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内容简介

　　《偏微分方程引论》系统介绍现代偏微分方程的基本理论和方法.偏微分方程是数学学科的一个重要分支，主要来源于物理学、化学、力学、几何学及泛函分析理论的研究，它与其他数学分支均有广泛的联系，而且在自然科学与工程技术中有广泛的应用.《偏微分方程引论》内容主要包括广义函数理论，Sobolev空间的基本性质和技巧，二阶线性椭圆型方程、双曲型方程、抛物型方程与半群理论，《偏微分方程引论》的特点是循序渐进，强调基础理论的同时，注意具体应用，书中内容深入浅出，文字通俗易懂，并配有适量难易兼顾的习题.《偏微分方程引论》可作为偏微分方程、动力系统、计算数学、控制论和泛函分析及相关理工科方向研究生的教材和教学参考书，也可作为工程等领域的教师和科研人员的参考书，

内页插图

目录

《现代数学基础丛书》序
前言
符号表

第1章 预备知识
1．1 基础知识和常用不等式
1．1．1 几个常用不等式
1．1．2 常用符号和定义
1．1．3 -些基础知识
1．2 结构安排
习题1

第2章 广义函数
2．1 基本空间
2．1．1 引言
2．1．2 基本空间Coo(Rn)，Ccoo(Rn)
2．1．3 磨光算子
2．1．4 基本空间g(Rn)
2．2 三类广义函数及其性质
2．2．1 三类广义函数
2．2．2 广义函数的支集
2．2．3 广义函数的极限
2．2．4 广义函数的导数
2．2．5 广义函数的乘子
2．2．6 广义函数的自变量变换
2．2．7 广义函数的卷积
2．3 Fourier变换
2．3．1 g(Rn)空间上的Fourier变换
2．3．2 L1(Rn)空间上的Fourier变换
2．3．3 g（Rn）空间上的Fourier变换
2．3．4 拟微分算子
习题2

第3章 Sobolev空间
3．1 非负整数Sobolev空间
3．2 负整数Sobolev空间
3．3 实指数Sobolev空间
3．4 延拓定理
3．5 Sobolev嵌入定理
3．6 Sobolev紧嵌入定理
3．7 迹定理
3．8 Besov空间及其性质
3．9 -些重要的不等式
习题3——

第4章 几类偏微分方程
4．1 -般概念
4．2 基本解
习题4

第5章 二阶椭圆型方程
5．1 预备知识
5．2 边值问题的可解性
5．3 弱解的正则性
5．4 调和函数及其性质
习题5

第6章 双曲型方程
6．1 能量不等式
6．2 初边值问题解的存在性
6．3 对称双曲组的可解性
习题6

第7章 抛物型方程与半群理论
7．1 二阶抛物型方程
7．2 算子半群理论
7．3 Laplace变换及其逆变换
7．4 解析算子半群
7．5 分数次阶算子
7．6 半群理论的简单应用
习题7
参考文献
索引
《现代数学基础丛书》已出版书目

前言/序言

　　本书系统讲述偏微分方程一般理论的主要结果和研究方法，主要内容包括广义函数理论，如广义函数的支集、极限、导数、广义函数的Fourier变换和广义函数的卷积等，拟微分算子的概念和基本性质等，特别是系统介绍了广义函数的严格数学定义及其基本性质和应用；线性微分方程基本解的定义、性质；实分析与泛函分析在Sobolev空间中的应用，Sobolev空间的基本性质和基本技巧，如逼近理论、紧嵌入理论、迹定理、函数的延拓等基本理论以及局部化、光滑化和旋转、平直等技巧；二阶线性椭圆方程的边值问题弱解的存在性、正则性理论等方面的主要结果，以及差商方法、特征值问题等；二阶线性抛物方程和二阶线性双曲方程的基本理论，包括弱解的存在性、正则性，能量方法，Galerkin方法，（解析）算子半群理论及其在发展方程的应用等，为提高读者的整体数学素质提供必要的材料，也为部分读者进一步学习与研究偏微分方程理论做了准备。
　　偏微分方程是数学学科的一个重要分支，与其他数学分支均有广泛的联系，而且在自然科学与工程技术中有广泛的应用。
　　本书特别强调可读性，强调直观对理解问题实质的重要作用。我们尽可能用通俗易懂的语言和方法来给出系统严谨的论述和证明。本书共分七章，可作为读者进入一个新的理论领域的起点。
　　第1章介绍一些基本的不等式、常用的数学符号、实变函数论和泛函分析中的一些基本结论（例如，Lebesgue控制收敛定理、闭图像定理和弱收敛方法等）和本书的结构安排等。
　　第2章主要介绍广义函数理论，给出三类基本空间及相应的三类广义函数空间；进一步介绍广义函数的基本性质，包括支集概念、广义收敛极限、广义导数、乘子、广义卷积和广义Fourier变换等。
　　第3章主要研究Sobolev空间及其相关性质，包括非负整数、负整数和实指数Sobolev空间，Sobolev（紧）嵌入定理，延拓定理，迹定理等。第4章介绍偏微分方程的一般理论，包括一般概念以及基本解等，特别是研究了6广义函数的基本性质及其应用。
　　第5章考虑二阶线性椭圆型偏微分方程，包括初边值问题的可解性和弱解的正则性等。第6章研究二阶线性双曲型偏微分方程，重点介绍能量不等式和初边值问题解的存在性以及对称双曲组的可解性。
　　第7章研究二阶线性抛物型偏微分方程，主要介绍弱解的定义及其能量不等式，解析算予半群与无穷小生成元的关系，以及算予半群理论的应用，
　　本书作为现代偏微分方程理论的入门书，适合作为数学专业人员的阅读材料和研究生教材，也可作为偏微分方程、动力系统、泛函分析、计算数学、数学物理、控制论、大气海洋物理等方向的高年级研究生、青年教师及科研人员进行深入研究的参考书，本书在写作过程中，参阅了国内外同一主题的一些著作，简化了许多证明，发现并纠正了一些错误，相信这些对读者有所帮助，本书的讲义，作者在中国科学院大学为研究生讲授过多年，并被列为中国科学院大学数字精品课程。
　　本书的出版，得到中国科学院随机复杂结构与数据科学重点实验室。（No.2008DP173182），中国科学院青年创新促进会，中国科学院大学数字精品课程，国家自然科学基金（No.11471322）的资助，在编写讲义和成书的过程中，中国科学院数学与系统科学研究院和中央民族大学的很多同行和广大研究生，都提出了许多宝贵的意见和建议，在此一并致谢。
　　由于作者学识水平所限，书中难免有不足之处，欢迎读者予以批评指正。
　　作者
　　2015年10月于北京

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