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內容簡介

高等代數教程除瞭第0 章“整數, 數域與多項式”外, 將“綫性代數” 內容分為上下兩篇, 上篇以較為具體的“綫性方程組的一般理論問題”的提齣、分析、抽象、解決和引申為綫索組織“綫性空間理論”, 並在問題的討論中充分使用它; 下篇以“實二次型的主軸問題”的提齣、分析、抽象、解決和引申為綫索組織“綫性變換理論”, 並在問題的討論中充分使用它, 這是宏觀框架, 詳見目錄. 其微觀處理, 則以“綫性相關性” 這一“綫性代數” 的核心概念貫穿始終, 且使用瞭許多獨特的處理方法和技巧. 每章後的習題之外, 貫穿於各章節中的諸多“注” 提供瞭若乾思考問題. 另外, 高等代數教程在“現代化處理上” 實現瞭內容上的諸多“更新”(語言上的, 開發路綫上的, 證明方法上的, …), 也給齣瞭內容上的適當的“增新” (諸如引進瞭齣現於28 年前的“關於多項式的FermAt 大定理的初等證明”).

目錄

第 0章整數,數域與多項式 1

0.1集閤,映射與運算 1

0.2整數 6

0.3數域 11

0.4多項式與多項式函數 12

0.5帶餘除法,餘數定理和零點 —因子定理 17

0.6最大公因式與最小公倍式 18

0.7因式分解與重因式 24

0.8 C, R和 Q上的多項式 31

0.9關於多項式的 FermAt大定理的一個初等證明 36
習題 0 40

上篇綫性方程組的一般理論問題
引言綫性方程組, 5元解法及其在增廣矩陣上的實現 49

習題 56
第 1章矩陣代數 58

1.1矩陣代數 58

1.2分塊矩陣 64

1.3矩陣的初等變換與等價標準形 71
習題 1 74
第 2章一類特殊綫性方程組的行列式法則 (CrAmer法則) 78

2.1 n階 (方陣的)行列式 78

2.2行列式的基本性質 (特彆地,方陣代數與行列式)及其應用 81

2.3綫性方程組的 CrAmer法則 90

2.4行列式的展開式 95

2.5行列式的 (一種)公理化定義 97
習題 2 99

第 3章綫性方程組的一般理論 105

3.1 n元嚮量的綫性相關性與方程組的求解問題 105

3.2矩陣的秩與方程組的求解問題 110

3.3綫性方程組的解的結構 117
習題 3 127
第 4章綫性空間與綫性方程組 133

4.1綫性空間與其子空間 133

4.2維數,基底,坐標與 CrAmer法則 137

4.3坐標變換與 CrAmer法則 143

4.4綫性空間的同構與綫性方程組理論的一個應用 148

4.5綫性方程組解集的幾何結構 151
習題 4 153
第 5章對稱雙綫性度量空間與綫性方程組 158

5.1綫性空間上的綫性和雙綫性函數 158

5.2對稱雙綫性度量空間與綫性方程組可解的幾何解釋 163

5.3 Euclid空間 166

5.4嚮量到子空間的距離與綫性方程組的最小二乘法 174
習題 5 179

下篇實二次型的主軸問題
引言二次型主軸問題的幾何原型 185
1二次型的一般問題 186
2從二次麯綫講起——實二次型主軸問題的幾何原型 187
習題 193
第 6章綫性空間上的綫性變換 194

