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内容简介

　　《高等数学·经管类：学习指导（下册）》是与朱文莉主编的《高等数学》（经管类）（下册）配套的学习指导书，按照教材体系逐章、逐节对应编写。每节内容由本节教材知识结构、学习要求、重点难点、疑难解答、典型题型分析、习题解析六个部分组成。每章开头增加了本章数学三考点和本章知识结构，每章结尾增加了本章教材总习题解答、单元测试及其解答。《高等数学·经管类：学习指导（下册）》分为上、下两册，《高等数学·经管类：学习指导（下册）》为下册，共5章，分别是多元函数微分学、重积分、无穷级数、微分方程及差分方程。

目录

第7章 多元函数微分学
7.1 空间解析几何基本知识
7.2 多元函数的基本概念
7.3 偏导数
7.4 全微分
7.5 多元复合函数与隐函数的求导法则
7.6 多元函数的极值与最值
总习题七
单元测试
单元测试解答

第8章 重积分
8.1 二重积分的概念和性质
8.2 二重积分的计算
8.3 二重积分的应用
8.4 反常二重积分与三重积分简介
8.5 含参变量的积分
总习题八
单元测试
单元测试解答

第9章 无穷级数
9.1 常数项级数的概念和性质
9.2 正项级数
9.3 任意项级数
9.4 幂级数
9.5 函数的幂级数展开
9.6 幂级数在数值计算中的应用
总习题九
单元测试
单元测试解答

第10章 微分方程
10.1 微分方程的基本概念
10.2 一阶微分方程
10.3 可降阶的高阶微分方程
10.4 高阶线性微分方程
10.5 常系数线性微分方程组解法举例
10.6 微分方程在经济学中的应用
总习题十
单元测试
单元测试解答

第11章 差分方程
11.1 差分与差分方程的基本概念
11.2 一阶常系数线性差分方程
11.3 二阶常系数线性差分方程
11.4 差分方程在经济学中的应用
总习题十一
单元测试
单元测试解答

