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编辑推荐

适读人群 ：本书可作为综合性大学、理工类大学和高等师范院校的高等代数课程的配套教辅资料
《普通高等教育“十二五”规划教材：高等代数》是作者积四十多年在北京大学讲授高等代数及相关课程（解析几何、抽象代数、群表示论、数学的思维方式与创新等），以及从事科研工作的经验和心得，深入钻研，潜心思考而写成，凝聚了作者对高等代数课程建设和教学改革的成果。具有以下特色：

　　1.明确课程主线。国内外传统教材没有明确地提出高等代数课程的主线，《普通高等教育“十二五”规划教材：高等代数》则鲜明地突出了“研究线性空间的结构及其态射（即线性映射）”这条主线，科学地安排讲授体系。

　　2.突出思维能力。按照“观察—抽象—探索—猜测—论证”这一数学的思维方式讲授数学知识，有利于培养学生的创新能力，使学生在学好数学的同时受到科学思维方式的熏陶和训练。

　　3.独到科学见解。例如本书明确地提出了数域K上一元多项式环和n元多项式环的通用性质，并且把它们运用到研究线性变换的Jordan标准形和有理标准形等课题中，起到了清晰阐述问题的重要作用。

　　4.代数与几何交融。高等代数与几何有密切联系，这是人们的共识，本书力求使高等代数与几何水乳交融。

　　5.严谨科学，可读性强。本书自然清晰、深入浅出、水到渠成地引出重要概念，阐述讲解准确、清晰、详尽、严谨。

　　6.内容精华，配套丰富。每一节均精心配有丰富的例题和习题；书中特别设置“阅读材料”和“小窗口”栏目，介绍高等代数相关知识的拓展或应用，开阔学生的视野；书末附有习题解答或提示；另外在超星学术视频网站上有本书配套讲课录像。

内容简介

本书为《高等代数》（丘维声著, 科学出版社2013 年3 月出版）配套的习题解答与提示, 汇集了该书的全部习题, 计算题给出了答案, 证明题给出了关键性的提示, 并且对于相当一部分习题给出了详解, 这些解法都很有特色, 是高等代数课程的组成部分.
本书可作为综合性大学、理工科大学和高等师范院校的高等代数课程教学参考书或配套辅导资料.

作者简介

丘维声，北京大学数学科学学院教授，博士生导师，首届全国高等学校***教学名师，美国数学会MathematicalReviews评论员，中国数学会组合数学与图论专业委员会首届常务理事，“国家教委高等学校数学与力学教学指导委员会”（一、二届）成员，中国高等教育学会教育数学专业委员会副理事长，《数学通报》副主编。长期从事高等代数、解析几何、抽象代数、线性代数、群表示论、数学的思维方式与创新等课程的教学工作（主持的“高等代数及习题”课程曾被评为北京大学优秀主干基础课），从事代数组合论、群表示论、编码和密码的研究，发表学术论文46篇。承担国家自然科学基金重点项目2项，主持国家自然科学基金面上项目3项。出版著作40部，译著6部，发表教学改革论文22篇。

　　获奖情况

　　荣获一届全国高等学校***教学名师奖（2003年），三次被评为北京大学很受学生爱戴的十佳教师（1999年，2001年，2006年），获宝钢教育奖优秀教师特等奖（1997年），北京市高等教育教学成果一等奖（1997年），北京大学杨芙清-王阳元院士教学科研特等奖（2006年），三次获北京大学教学优秀奖（1985年，1986年，1996年），被评为全国电大优秀主讲教师（1986年），北京市科学技术先进工作者（1977年）。