6.1綫性變換及其閤成和矩陣錶示 194

6.2不變子空間,特徵根與特徵嚮量 204

6.3特徵多項式與最小多項式 208

6.4 CAyley-HAmilton定理的傳統證明 221
習題 6 222
第 7章綫性空間關於綫性變換的一類直和分解 230

7.1綫性映射 (特彆地,綫性變換)的像與核 230

7.2綫性空間關於綫性變換的一類直和分解 236
習題 7 241

第 8章 Euclid空間上的兩類綫性變換與二次型主軸問題 242

8.1正變變換與對稱變換 242

8.2二次型的主軸問題 246

8.3一個應用 (將一對實二次型同時化簡為平方和) 253

8.4二次型的一般問題 259
習題 8 276
第 9章引申 --------一般矩陣的 (相似)標準形 280

9.1 λ矩陣及其等價標準形 280

9.2 λ矩陣的行列式因子,不變因子和初等因子 285

9.3矩陣的相似與其特徵矩陣的等價 289

9.4矩陣的不變因子與 Frobenius (有理)標準形 292

9.5矩陣的初等因子與 JAcobson標準形 (特例為 JordAn標準形) 295

9.6 JordAn標準形的幾何解釋 302
習題 9 304
參考文獻 308
索引 309

精彩書摘

第 0章整數,數域與多項式
綫性代數 (或稱一次代數)的討論必然要使用多項式的一些基本概念,這是本書要介紹一點多項式的基本概念的直接緣由.另外,多項式作為代數學中最基本的對象之一,在代數學的各個分支以及其他數學學科中,或者構成其基本內容,或者多多少少要被涉及,所以本書作為一本基礎教程對它作一點起碼的介紹,也有更廣泛的意義.
這裏要介紹的多項式的一些最基本的事項與整數的許多基本事項是平行的,兩相對照十分有趣,這又是要先講一點整數的原因.
數量領域內的代數學,問題的討論常常需要事先明確解決問題的數量範圍.數量的加、減、乘、除等閤成的性質通常稱為數量的代數性質,而數量的代數學所研究的問題基本上涉及的就是數量的代數性質,它們是有理數全體、實數全體和復數全體所共有的,為此,我們要引入數域這一基本概念,作為我們討論數量領域內代數學的一個基礎.
本章乃至全書的討論要使用一些集閤論的語言,因此,我們的 0.1節先用於迴顧集閤及其相關概念,井盡量將它們精確化.
0.1集閤,映射與運算
集閤是數學中少數不加定義的概念 (稱為元概念)之一,它被界定為具備某種性質的對象的全體.關於整數,依我們的經驗,它們是
0, ±1, ±2, , ±n, .
而整數的全體 Z就是一個集閤,稱 Z為整數集.構成一個集閤 A的每一個對象稱為這一集
閤的一個元素,這一關係,記為 x ∈A,稱為 “x屬於A”;否則記為 x/∈A,稱為 “x不屬於A”.例如, .2 ∈Z, 12

∈/Z.
不含任何元素的集閤稱為空集,記為 所謂一個集閤是己知的,指的是構成 A的全體對象是己知的.因此,刻畫一個集閤,就是闡述這個集閤是由哪些元素構成的.要闡述這一點,一個直截瞭當的方法就是將這個集閤的全部對象羅列齣來,這對於由有限個元素組成的集閤 (稱為有限集,否則稱為無限集,通常用 |A|錶示集閤 A含元素的個數),都是行得通的,例如,由 1, 2, 3組成的集閤 A,我們就可以用這一羅列法將 A錶示為
A = {1, 2, 3}; (0.1)
這一方法對於某些無限集也可以使用,例如,整數集 Z可錶示為
但是,更一般的闡述方法是使用定義這一集閤的性質.於是,如果集閤 A是由具有性質 P的所有對象構成的,那麼我們就可以錶示 A為
A = {x | x具有性質 P }.
例如,平麵上落在雙麯綫 x2 . y2 =1上的點 (x, y)的全體 M,就可寫為
M = {(x, y) | x 2 . y 2 =1};
又如, Z可以寫為 Z = {x | x是整數}.
前麵的羅列法也可歸為後麵的這一闡述方法,例如,式 (0.1)中的 A可以寫為 A = {x | x =1, 2, 3},
此時,所使用的性質 P是 P =“x是 1,或者 2,或者 3”.任給兩個集閤 A, B,我們可以使用下述各種閤成的方法構造一些新的集閤: C1 = {x | x ∈ A,或 x ∈ B}, C2 = {x | x ∈ A,且 x ∈ B}, C3 = {x | x ∈ A,且 x/∈ B}, C4 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B},
分彆記它們為
C1 = A ∪ B, C2 = A ∩ B, C3 = A . B, C4 = A × B,
且分彆稱 C1,C2,C3和 C4為集閤 A與 B的井,交,差和 DescArtes積.
除瞭集閤之間的上述基本閤成 (它們原則上都可以由兩個集閤推廣到多個集閤)外,集閤間還有一種基本關係,稱為包含 (或包含關係).
令 A, B為兩個集閤.稱 A包含在集閤 B中 (或稱 B包含 A,也稱 A為 B的子集),記為 A . B,即如果 x ∈ A意味著 x ∈ B.例如,對於式 (0.1)中的 A,有 A . Z;稱 A與 B相等,記為 A = B,如果 A . B,且 B . A,即 A與 B是同一個集閤;稱 A真包含在 B中 (或稱 B真包含 A,也稱 A是 B的真子集),即如果 A . B,但 A 任何集閤 A以自身 A
= B.和空集 .為自己的子集,這兩個子集稱為平凡子集.若 A = {1, 2, 3},則 A的所有子集為
., {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},A,
其中前 7個子集是真子集,中間 6個子集是非平凡子集.
B的井,變,差和 DescArtes積.現在,我們可以再介紹集閤的另外兩種閤成瞭.
d
x∈ S1} ( d
C5 ={ x | x ∈ S| =錶示用右邊定義左邊)
和
d
C6 ={ A | A. S}
的差相聯係, S1 = S . S1.
下麵我們要迴顧的是作為函數推廣的所謂集閤間的映射的概念.
A在 f下的象, A為 b在 f下的一個原象.
f : A.→ B A = f(A).
.→ b稱 A(B)為 f的定義域 (值域),記 A = D(f),B = R(f).又令 Imf= { b∈ B | (. A ∈ A) f(A)= b} , f.1(b)= { A∈ A | f(A)= b} ,b∈ B.
例如,若記 2Z = { 2n | n∈ Z} ,
f: Z .→ 2Z .→ 4 | 其中 | n|錶示 n∈ Z的絕對值.此時,
Imf = { 4 | n |n∈ Z} = { 0,4,8,12,} .對於任意 m∈ 2Z,
讀考查取 (0.1)與 及 與者可以為式 中的 和 為 來一下 的包含關係以AABZABA集子集即令 為一閤 為它的分彆稱.SSSS,,.11 辛旱S()(2);記記與集為 在 中的集和 的集 分彆為為 後者也為 兩閤PSSSCSCS,,1516定義 0.1.1集映每令 為兩個閤 到的一個射是一個法則 使得 中的一A,BABfA.,按唯應 (),與 此記個元素 照這一法則都一確定 中的一個元素 對時 稱 為Bbbfb=AAA,,們映用麵我錶示 到的一個射 通常下的方式:ABf象完全原象們分彆稱它為 的和 在 下的∈fbBf.讓 應於4 們有映則對時 我一射||∈ Znn,()(0.2) | f=nnn,

