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内容简介

本手册包含三部分内容：高等数学(微积分)、线性代数、概率论与数理统计．归纳总结了三部分内容中的定义、定理、公式、法则和方法．为便于读者学习和使用，在内容的编排顺序上与同济大学版高等数学保持一致；在目录上列出了手册中的重点条目；在每一章的最后，提供了本章知识点之间的关联网络．本手册对正在学习高等数学、线性代数、概率论与数理统计和复习准备考研究生的读者都有极大参考价值；此外，对于曾经学过大学数学课程，并希望在短时间内迅速复习和回忆大学数学内容的读者也具有重要的参考价值．

目录

第1章函数极限连续1
§1��1映射与函数1
集合1
常用数集1
邻域1
映射2
函数3
函数的基本特性6
基本初等函数8
初等函数12
§1��2数列的极限及其性质13
数列13
数列极限13

数列的有界性14
收敛数列的性质14
§1��3函数的极限及其性质15
极限定义（x→x0）15
极限定义（x→∞）16
函数极限的性质17
§1��4无穷小与无穷大19
无穷小19
无穷小与函数极限关系19
无穷大19
无穷大与无穷小关系20
§1��5极限运算法则20
无穷小运算法则20
极限的四则运算法则20
§1��6极限存在准则两个重要极限21
夹逼准则21
单调数列22
单调有界准则22
两个重要极限22
§1��7无穷小的比较23
无穷小的比较23
常用等价无穷小23

