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編輯推薦

《高等數學(下冊)》是作者多年教學經驗的總結, 可作為非數學專業學生高等數學的教材, 也可作為相關人員的參考書.

內容簡介

《高等數學(下冊)》分上、下兩冊, 上冊內容包括函數與極限、導數與微分、微分中值定理與導數的應用、空間解析幾何、多元函數微分法及其應用. 下冊內容包括不定積分、定積分、定積分的應用、重積分、麯綫積分與麯麵積分、無窮級數、微分方程初步. 《高等數學(下冊)》每節都配有習題,每章配有總習題和曆年考研題. 《高等數學(下冊)》配套的輔助教材有《高等數學典型問題與應用案例剖析(上、下冊)》.

目錄

前言
第六章 不定積分 1
第一節 不定積分的概念與性質 1
一、原函數與不定積分的概念 1
二、不定積分的性質與基本積分錶 4
三、直接積分法 5
習題 6-1 7
第二節 換元積分法 8
一、第一類換元法 8
二、第二類換元法 15
習題 6-2 20
第三節 分部積分法 21
習題 6-3 26
第四節 有理函數的積分 27
習題 6-4 31
第五節 可化為有理函數的積分舉例 32
一、三角函數有理式的積分舉例 32
二、簡單無理式的積分舉例 33
習題 6-5 35
總習題六 35
曆年考研題六 36
第七章 定積分 37
第一節 定積分的概念與性質 37
一、引齣定積分概念的典型問題 37
二、定積分定義 39
三、定積分的近似計算 42
四、定積分的性質 44
習題 7-1 46
第二節 微積分基本公式 48
一、變速直綫運動中路程函數與速度函數之間的聯係 48
二、積分上限函數及其導數 49
三、牛頓-萊布尼茨公式 52
習題 7-2 54
第三節 定積分的換元法和分部積分法 55
一、定積分的換元法 55
二、定積分的分部積分法 61
習題 7-3 64
第四節 反常積分 64
一、無窮區間上的反常積分 65
二、無界函數的反常積分 67
三、反常積分的審斂法 70
習題 7-4 72
總習題七 72
曆年考研題七 74
第八章 定積分的應用 77
第一節 元素法 77
第二節 定積分在幾何上的應用 78
一、平麵圖形的麵積 78
二、兩種特殊立體的體積 83
三、平麵麯綫的弧長 87
習題 8-2 90
第三節 定積分在物理學上的應用 91
一、變力做功問題 91
二、水壓力 93
三、引力 93
習題 8-3 95
總習題八 95
曆年考研題八 96
第九章 重積分 98
第一節 二重積分的概念與性質 98
一、二重積分的概念 98
二、二重積分的性質 102
習題 9-1 104
第二節 二重積分的計算 105
一、利用直角坐標係計算二重積分 105
二、利用極坐標計算二重積分 110
三、二重積分的換元法 114
習題 9-2 117
第三節 三重積分 120
一、三重積分的概念 120
二、三重積分的計算 121
習題 9-3 128
第四節 重積分的應用 130
一、麯麵的麵積 130
二、質心 134
三、轉動慣量 136
四、引力 138
習題 9-4 139
總習題九 140
曆年考研題九 143
第十章 麯綫積分與麯麵積分 146
第一節 對弧長的麯綫積分與對麵積的麯麵積分 146
一、對弧長的麯綫積分及對麵積的麯麵積分的概念與性質 146
二、對弧長的麯綫積分的計算方法 148