精彩书摘

　　《高等数学·经管类：学习指导（下册）》：
　　第7章 多元函数微分学
　　本章数学三考点
　　多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上二元连续函数的性质，多元函数的偏导数与计算，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，全微分，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值和最小值。本章知识结构
　　7��1空间解析几何基本知识
　　7��1��1学习要求
　　1�� 理解空间直角坐标系的概念及空间基本元素（点、线与数组、方程或函数）的对应关系；
　　2�� 掌握两点间距离公式；
　　3�� 理解曲面方程的概念，了解常见的空间曲面（平面、球面、柱面、旋转曲面、马鞍面等）、方程的建立与图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
　　4�� 了解曲面的交线在坐标面上的投影，并会求其方程。重点会求空间坐标系下特殊点的坐标，掌握两点间距离公式，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。难点识别常用的二次曲面方程，能用截痕法研究二次曲面的性质。7��1��2疑难解答
　　1�� 在空间直角坐标系Oxyz下，空间基本元素怎么表示？
　　（1） 点的表示。空间直角坐标系中任一点M与有序数组（x，y，z）之间可建立一一对应关系，称有序数组（x，y，z）为点M的坐标，记为M（x，y，z）. 特别地，原点O的坐标为（0，0，0）。坐标轴和坐标面上的点的坐标各有一定的特征，即坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0.例如，x轴上的点，都有y=z=0；y轴上的点，都有x=z=0；z轴上的点，都有x=y=0．xy坐标面上的点，都有z=0；yz坐标面上的点，都有x=0；zx坐标面上的点，都有y=0。注有序数组与空间的点的一一对应是几何问题代数化或代数问题几何化即数形结合的基础.从轨迹的角度看点M运动的轨迹可成面、线，而从代数的角度看点M（x，y，z）运动的轨迹可成方程F（x，y，z）=0或函数z=f（x，y），于是将空间的基本元素点、线、面与代数中的数组、方程（或函数）联系起来，实现了它们相互间的转化，这是解析几何的基本思想，也是本节讨论问题的基本出发点。（2） 面的表示。对于空间中的曲面Σ上任意点M的坐标（x，y，z）与一个三元方程 F（x，y，z）=0或z=f（x，y）有如下关系：
　　（i） 曲面Σ上的任意点的坐标都满足方程F（x，y，z）=0；
　　（ii） 不在曲面Σ上的点的坐标都不满足方程F（x，y，z）=0，
　　则称方程F（x，y，z）=0是曲面Σ的方程，而曲面Σ是此方程的图形。（3） 线的表示。空间曲线Γ可以看成是两个曲面的交线．若两个曲面的方程为F1（x，y，z）=0和F2（x，y，z）=0，则其交线Γ的方程为
　　F1（x，y，z）=0，F2（x，y，z）=0。注通过一条曲线可以作无数个曲面，任取其中两个都可表示这条空间曲线，因此表示曲线的方程组形式不唯一。2�� 学习空间解析几何要注意哪些问题？
　　空间解析几何的基本手段是空间直角坐标系及曲面、曲线的方程. 空间中点的坐标为（x，y，z），比平面解析几何中多了一个z坐标，从而使得两者有较大的差别. 例如，平面解析几何中的直线方程为Ax+By+C=0，而空间解析几何中三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示一个平面，空间中的直线通常要用两个三元一次方程联立表示；又如，平面上两点M1（x1，y1）和M2（x2，y2）间的距离为
　　|M1M2|=（x2－x1）2+（y2－y1）2，
　　而空间中两点M1（x1，y1，z1）和M2（x2，y2，z2）的距离为
　　|M1M2|=（x2－x1）2+（y2－y1）2+（z2－z1）2；
　　再如，平面曲线可表为方程y=f（x）或隐式方程F（x，y）=0，而在空间解析几何中这些方程却表示母线平行于z轴的柱面等。空间的曲面、曲线及其相互位置关系要具体画出来是有一定难度的，这就需要通过学习空间解析几何培养一定的空间想象力。3�� 常见的空间曲面及其方程有何特征？
　　（1） 平面。一般式：Ax+By+Cz+D=0，其中常数A，B，C不全为零。注当D=0时，平面过原点；当A，B，C中有一个为零时，如A=0，平面平行于x轴，特别地，若D=0，平面过x轴；当A，B，C中有两个为零时，如A=B=0，方程为Cz+D=0，平面平行于xy坐标面，特别地，若D=0，平面为xy坐标面．
　　截距式：xa+yb+zc=1，其中a，b和c分别为平面在x轴、y轴和z轴上的截距。（2） 球面。以M0（x0，y0，z0）为球心、R为半径的球面方程为
　　（x－x0）2+（y－y0）2+（z－z0）2=R2。特别地，球心在坐标原点，半径为R的球面方程为
　　x2+y2+z2=R2。（3） 柱面。准线C：F（x，y）=0，z=0为xy坐标面上的曲线，母线平行于z轴的柱面方程为F（x，y） =0. 读者可以类似地写出母线平行于x轴和y轴的柱面方程。（4） 旋转曲面。母线C：F（y，z）=0，x=0为yz坐标面上的曲线，旋转轴为z轴的旋转曲面方程为
　　F（±x2+y2，z）=0。一般地，当坐标面上的曲线C绕着该坐标面上的一条坐标轴旋转时，为了求出这个旋转曲面的方程，只要将曲线C的方程中保留和旋转轴同名的坐标，而用其他两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标即可．
　　读者很容易指出方程z=x2+y2，z2=x2+y2所表示的曲面名称。4�� 怎么求解空间曲线的投影柱面和投影曲线方程？
　　以空间曲线Γ为准线，母线平行于z轴的柱面称为曲线Γ关于xy坐标面的投影柱面，投影柱面与xy坐标面的交线C称为曲线Γ在xy坐标面上的投影曲线. 所以先将曲线Γ的方程F1（x，y，z）=0，F2（x，y，z）=0中的z消去，即得曲线Γ关于xy坐标面的投影柱面方程G（x，y）=0，而其投影曲线的方程为G（x，y）=0，z=0。读者可类似求解在yz坐标面和zx坐标面上的投影柱面和投影曲线的方程。7��1��3典型题型分析