{ 0} ,
f.1(m)=
m m

,當 m>0,且 m為 4的倍數時,
, .
當 m=0時,

4 4
.,其他情況.


映射 f : A .→ B和 g : A .→ B稱為相等的,如果 (. A ∈ A) f(A)= g(A).稱映射 f : A .→ B是一個單射,或 1 . 1映射 (滿射,或到上的映射),如果 (. b ∈ B) | f.1(b) | : 1(Imf = B),或者說,(. A1,A2 ∈ A) A1 = A2 . f(A1)= f(A2)((. b ∈ B)| f.1(b) | . 1),
即 A中不同的元素在 f下的象也不同 (B中的每一個元素都是 A中的某一個元素在 f下的象),其中 | D |錶示集閤 D中含元素的個數.稱映射 f : A .→ B是一個雙射,或一一對應,如果 f既是一個單射,又是一個滿射.式
(0.2)中的映射顯然既不是單射,也不是滿射.下麵的映射 f1 : Z .→ Z
n .→ 2n, f2 : Z .→ { 1, 2}

1, 當 2 ↑ n時,
n .→f3 : Z .→ 2Z 2,當 2 | n時,
n .→ 2n,
顯然 , f1,f2,f3分彆是一個單射但非滿射、滿射但非單射、雙射的例子.我們可以藉助己知的映射
f : A .→ B, g : B .→ C,
用下麵的方法定義一個新的映射
h : A .→ C
A .→ g(f(A)),記 h = g . f,稱為 f與 g的閤成.顯然,這一閤成是滿足結閤律的,即對於任何映射
f : A .→ B, g : B .→ C, h : C .→ D,
有
h . (g . f)=(h . g) . f.定理 0.1.1映射 f : A .→ B是一個單射 (滿射)當且僅當存在 g : B .→ A,使得 g . f = iA (f . g = iB),其中 iA為 A到自身的所謂恒等映射,即對於任何 A ∈ A, iA(A)= A.
證明若映射 f : A .→ B是一個單射,則對於任何 b ∈ B, | f.1(b) | : 1.任意取定 A中一元素 A0,當 | f.1(b) | =0(即 f.1(b)= .)時,讓 A0與 b對應;當 | f.1(b) | =1時,令 f.1(b)= { A} ,則讓 A與 b對應.這一對應就確定一映射 g : B .→ A.顯然,對於任意 A ∈ A,
(g . f)(A)= g(f(A)) = A,
即 g . f = iA.反之,若存在 g : B .→ A,使得
g . f = iA,
的 的),有
則對於任意 A, A∈ A,由 f(A)= f(A
A = iA(A)=(g . f)(A)= g(f(A)) = g(f(A的)) = (g . f)(A的)
= iA(A的)= A的.
因此, f是單射.若 f是一個滿射,則 Imf = B,即對於任一 b ∈ B, f.1(b)= 現對於任一 b ∈ B,在 f.1(b)中取一 A,作
g : B .→ A
b .→ A.
於是,對於任意 b ∈ B, (f . g)(b)= f(g(b)) = f(A)= b,
即 f . g = iB.反之,若存在 g : B .→ A,使得
f . g = iB,
則對於任一 b ∈ B, b = iB(b)=(f . g)(b)= f(g(b)) ∈ Imf,
因此 ,Imf = B,即 f是一個滿射.口由定理 0.1.1及其證明 (當 f既是一個單射又是一個滿射的時候,證明中所作齣的兩個
g : B .→ A實際上是同一個),我們有如下推論.推論 0.1.1映射 f : A .→ B是一個雙射當且僅當存在 g : B .→ A,使得
g . f = iA,f . g = iB.
定義 0.1.2當推論 0.1.1的充要條件成立時,稱 f為可逆映射,顯然, g由 f唯一確定,
記 g = f.1 ,稱為 f的逆映射.於是,推論 0.1.1又可陳述為推論 0.1.2映射 f為雙射當且僅當 f為一可逆映射.
在這一節的最後,我們給齣兩類特殊的映射.
一類映射是 f : A .→ A,我們稱此類映射 f為集閤 A上的變換,也稱它們為 A上的一元運算.例如,取 A = {1, 2, 3}, A上的變換可以寫成
. .
1 2 3
f = ,
i1 i2 i3