等价无穷小的充要条件24
无穷小的等价代换24
§1��8函数的连续性与间断点25
函数在一点处连续定义25
函数在开区间上连续26
函数在闭区间上连续26
函数的间断点定义26
第一类间断点27
第二类间断点27
连续函数的和、差、积、
商的连续性27
反函数的连续性28
复合函数的极限运算法则28
复合函数的连续性29
基本初等函数的连续性29
初等函数的连续性29
闭区间上连续函数的性质29
本章知识点及其关联网络30
第2章导数与微分31
§２��1导数概念31
导数定义31
导数定义式的不同形式32
左导数定义32
右导数定义32
单侧导数32
函数在一点可导的
充要条件32
导数几何意义32
切线与法线33
开区间内可导33
闭区间上可导33
导函数定义33
可导性与连续性的关系33
高阶导数定义34
§2��2函数的求导法则34
导数四则运算法则34
反函数求导法则35
复合函数求导法则35
隐函数求导法则35
对数求导法则36
参数方程求导法则37
常数和基本初等函数的导数公式39
常用高阶导数公式39
相关变化率40
§2��3函数微分概念与微分运算法则41
微分定义41
可微的充分必要条件42
函数在任意点的微分42
基本初等函数的微分公式42
函数和、差、积、商的微分
法则44
复合函数微分法则44
本章知识点及其关联网络45
第3章微分中值定理与导数应用46
§3��1微分中值定理46
费马引理46
罗尔定理46
拉格朗日中值定理46
拉格朗日中值定理推论46
柯西中值定理46
泰勒公式47
§3��2导数应用49
极限的未定式49
洛必达法则49
函数单调性判别法则51
函数凹凸性定义51
函数拐点定义52
函数凹凸性判别法53
函数极值定义53
函数极值的必要条件53
函数极值第一充分条件53
函数极值第二充分条件54
函数极值第三充分条件54
曲线的渐近线54
曲线的弧微分公式55
曲率公式56
本章知识点及其关联网络57
第4章不定积分58
§4��1不定积分的概念与性质58
原函数定义58
不定积分定义58
积分曲线59
不定积分性质59
§4��2不定积分的计算方法59
直接积分法60
换元积分法60
分部积分法61
基本积分公式61
§4��3特殊函数的不定积分63
(1)有理函数的积分63
有理函数63
有理函数真分式的部分分
式之和公式64
有理函数积分法65
(2)三角函数有理式的积分65
三角函数有理式65
三角函数有理式积分法65
(3)简单无理函数的积分66
简单无理函数66
简单无理函数积分法66
常见的无法用初等函数
表示的不定积分66
本章知识点及其关联网络67
第5章定积分68
§5��1定积分的概念与性质68
定积分定义68
可积的充分条件69
关于定积分的两点规定70
定积分性质70
§5��2微积分基本公式72
积分上限函数定义72
积分上限函数的性质73
牛顿�怖巢寄嶙裙�式73
§5��3定积分的计算74
定积分的换元积分法74
定积分的分部积分法75
定积分的几个常用结果75
§5��4反常积分76
无穷限的反常积分定义76
无穷限反常积分的计算78
无界函数反常积分的定义79
无界函数反常积分的计算80
本章知识点及其关联网络82
第6章定积分应用83
§6��1定积分元素法83
定积分元素法83
§6��2几何应用84
(1)平面图形面积84
直角坐标系中平面图
形面积84
极坐标系中平面图形面积85
(2)空间体的体积86
旋转体的体积86
平行截面面积已知的
空间体的体积86
(3)平面曲线弧长87
平面曲线弧长的定义87
曲线弧长公式88
§6��3物理应用89
变力沿直线做功89
水压力90
引力91
§6��4平均值94
函数的平均值94
函数的均方根94
本章知识点及其关联网络95
第7章空间解析几何与向量代数96
§7��1空间直角坐标系96
空间直角坐标系96
空间点的坐标97
空间两点间的距离公式98
§7��2空间向量及其运算98
向量98
空间点M的向径98
自由向量99
向量a与b相等99
向量a与b平行99
向量的模99
单位向量99
向量加法99
向量加法的运算算律100
负向量101
向量的差101
向量与数的乘法101
向量与数的乘法运算算律101
向量平行的充分必要条件102
非零向量的单位化102
§7��3向量的坐标102
向量坐标102
向量加法、减法和数乘运
算的坐标表示102
向量a//b的坐标表示103
向量模的坐标表示103
两向量的夹角103
向量的方向角103
向量的方向余弦及其性质103
向量在轴上的投影104
投影定理104
投影性质104
§7��4数量积向量积混合积105
(1)向量的数量积105
数量积定义105
数量积的性质106
数量积的运算算律106
数量积的坐标表示106
两个向量夹角余弦
的坐标表示106
(2)向量的向量积107
向量积定义107
向量积的性质107
向量积的运算算律107
向量积的坐标表示107
(3)向量的混合积108
混合积的定义108
混合积的坐标表示108
混合积的几何意义108
§7��5空间曲面及其方程109
曲面方程的概念109
旋转曲面109
旋转曲面方程109
柱面110
空间曲面的参数方程111
二次曲面111
二次曲面方程111
§7��6空间曲线及其方程112
空间曲线112
空间曲线的一般方程112
空间曲线的参数方程112
空间曲线在坐标面
上的投影113
§7��7平面及其方程113
平面的法向量113
平面的一般方程113
平面的点法式方程113
平面的截距式方程114
平面的两点式方程114
平面束方程114
两平面的夹角114
两平面垂直的条件115
两平面平行的条件115
平面外一点到平面的距离115
§7��8空间直线及其方程115
直线的方向向量115
空间直线的一般方程115
空间直线的对称式方程116
空间直线的参数方程116
两直线的夹角116
两直线夹角的余弦公式117
直线与平面的夹角117
直线与平面夹角的公式117
直线外一点到直线的距离117
本章知识点及其关联网络118
第8章多元函数微分法及其应用119
§8��1多元函数的基本概念119
坐标平面119
平面点集119
平面上两点间的距离119
平面上点P0的δ邻域120
平面上点P0
的去心δ邻域120
内点120
外点120
边界点与边界120
聚点121
开集121
闭集121
连通集121
区域(或开区域)121
闭区域122
有界点集和无界点集122
二元函数定义122
n元函数定义122
二元函数极限定义123
二元函数连续定义123
二元函数间断点定义124
多元连续函数的和、差、
积、商的连续性124
多元连续函数的复合
函数的连续性124
多元初等函数的概念124
多元初等函数的连续性124
有界闭区域上连续
函数的性质125
§8��2偏导数126
二元函数偏导数定义126
二元函数偏导数的
几何意义127
二元函数高阶偏导数概念128
二阶混合偏导与求导顺
序无关的条件129
§8��3全微分129
二元函数的偏增量与
偏微分的概念129
二元函数的全增量与全
微分的定义129
全微分存在的必要条件130
全微分存在的充分条件130
n元函数全微分的表达式131
§8��4多元复合函数的求导法则131
中间变量均为一元函
数的情形131
中间变量均为多元函
数的情形132
中间变量既有一元函数又
有多元函数的情形133
全微分形式的不变性133
§8��5隐函数的求导公式134
单一方程情形134
方程组情形135
多元反函数求导公式136
§8��6微分在几何上的应用139
空间曲线的切线概念139
空间曲线的切向量140
空间曲线的切线方程140
空间曲线的法平面
及其方程140
其他形式的空间曲线方程
的切线与法平面方程140
曲面的切平面和法
线的概念142
曲面法向量的概念142
曲面的切平面与法线方程143
曲面法向量的方向余弦144
二元函数全微分
的几何意义145
§8��7方向导数与梯度145
方向导数定义145
方向导数的存在条件
和计算公式146
梯度的概念146
梯度与方向导数的关系147
§8��8多元函数的极值及其求法148
二元函数极值的定义148
极值的必要条件149
极值的充分条件149
条件极值与无条件极值150
拉格朗日乘子法150
本章知识点及其关联网络①(多元函数微分法)152
本章知识点及其关联网络②(多元函数微分法应用)153
第9章重积分154
§9��1二重积分的概念与性质154
二重积分定义154
二重积分性质155
§9��2二重积分的计算法 157
直角坐标系中二重
积分的计算157
极坐标系中二重
积分的计算159
二重积分换元定理161
§9��3三重积分162
三重积分定义162
三重积分性质163
直角坐标系中三重
积分的计算163
柱坐标系中三重积
分的计算166
球坐标系中三重积
分的计算168
§9��4重积分应用171
(1)几何应用171
曲面面积171
(2)物理应用172
质心坐标172
转动惯量174
引力175
本章知识点及其关联网络178
第10章曲线积分与曲面积分179
§10��1对弧长的曲线积分179
对弧长曲线积分的定义179
对弧长曲线积分存在
的充分条件180
对弧长曲线积分的性质180
对弧长曲线积分的
计算公式182
对弧长曲线积分的
计算步骤183
§10��2对坐标的曲线积分183
对坐标曲线积分的定义183
对坐标曲线积分的
向量表达式185
对坐标曲线积分存
在的充分条件185
对坐标曲线积分的性质186
对坐标曲线积分的
计算公式186
对坐标曲线积分的
计算步骤188
两类曲线积分之间的联系189
§10��3格林公式190
单连通域与复连通域190
平面区域边界的正方向190
格林公式190
曲线积分与路径无
关的概念191
曲线积分与路径无
关的等价条件191
曲线积分与路径无关
的充分必要条件191
二元函数全微分求
积的概念192
二元函数全微分求积
的条件与方法192
§10��4曲线积分的应用194
(1)几何应用194
弧长的计算194
柱面的面积195
(2)物理应用195
线状物体的质量195
线状物体的质心196
线状物体的转动惯量197
变力沿曲线作功197
§10��5对面积的曲面积分198
对面积曲面积分的定义198
对面积曲面积分存
在的充分条件199
对面积曲面积分的性质199
对面积曲面积分的计算
步骤和计算公式200
§10��6对坐标的曲面积分202
有向曲面的概念202
有向曲面的方向202
有向曲面在坐标
面上的投影203
对坐标曲面积分的定义203
对坐标曲面积分存在
的充分条件205
对坐标曲面积分的性质205
对坐标曲面积分的计算
步骤和计算公式207
两类曲面积分之间的联系208
§10��7高斯公式通量和散度209
高斯公式209
通量和散度210
§10��8斯托克斯公式环流量和旋度210
斯托克斯公式210
环流量和旋度211
§10��9曲面积分的应用212
(1)几何应用212
空间曲面面积212
(2)物理应用212
曲面状物体的质量212
曲面状物体的质心213
面状物体的转动惯量213
本章知识点及其关联网络①(曲线积分)214
本章知识点及其关联网络②(曲面积分)215
第11章无穷级数216
§11��1常数项级数的概念和性质216
常数项级数定义216
级数的前n项和数列216
级数收敛和发散定义216
级数余项定义217
收敛级数的基本性质 217
级数收敛的必要条件218
柯西审敛原理218
§11��2常数项级数的审敛法218
正项级数定义218
正项级数收敛的充
分必要条件218
正项级数的比较审敛法219
正项级数的比较
审敛法推论219
三个重要级数的敛散性220
正项级数比较审敛法
的极限形式220
正项级数的极限审敛法221
正项级数的比值
审敛法（ 达朗贝尔
( D’Alembert) 判别法）221
正项级数的根值
审敛法（柯西
(Cauchy) 判别法）222
交错级数定义222
交错级数审敛法
（莱布尼兹定理）222
绝对收敛和条件收敛222
绝对收敛级数的性质223
§11��3幂级数224
函数项级数定义224
函数项级数的收
敛域和发散域224
函数项级数的和
函数及余项225
幂级数226
阿贝尔（Abel）定理226
阿贝尔（Abel）定理推论226
幂级数的收敛半径、
收敛区间和收敛域 226
幂级数收敛半径的求法227
幂级数的四则运算227
幂级数和函数的性质229
泰勒级数230
麦克劳林级数231
函数展成泰勒级数231
常用函数的麦克劳林级数231
§11��4函数项级数的一致收敛性232
函数项级数的一致收敛性232
函数项级数一致收
敛性的判别法（维
尔斯特拉斯
（Weierstrass）判别法）233
一致收敛级数的性质233
幂级数的一致收敛性235
§11��5复数项级数和欧拉公式235
复数项级数235
复数项级数的收敛性236