　　例1过点（－3，1，2）及z轴的平面方程。解答案：x+3y=0。设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0，其中常数A，B，C不全为零. 由题设平面过z轴，则所求平面方程为Ax+By=0；将点（－3，1，2）代入Ax+By=0，得所求平面方程为x+3y=0。例2求过点（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c）（abc≠0）的圆的方程。解 设过已知三点、球心在（x0，y0，z0）处且半径为R的球面方程为
　　（x－x0）2+（y－y0）2+（z－z0）2=R2，
　　将已知三点（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c）代入上述方程，得
　　（a－x0）2+y20+z20=R2，
　　x20+（b－y0）2+z20=R2，
　　x20+y20+（c－z0）2=R2，
　　取y0=0，解得x0=a2－b22a，z0=c2－b22c，R2=a2－b22a2+c2－b22c2，则可求得一个过已知三点的球面方程为
　　x-a2－b22a2+y2+z－c2－b22c2=a2－b22a2+c2－b22c2。而过已知三点的平面方程为xa+yb+zc=1. 故所求圆的方程为
　　x-a2－b22a2+y2+z－c2－b22c2=a2－b22a2+c2－b22c2，
　　xa+yb+zc=1。注一球面与一平面的交线是一个圆，这是解答本题的一个基本思想，过三点有无穷多个球面，此题取的是y0=0的一个特殊球面，进而使问题得以解决。题型Ⅱ求旋转曲面方程
　　例3在xz坐标面上的双曲线x2a2－z2b2=1绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为。解答案：x2+y2a2－z2b2=1。题型Ⅲ常见二次曲面的标准方程及作图问题
　　例4就p，q的各种情况说明二次曲面z=x2+py2+qz2的类型，并作出简图。解此例中图略，读者可参见教材。（1） 当p=q=0时，方程化为z=x2，此时曲面为抛物柱面。（2） 当q=0，p≠0时，方程为z=x2+py2�� 若p>0，曲面为椭圆抛物面；若p<0，曲面为双曲抛物面。（3） 当p=0，q≠0时，若q=a2>0，则方程可化为az－12a2－x2=14a2，曲面为椭圆柱面；若q=－a2<0，曲面为双曲柱面。（4） 当p?q≠0时，若p=a2>0，q=b2>0，则方程可化为x2+a2y2+bz－12b2=14b2，曲面为椭球面；若p=－a2<0，q=－b2<0，则方程可化为a2y2+bz－12b2－x2=14b2，曲面为单叶双曲面；若p=a2>0，q=－b2<0，则方程可化为x2+a2y2－bz－12b2=－14b2，曲面为双叶双曲面；若p=－a2<0，q=b2>0，则方程可化为x2－a2y2+bz－12b2=14b2，曲面为单叶双曲面。注会识别常用的二次曲面方程，能用截痕法研究二次曲面的性质。题型Ⅳ空间曲线的投影柱面和投影曲线
　　例5求椭圆抛物面z=x2+2y2与抛物柱面z=2－x2的交线关于xy坐标面的投影柱面和在xy坐标面上的投影曲线的方程。解由z=x2+2y2，z=2－x2消去z，得所求投影柱面方程x2+y2=1，从而所求投影曲线为xy坐标面上的一个圆
　　7��1��4习题7��1解析
　　1�� 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
　　A（2，3，－1），B（4，－3，5），C（2，－3，－4），D（－2，－3，1），
　　并求点A（1，3，－1）分别到（1）坐标原点；（2）各坐标轴；（3）各坐标面的距离．
　　解A点在第Ⅴ卦限；B点在第Ⅳ卦限；C点在第Ⅷ卦限；D点在第Ⅲ卦限。（1） A到坐标原点的距离为（2－0）2+（3－0）2+（－1－0）2=14。（2） A到x轴的距离为（2－2）2+（3－0）2+（－1－0）2=10；
　　A到y轴的距离为（2－0）2+（3－3）2+（－1－0）2=5；
　　A到z轴的距离为（2－0）2+（3－0）2+（－1+1）2=13。（3） A到坐标面xy的距离为（2－2）2+（3－3）2+（－1－0）2=1；
　　A到坐标面yz的距离为（2－0）2+（3－3）2+（－1+1）2=2；
　　A到坐标面xz的距离为（2－2）2+（3－0）2+（－1+1）2=3．
　　2�� 求点A（3，1，2）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．
　　解（1） 关于xy坐标面、yz坐标面、xz坐标面对称的点的坐标分别为（3，1，－2），（－3，1，2），（3，－1，2）；
　　（2） 关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为（3，－1，－2），（－3，1，－2），（－3，－1，2）；
　　（3） 关于坐标原点的对称点的坐标是 （－3，－1，－2）。3�� 在yz平面上求与三已知点A（3，1，2），B（4，－2，－2）和C（0，5，1）等距离的点．解因为所求点在yz平面上，所以设该点为M（0，y，z），由题意有
　　MA=MB=MC，
　　即
　　（0－3）2+（y－1）2+（z－2）2=（0－4）2+（y+2）2+（z+2）2=（0－0）2+（y－5）2+（z－1）2，
　　解得y=1，z=－2，于是所求点为M（0，1，－2）。4�� 建立以点（1，3，－2）为球心，通过坐标原点的球面方程．
　　解球面半径R=12+32+（－2）2=14，则球面方程为
　　（x－1）2+（y－3）2+（z+2）2=14，
　　即x2+y2+z2－2x－6y+4z=0．
　　5�� 指出下列各题中平面位置的特点，并画出各平面：
　　（1） x=0；（2） z=1；
　　（3） x－2y=0；（4） x+2y=3；
　　（5） 6x+5y－z=0；（6） x+y+z=3。解（1） yz坐标面；（2） 平行于xy坐标面的平面；
　　（3） 通过z轴的平面；（4） 平行于z轴的平面；
　　（5） 通过原点的平面；（6） 平面在三个坐标轴上的截距都为3。……
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前言/序言

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