其中 ij = f(j).而每一 ij都有三種選擇 (1,或 2,或 3),因此, A = {1, 2, 3}上的變換恰有 27
個.
另一類映射是, f : A ×A .→A,我們稱此類映射 f為 A上的二元運算.
例如,通常的加法 “+”就是 Z上的一個二元運算.
+: Z ×Z .→Z
(n, m) .→n + m.
通常的減法 “.”,乘法 “×”也一樣.但通常的除法 “÷”則不是 Z上的一個二元運算,即
(n, m) .→n ÷m, n,m ∈Z
不是 Z ×Z到 Z的一個映射.
0.2整數
對於整數
0, ±1, ±2, , ±n,
以及整數集 Z關於加、減、乘運算和關係 “:”的基本事項,我們都使用讀者至今積纍起來的經驗.在這裏我們對整數的討論就從這些經驗和下麵的一個公理齣發.
良序公理令 S .{n | n ∈Z,n 0}. (0.3)
若 S = .,則 S中有最小元素 (即
. n0 ∈S, .n ∈S, n0 : n).
注 0.1式 (0.3)中的 0可以被任何整數替代.
應用非負整數的良序公理,我們可以證明非負整數的另一個稱為數學歸納法的性質.我們在此陳述這一性質的兩種基本形式,但隻證.二個,另一個的證明讀者自行作齣.
第一數學歸納法令 Pn是以非負整數 0, 1, 2, 為下標的一列命題.若
(1) P0為真,
(2)對於任意 k 0, “Pk為真”意味著 “Pk+1為真”,則對於任意 n 0, Pn為真.

前言/序言

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9，張量的概念、張量的坐標、張量積、張量的捲積、對稱與斜對稱張量、張量空間、外代數。

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7，Euclid幾何中的平麵與直綫、Euclid平麵與復數、Euclid空間與仿射空間、仿射簇。

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6，代數閉域、域擴張的自同構、Galois群、Artin引理、Galois擴張、Galois理論主定理、尺規做圖問題、三等分角問題、倍立方問題、分圓擴張、不可約性判彆法、Brauer定理、Dedekind定理、Artin定理、正規基。

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8，二次麯麵、二次麯麵的中心、仿射空間中二次麯麵的規範型、二次麯麵的分類、Euclid空間中的二次麯麵、射影平麵、高維射影空間、齊次坐標、仿射幾何與射影幾何的關係、代數簇、射影群、交比與重比、射影空間中二次麯麵的分類、直綫與射影二次麯麵的相交。

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11，典型群、滿同態、四元數代數、置換群、對稱。

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8，二次麯麵、二次麯麵的中心、仿射空間中二次麯麵的規範型、二次麯麵的分類、Euclid空間中的二次麯麵、射影平麵、高維射影空間、齊次坐標、仿射幾何與射影幾何的關係、代數簇、射影群、交比與重比、射影空間中二次麯麵的分類、直綫與射影二次麯麵的相交。

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9，SU(2)群和SU(3)群的錶示、錶示的張量積、特徵標環、有限群中的剛性與有理性、結閤代數、商代數、中心單代數、Wedderburn-Artin定理、可除代數、Wedderburn定理、代數的綫性錶示、Burnside定理。

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