复数项级数的绝对收敛性236
欧拉（Euler）公式236
§11��6傅里叶级数237
三角级数237
傅里叶级数237
收敛定理（狄利
克雷（Dirichler）
充分条件）237
奇函数与偶函数的
傅里叶系数238
正弦级数238
余弦级数238
以2l为周期的函数的
傅里叶级数239
本章知识点及其关联网络 ①(数项级数)241
本章知识点及其关联网络②（幂级数、傅里叶级数）242
第12章微分方程243
§12��1微分方程的基本概念243
微分方程定义243
微分方程的阶243
n阶微分方程的一般形式243
微分方程的解243
微分方程的初始条件244
微分方程的通解和特解244
微分方程的积分曲线244
§12��2一阶微分方程244
可分离变量的微分
方程及其解法244
齐次方程及其解法244
一阶线性微分方程245
一阶线性齐次微分
方程的通解245
一阶线性非齐次微分
方程的通解246
伯努利方程246
伯努利方程解法246
全微分方程247
全微分方程解法247
积分因子247
§12��3高阶可降阶微分方程248
y(n)=f(x)型的
微分方程248
y″=f(x,y′)型的微
分方程248
y″=f(y,y′)型的微分方程248
§12��4高阶线性微分方程249
二阶线性微分方程249<

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