目录

引言的习题 1
第一章 线性方程组的解法 2
习题1.12
习题1.22
习题1.33
补充题一 3
第二章 行列式 5
习题2.15
习题2.25
习题2.35
习题2.46
习题2.56
习题2.67
补充题二 7
第三章 线性空间 8
习题3.18
习题3.28
习题3.38
习题3.49
习题3.59
习题3.611
习题3.711
习题3.811
习题3.913
习题3.1014
习题3.1114
习题3.1215
补充题三 16
第四章 矩阵的运算 18
习题4.118
习题4.220
习题4.321
习题4.422
习题4.524
习题4.625
习题4.729
习题4.830
补充题四 31
第五章 一元多项式环 33
习题5.133
习题5.234
习题5.334
习题5.436
习题5.539
习题5.639
习题5.742
习题5.844
习题5.946
补充题五 48
第六章 线性映射 50
习题6.150
习题6.251
习题6.353
习题6.456
习题6.561
习题6.666
习题6.774
习题6.881
习题6.986
习题6.1093
习题6.1194
习题6.12102
习题6.13107
补充题六 112
第七章 双线性函数，二次型 119
习题7.1119
习题7.2121
习题7.3125
习题7.4130
习题7.5133
习题7.6138
补充题七 142
第八章 具有度量的线性空间 145
习题8.1145
习题8.2147
习题8.3155
习题8.4160
习题8.5170
习题8.6181
习题8.7182
习题8.8188
习题8.9190
补充题八 191
第九章 n元多项式环 192
习题9.1192
习题9.2193
习题9.3195
补充题九 198
参考文献 200

精彩书摘

第一章线性方程组的解法
习题1.1
1. (1) (1,.2, 3).; (2) (2, .1, 1, .3).; (3) (.8, 3, 6, 0).; (4) (.2, 1, 3, .1).,提示：第(4)小题的第一步：把第二行的(.1)倍加到第一行上,使得矩阵的左上角元素为1.
2.(1)给A1,A2,A3分别投资65 , 35 ,7.5千元.
(2)相应的线性方程组的解是(.5,10,5),单位为千元,这不是可行解.因此投给A3的钱不能等于投给A1与A2的钱的和.
习题1.2
1. (1) 无解; (2) 有无穷多个解, 一般解是
其中x3是自由未知量;
(3) 有无穷多个解, 一般解是
..
..
. ...
11 23
x1 = . 7 x3 +7 , 51
x2 ,
= .7 x3 . 7
x1 = x3 . x4 . 3, x2 = x3 + x4 . 4,
其中x3,x4是自由未知量.
2. 原线性方程组有解当且仅当a = .1, 此时它的一般解是
...
..
18 1
x1 = . 7 x3 +7 , 12
x2 = .7 x3 +7 ,
其中x3是自由未知量.
3. 原线性方程组有解当且仅当a = . 2,此时方程组有唯一解.(详细参考文献[1]的第19页例2.).3
4. 原线性方程组有解当且仅当c =0 且d = 2, 此时它的一般解是
.. .
x1=x3+x4+5x5. 2, x2 = .2x3. 2x4. 6x5+3,
其中x3,x4,x5是自由未知量.
5.(1)l1,l2,l3有唯一的公共点P.1 , 1
.2 2
(2)令l4:4x. 4y = .3,则l1,l2,l4没有公共点.(详见参考文献[1]的第19～20页例3.)
6.不存在二次函数,其图像经过点P、Q、M、N.

7. (1) 有非零解. 它的一般解是


..
. .
.
x1 = .3x4,x2=x4,x3=2x4,
其中x4是自由未知量.(详见参考文献[1]的第21～22页例5.)
(2)方程个数3小于未知量数目4,因此齐次线性方程组有非零解.它的一般解是
..
..
.
55
x1=x4,
41
10
x2=x4,
41 33
x3x4,
= .41
其中x4是自由未知量.
8.总利润的最大值为1.35万元,最小值为1.25万元.投给A1,A2,A3的钱分别为0,5,5(万元)时,总利润达到最大值1.35万元.(详见参考文献[1]的第20～21页例4.)
习题1.3
1. 类似于本节例1 的证法.

2. 类似于例1 的证法.