三、對麵積的麯麵積分的計算方法 150
習題 10-1 153
第二節 對坐標的麯綫積分 154
一、對坐標的麯綫積分的概念與性質 154
二、對坐標的麯綫積分的計算方法 158
三、兩類麯綫積分之間的聯係 162
習題 10-2 163
第三節 對坐標的麯麵積分 164
一、預備知識 164
二、引例流嚮麯麵一側的流量 165
三、對坐標的麯麵積分的概念及性質 167
四、對坐標的麯麵積分的計算方法 169
五、兩類麯麵積分之間的聯係 172
習題 10-3 174
第四節 多元函數積分間聯係的三大公式 175
一、格林公式及其應用 175
二、高斯公式 184
三、斯托剋斯公式 187
習題 10-4 189
第五節 場論初步 192
一、場的概念 192
二、嚮量場的散度與鏇度 193
習題 10-5 196
總習題十 197
曆年考研題十 199
第十一章 無窮級數 202
第一節 常數項級數的概念和性質 202
一、常數項級數的概念 202
二、級數的基本性質 205
三、級數收斂的必要條件 207
習題 11-1 208
第二節 正項級數的審斂法 208
一、正項級數概念和基本審斂法則 209
二、比較審斂法 209
三、比值審斂法 212
四、根值審斂法 214
習題 11-2 214
第三節 一般項級數的審斂法 215
一、交錯級數審斂法 215
二、任意項級數的絕對收斂與條件收斂 217
三、絕對收斂級數的性質 218
習題 11-3 219
第四節 冪級數 219
一、函數項級數的概念 219
二、冪級數及其收斂性 220
三、冪級數的運算 224
四、冪級數的性質 225
習題 11-4 226
第五節 函數的冪級數展開 227
一、泰勒 (Taylor) 級數 227
二、函數的冪級數展開式 229
習題 11-5 234
第六節 傅裏葉級數 235
一、三角級數和三角函數係 235
二、以 2 為周期的函數的傅裏葉級數 236
三、以 2l 為周期的函數的傅裏葉級數 241
四、正弦級數和餘弦級數 243
習題 11-6 245
總習題十一 246
曆年考研題十一 247
第十二章 微分方程初步 251
第一節 微分方程及其相關概念 251
習題 12-1 255
第二節 可分離變量方程 256
習題 12-2 258
第三節 齊次方程 258
一、齊次方程 258
二、可化為齊次的方程 260
習題 12-3 263
第四節 一階綫性微分方程 264
一、綫性方程 264
二、伯努利方程 266
習題 12-4 269
第五節 全微分方程 270
習題 12-5 274
第六節 可降階的高階微分方程 274
一、y(n) = f(x) 型的微分方程 275
二、y00 = f(x; y0) 型的微分方程 275
三、y00 = f(y; y0) 型的微分方程 277
習題 12-6 279
第七節 綫性微分方程解的結構 280
一、二階齊次綫性微分方程解的結構 280
二、二階非齊次綫性微分方程解的結構 281
三、二階非齊次綫性微分方程通解的求法 282
習題 12-7 284
第八節 二階常係數齊次綫性微分方程 285
習題 12-8 291
第九節 二階常係數非齊次綫性微分方程 292
習題 12-9 298
第十節 歐拉方程 299
習題 12-10 301
總習題十二 301
曆年考研題十二 302
部分習題答案與提示 304

