及尺規作圖
第十一章 代數擴域、有限擴域與代數元域
§11.1 代數擴域
§11.2 代數元集閤A成域的域論證明
§11.3 擴域可能有的基
§11.4 有限擴域
§11.5 維數公式
§11.6 有限擴域的性質
§11.7 代數元域是代數閉域
第十二章 擴域理論的一個應用——尺規作圖問題
§12.1 尺規作圖的公理與可作點
§12.2 可作公理的推論
§12.3 可作數與實可作數域
§12.4 所有的可作數構成域
§12.5 可作數擴域
§12.6 可作實數域中的直綫與圓的方程
§12.7 尺規作圖給齣的新可作點
§12.8 尺規可作數的域論錶示
§12.9 三大古典幾何問題的解決
第六部分 π以及e是超越數
第十三章 超越數的存在與劉維爾數
§13.1 再談代數元與超越元
§13.2 兩個有趣的例子
§13.3 無窮可數集閤
§13.4 有理數域Q是可數的
§13.5 康托爾的對角綫法： 實數域R是不可數的
§13.6 代數數的整數多項式定義及相應的最低次數的本原多項式
§13.7 代數數域是可數的
§13.8 存在超越數
§13.9 劉維爾定理
§13.10 劉維爾數ξ是超越數
§13.11 超越數的另一例
第十四章 π以及e是超越數
§14.1 一次代數數的一般形式
§14.2 二次實代數數的一般形式
§14.3 e不是二次實代數數
§14.4 e是超越數
§14.5 π是超越數
§14.6 超越數的一些基本定理
§14.7 超越擴域、代數擴域，以及有限擴域
§14.8 尾聲
——希爾伯特第七問題以及蓋爾方德-施奈德定理
附錄
附錄1 比奈公式以及常係數綫性遞推數列
附錄2 綫性方程組求解簡述
參考文獻

前言/序言

學非探其花，要自撥其根.
——〔唐〕杜牧《留誨曹師等詩》

簡略地說，本書討論瞭“代數基本定理”、“圓周率π既是無理數又是超越數”，以及“自然對數的底e既是無理數又是超越數”這三大數學課題.為此我們討論瞭數係的擴張、復數的應用、解析函數的積分、多項式理論、擴域理論、代數數論，以及康托爾的對角綫方法等.當然，隨之就有不少的“副産品”，如： 對稱多項式基本定理、代數元域、尺規作圖，以及三大古典幾何難題等.
代數基本定理——n（>0）次復係數多項式方程有n個復數根，是1799年高斯在他的博士論文中首次較嚴格地證明的.高斯以後的數學傢們用瞭一百多種不同的方法證明瞭該定理，這足以說明該定理在代數學上的重要性.在本書中，我們用三種不同的方法或闡明或證明瞭這一定理.
關於圓周率π，我們應用瞭我國魏晉時數學傢劉徽的光輝的割圓術思想證明瞭它是一個與圓半徑無關的常數，然後先證明它是一個無理數，並最終證明瞭埃爾米特定理： π是一個超越數.
對於自然對數的底e，我們先從它的極限定義齣發得齣瞭有關它的一些重要公式及應用，接著再證明它是一個無理數，並最終證明瞭林德曼定理： e是一個超越數.
為瞭能與廣大數學愛好者一起學習這些重大定理，以及為瞭證明它們所必須研讀的經典數學中的一些精彩內容，並與大傢一起分享其中的數學之美，筆者撰寫的這本書起點較低，從數係的擴張和運算講起；把有關的多項式理論與域的理論盡量講得詳盡且深入淺齣；書中包括許多實例和應用，可供讀者消化、推敲和練習，而且盡力做到前呼後應.為瞭剋服論述這些專題的各種文獻中的種種晦澀難懂、敘述過簡與不清，我們用一種“詳述”的方式，同時也盡量使本書在數學內容上自成體係.
不過，筆者還是在書後的參考文獻中列齣瞭筆者在研讀這些專題和撰寫本書時讀過的部分好書與文獻，希望對那些想繼續深入研究的讀者有所幫助.
一係列的數學實踐使筆者深信，一位有高中數學基礎且掌握微積分初步概念的讀者，隻要勤於思考，一定能理解書中的這些在其他數學分支中也極有用的基礎數學知識和定理，從而提高自己的數學修養；隻要樂於思考，也就一定能掌握本書中所使用的數學方法，同時給自己帶來數學之美的享受.
最後，感謝首都師範大學欒德懷教授的長期關心、教導和鞭策.感謝上海師範大學數學係陳躍副教授，他推薦瞭許多參考資料，仔細審讀瞭手稿，並提齣瞭許多寶貴的意見和建議.感謝華東師範大學齣版社的王焰社長及各位編輯，他們為本書的齣版給予極大的支持與幫助.
希望本書能成為廣大數學愛好者學習和掌握上述課題的可讀性較強的讀物，也極希望得到大傢的批評與指正.
2016年8月於上海師範大學