补充题一
naisaja1a2an
j=1
1 11 11. xi
bi
=
ai . bj
i=1,2,,n,其中s=1+
···
.
(详见参考文
+++
,
···
献[1]的第25～26页的补充题一的第1题.)
2.
n
..
.. ....
1 2
i =1, 2, ,n . 1;···. bi+bi+1bjxi = ,
n(n+1)
n
j=1
..
..
2
n(n+1)
nj=1
bj
..
+ b1
..
.xn =
1
n
. bn
(详见参考文献[1]的第26～27页的第2题.)
3. 一般解是：
.x1 + n,.
= .xn+2.···. x2n x2=xn+2. 1,
x3=xn+3. 1,
.
.
············
xn.1 = x2n.1 . 1, xn=x2n. 1 . xn+1=.xn+2.···. x2n+n+1,
其中xn+2,xn+3,,x2n是自由未知量.(详见参考文献[1]的第27页的第3题.)
···

第二章行列式
习题2.1
1.(1)6,偶排列;(2)11,奇排列;(3)15,奇排列;(4)15,奇排列;(5)18,偶排列;(6)36,偶排列.
2.τ(n(n. 1) 321)= 1 n(n. 1).当n=4k或4k+1时,n(n. 1)321是偶排列,当···2 ···
n=4k+2或4k+3时,是奇排列.(详见参考文献[1]的第32页例2.)1
3.(1)
(n . 1)(n . 2); (2) n . 1.

4. . 12 nk(n . . 1) . 1 r.(详见参考文献[1]第32页例3.)

5. . ai . 2 k(k+1).(详见参考文献[1]第32页例4.)


2
i=1
6. (1) 11; (2) 0; (3) 0; (4) λ2 + a2; (5) λ2 + 4.
习题2.2
1. (1)(.1)n.1a1a2an.1an;(2)(.1) 12 (n.1)(n.2)a1a2an.1an.
······
2.0.(详见参考文献[1]的第37页的例3.)
3. x 的4 次多项式. x4 项的系数为7,x3 项的系数为.5.(详见参考文献[1]的第37～38页例4.)

4.详见参考文献[1]的第38页的例5.

5. 提示：在|A| 的表达式中,每一项或者等于1,或者等于.1.设有k项等于1,则有(n!. k) 项等于.1.


习题2.3
1. (1) .500.(详见参考文献[1]的第44～45页例1)(2)160.
. n.
2. (.1)n.1bn.1 . ai . b.i=1

3.(1)利用性质3.(2)利用性质3.


4. (1) a1 . a2b2. a3b3.···. anbn.(提示：把第2列的(.b2)倍加到第1列上,··· ,把第n列的(.bn)倍加到第1列上.)
(2)当n.3时,行列式的值为0;当n=2时,行列式的值为(a1. a2)(b2. b1);当n=1时为a1+b1.
习题2.4
1. (1) 100; (2) 726.

2. (1)(λ . 1)(λ . 3)2; (2) (λ + 2)2(λ . 2)2 .

3.Dn=n+1.(详见参考文献[1]第56页的例5.)

4. Dn = an+1. bn+1.(详见参考文献[1]第56页例6.)


a . b
5.Dn=(n+1)an .(详见参考文献[9]第435～436页第4题的解答.)

6. (.1)n.1 21(n+1)nn.1 .(详见参考文献[1]的第57～58页例7.)

7. (.1) 12n(n.1) 21(n+1)nn.1 .(提示：把第n. 1行的(.1)倍加到第n行上,把第n. 2


行的(.1) 倍加到第n . 1行上,依次类推,把第1行的(.1)倍加到第2行上;然后把第2,3,,n列都加到第1列上.)
···
8. .2(n . 2)!.(提示：把第1行的(.1)倍分别加到2,3,,n行上,然后按第2列
···
展开.)y(x. z)n . z(x. y)n
9. Dn = y . z .(详见参考文献[1]的第369页第7题的解答.)

10.利用性质3.(详见参考文献[1]第58页的例8.)