精彩書摘

第六章 不定積分
第六、七、八章的內容統稱為一元函數的積分學.積分學與微分學密切聯係，共同組成瞭分析學的基本內容.積分學的産生與發展源於一些實際問題的解決，如兩韆多年前的希臘數學傢阿基米德(Archimedes)用窮竭法計算齣瞭拋物綫弓形的麵積，我國南北朝時期的祖衝之和他的兒子祖也曾推導齣某些圖形的麵積和體積，這些都是用無限小過程處理特殊形狀的麵積的例子.雖然求積問題自古以來就被直觀地、經驗地理解著，並且得到瞭正確的計算結果，但這隻是個彆問題的解決，始終缺乏一般的計算方法，與一門係統學科的形成還相距甚遠.
直到十七世紀，由於天文、航海以及生産技術的發展，大量的問題亟待解決，這些問題大緻歸為以下四類:第一類是已知距離求速度與加速度以及已知加速度，求速度與距離;第二類是求麯綫的切綫;第三類是求函數的最大、最小值;第四類是求麯綫的長度、麯綫圍成的麵積、麯麵圍成的體積以及兩個物體之間的引力.雖然在一些數學傢的努力下，有關微分學問題解決得比較圓滿，積分學中的某些問題也得到瞭一些好的結果，但是當時所使用的方法要麼不具有普遍性，要麼有的方法本身雖然孕育著有普遍性的含義，但卻沒有人能充分理解微分與積分這兩類問題之間的相互關係的重要意義，因而都沒有創立微積分.最終，牛頓和萊布尼茨在總結前的方法的基礎上，都各自獨立地看到瞭積分問題是微分的逆問題，並建立起成熟的具有普遍意義的方法.由於牛頓和萊布尼茨各自研究的角度不同，牛頓是利用導數與反導數，即不定積分來解決微積分問題，而萊布尼茨則強調微分及微分的和"，因而就形成瞭不定積分與定積分.
第一節不定積分的概念與性質
一、原函數與不定積分的概念
在一元函數微分學中，我們研究瞭已知函數f(x)，如何求齣它的導數f0(x)的問題.在實際問題中，經常會遇到已知函數F(x)的導數f(x)，反過來需求函數F(x)的情況，如已知直綫運動的速度函數v(t)，求路程函數s(t)，這個問題可歸結為微分的逆運算，即不定積分的問題.下麵引入原函數的概念.
定義1設函數定義在區間I上，如果存在函數F(x)，對任一x2I，都有
F0(x)=f(x);即dF(x)=f(x)dx;￠2￠第六章不定積分
那麼函數F(x)就稱為f(x)在區間I上的一個原函數.
關於原函數的存在性問題，這裏先給齣一個結論.
原函數存在定理如果函數f(x)在區間I上連續，那麼在區間I上存在可導函數F(x)，使對任一x2I，都有F0(x)=f(x).
即連續函數一定有原函數.
例如，當x2(.1;+1)時，因為(x2)0=2x，所以x2是2x在(.1;+1)上的一個原函數.
需注意的是，在區間不連續的函數也可能有原函數.
例如，函數
在區間的一個原函數，而f(x)在x=0處間斷.
但是，若函數在區間上有第一類間斷點，則函數在該區間上一定沒有原函數.
例如，設函數f(x)在區間I上有原函數F(x)，且x=x0是f(x)的第一類間
斷點，則因F(x)在x=x0處連續、可導，且
所以，無論f(x0+0);f(x0.0)是否相等，都不能等於f(x0)，這與F0(x)=f(x)在區間上成立矛盾.
根據定義不難獲知:
(1)原函數概念首先與考察的區間有關，即同一個函數在不同區間上的原函數不一定相同.
例如，設f(x)=jxj，則在(0+1)內，f(x)的一個原函數為
(2)一個函數的原函數若存在，則它的原函數肯定不是唯一的.
事實上，若f(x)有原函數F(x)，則對任意常數C，F(x)+C也是f(x)的一個原函數.
因此，若找到f(x)的一個原函數F(x)，按F(x)+C的方法可寫齣它的無限多個原函數，將其組閤到一起便構成f(x)的一個原函數族，那麼此函數族是否包含瞭f(x)的所有原函數呢？為說明該問題，我們考察f(x)的任意兩個原函數之間的差彆.
若F(x)與G(x)同為f(x)的原函數，則
F0(x)=f(x);G0(x)=f(x);
因而有
故有
即G(x)=F(x)+C.
上麵的討論說明:f(x)的任意兩個原函數之間僅差一個常數；函數族實際上是由f(x)的全體原函數構成的.
定義2函數f(x)在區間I上的全體原函數稱為f(x)(或f(x)dx)在區間I上的不定積分，記為Zf(x)dx，其中記號Z稱為積分號，f(x)稱為被積函數，f(x)dx稱為被積錶達式，x稱為積分變量.
因此，如果F(x)是f(x)在區間I上的一個原函數，且用F(x)+C(C是任意常數)來錶示函數族fF(x)+CjC2Rg，則F(x)+C就是f(x)的不定積分，即
不定積分的幾何意義:函數f(x)的任意一個原函數F(x)的圖形稱為f(x)的一條積分麯綫，而函數f(x)的不定積分F(x)+C的圖形稱為f(x)的積分麯綫族.積分麯綫族中的任意一條麯綫都可以由麯綫y=F(x)沿y軸平移得到，因此，積分麯綫族中的所有麯綫在橫坐標相同的點處具有平行的切綫(圖6-1).
例1求解由於
是x3的一個原函數，因此
例3設麯綫通過點(1;2)，且其上任一點處的切綫斜率等於這點橫坐標的兩倍，求此麯綫的方程.
二、不定積分的性質與基本積分錶
性質1設函數f(x)及g(x)的原函數存在，則
性質1對於有限個函數都是成立的.
性質2設函數f(x)的原函數存在，k為非零常數，則
既然積分運算是微分運算的逆運算，那麼很自然地可以從導數公式得到相應的積分公式.下麵把一些基本的積分公式列成一個錶，這個錶通常稱為積分錶.在不定積分計算中，因為積分結果是被積函數的原函數，所以隻要對積分結果求導，看它的導數是否等於被積函數，就能判斷積分的求解正確與否.
三、直接積分法
所謂直接積分法就是在函數基本運算下先將不定積分的被積函數用已知不定積分錶達式的函數錶示齣來，而後利用不定積分的性質和已知積分錶達式的函數的

前言/序言

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