好的，這是一份針對您提供的書名《從代代數基本定理到超越數：一段經典數學的奇幻之旅》的圖書簡介草稿，其內容旨在詳細闡述該書可能涵蓋的主題，同時避免直接提及書名本身的內容細節，力求自然流暢，具有專業感。 --- 圖書簡介：數學前沿的宏偉敘事 本書帶領讀者踏入一個引人入勝的數學世界，追溯那些奠定現代數論與分析學基石的核心思想與關鍵突破。這不是一本枯燥的教科書，而是一場深入淺齣、充滿洞見的探索之旅，旨在揭示那些看似抽象的數學概念背後，是如何被嚴謹的邏輯和深刻的直覺所驅動，最終構建起數學大廈的宏偉藍圖。 我們的旅程始於一個深刻而基礎的問題：多項式方程是否總是有解？這個看似簡單的問題，卻催生瞭對數係結構的深刻理解。我們將詳細考察那個將代數與復數世界緊密連接的奠基性成果——一個關於所有非常數復係數多項式方程在復數域內必有根的定理。這個定理不僅是代數學的裏程碑，更是復雜分析學發展的關鍵跳闆。我們將探究其曆史背景、不同層次的證明方法，從拓撲學的直觀視角到復分析的強有力工具，領略數學傢們如何層層遞進，最終將這一真理牢牢釘在邏輯的基石之上。 然而，數學的疆域遠不止於此。當我們掌握瞭復數和代數結構後，自然會産生一個更深層次的疑問：哪些數是可以通過有限次的加、減、乘、除和開方運算來構造的？這本書將帶領讀者穿越曆史的迷霧，進入一個由無理數和超越數構成的奇妙領地。我們將聚焦於那些無法通過有理數域上的多項式方程求解的數——那些超越代數範疇的存在。 本書將深入探討那些定義瞭超越性的裏程碑式發現。從關於圓周率 $pi$ 的不懈探索，到對自然對數的底 $e$ 的本質追問，我們將重溫那些偉大的證明，它們不僅展示瞭人類智慧的巔峰，更揭示瞭實數係統內部的復雜性和無限層次。這些證明往往需要建立在精妙的分析工具之上，涉及諸如連分數、級數展開，乃至更高級的函數論。我們將細緻梳理證明的每一步邏輯，揭示數學傢們如何通過精心的構造和嚴謹的論證，將那些看似“不馴服”的數納入分析的框架之內。 更進一步，本書將探討超越性的普遍性與必然性。當我們不再局限於特定的數，而是將其視為一種數學特性時，我們會發現，絕大多數實數都具有超越性。我們將介紹判斷一個數是否超越的有效方法，例如艾爾米特（Hermite）和林德曼（Lindemann）的開創性工作。這些理論不僅為我們提供瞭區分代數數和超越數的堅實工具，也深刻地影響瞭我們對數域的整體認知。 此外，本書還將觸及這些概念如何滲透到其他數學分支。例如，在遍曆論和動力係統中，超越數的性質可能會以意想不到的方式齣現；在函數逼近理論中，理解代數函數和超越函數的行為差異至關重要。我們也將簡要迴顧那些與超越數密切相關的著名未解難題，它們至今仍在激勵著新一代數學傢們探索未知。 通過對這些經典主題的係統梳理，本書旨在為讀者構建一個清晰、連貫的知識圖景。我們不僅會介紹“是什麼”，更會深入剖析“為什麼”和“如何做”。從代數方程的根的必然存在，到超越數的深刻奧秘，這是一次跨越數百年數學智慧的壯麗航行，旨在培養讀者對數學美學、嚴謹性和無限可能性的深刻理解與欣賞。無論是初涉數學殿堂的求知者，還是尋求係統性迴顧的專業人士，都將在這趟旅程中發現數學思維的無窮魅力。 ---

評分☆☆☆☆☆

書籍印刷清晰，紙質有點粗糙

評分☆☆☆☆☆

作者寫瞭兩本數學伽羅瓦理論普及書，都還不錯，值得一看。

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