11.(1)n.3时,行列式的值为0;n=2时,行动式的值为(x1. x2)(y1. y2);n=1时


为1+x1y1..tt.
(2) n! 1+ t +++ .
2 ··· n

12.Dn=(x1+x2++xn).(xi. xj).(详见参考文献[1]的第59～60 页
···
1.j例11.)
13. 3n+1. 2n+1.(提示：先按第1列展开,然后用类似于第4题的解法.)

14..(xi. xj).(详见参考文献[1]第59页例10.)


1.j习题2.5
1.唯一解.(详见参考文献[1]的第65～66页例1.)

2. 当a =1 .且b =0 .时, 有唯一解; 当a =1 且b = 12 时, 有无穷多个解; 当a =1 且


b =.12 时,无解;当b=0时,也无解.(详见参考文献[1]的第66～68页例3.)
3.有非零解当且仅当λ=1或λ=3或λ=5.(详见参考文献[1]的第66页例2.)
4.利用本节定理1和范德蒙行列式可得,存在唯一的次数小于n的多项式函数经过所给的n个点.

前言/序言

本书是为《高等代数》(丘维声著, 科学出版社2013 年3 月出版) 配套的习题答案与提示, 计算题给出了答案, 证明题给出了关键性的提示, 并且对于相当一部分习题给出了详解.在习题解答和提示中, 提到的本书" 都是指上述《高等代数》教材.上述《高等代数》教材是作者积40 多年在北京大学从事教学和科研工作的经验和心得写成的, 有一些独到的科学见解, 其主要特色如下：
1. 更加鲜明地突出了研究线性空间的结构及其态射(即线性映射)" 这条主线. 用这条主线把高等代数课程的教学内容串起来, 形成了科学的讲授体系.
2. 按照数学的思维方式讲授数学知识, 所有重要概念的引入非常自然. 提出要研究的问题, 引导读者探索, 猜测可能有的规律, 进行证明, 这样做使得所有重要定理的引入也很自然,证明的思路非常清晰.
3. 有一些独到的科学见解. 例如, 明确提出并且证明了域F 上一元多项式环F[x] 和n元多项式环F[x1; x2; …; xn] 的通用性质. 运用多项式环的通用性质清晰且简捷地研究了多项式环的结构; 运用一元多项式环的通用性质研究了域F上n 维线性空间V 上的线性变换A （花体）的最简单形式的矩阵表示. 又如, 抓住了实内积空间(或酉空间)的结构的内在本质给出如下定义：设V 和V′ 是实内积空间(或酉空间), 如果有V 到V′ 的一个满射sigma保持向量的内积不变.
4. 力求使高等代数与几何水乳交融. 线性空间和线性映射的所有重要概念都从几何空间中的例子受到启发而引入; 所有重要定理都从几何空间中的有关结论受到启发, 猜测在线性空间中也可能有类似的结论, 然后进行证明; 从几何空间中的问题受到激励, 提出并且研究高等代数的问题, 得出了一般结论后, 又应用到解决几何空间中的问题.
5. 准确地、科学地阐述概念和定理. 例如, 什么是数域K 上的一元多项式？什么是数域K 上的n 级矩阵A 的特征值？ 级实对称矩阵A 的特征值都是实数" 这句话准确吗？准确地、科学地叙述这个定理应当是： 级实对称矩阵A 的特征多项式的复根都是实数."
6. 精心配备每一节的例题和习题. 例题经过精心挑选, 每一节都配置了适量的习题. 例题的解答和本书给出的相当一部分习题的详解都很有特色, 丰富了高等代数课程的内容.正是由于上述《高等代数》教材有以上特色, 因此学习高等代数(或线性代数) 的读者都可以来作本书的习题, 这对于学好高等代数(或线性代数) 肯定会有帮助.
感谢科学出版社的昌盛编辑和王胡权编辑, 他们为本书的编辑出版付出了辛勤劳动.坦诚欢迎广大读者对本书提出宝贵意见.


丘维声
北京大学数学科学学院
2013年9月

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