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内容简介

　　《分歧理论及其应用》主要介绍抽象算子方程的分歧理论及其在半线性、拟线性和完全非线性微分方程中的应用。主要内容可看成五个部分：分歧理论的相关预备知识、抽象算子方程的分歧理论、特征值问题的谱理论、微分方程的分歧理论及上述理论在微分方程中的应用。　　《分歧理论及其应用》可作为高等院校数学专业研究生的教材及高年级本科生的选修课教材，也可供从事分歧问题研究的教师和科技工作者参考。

内页插图

目录

前言第1章 分歧理论的背景和预备知识1.1 背景和记号1.1.1 分歧理论的研究背景和现状1.1.2 记号1.2 非线性映射的微分1.2.1 Frechet导数1.2.2 隐函数定理1.2.3 分歧的定义1.3 度量空间1.3.1 度量空间的定义和紧性1.3.2 连通分支及相关结论1.4 Leray-Schauder度理论1.4.1 Leray-Schauder度1.4.2 孤立解的指标公式1.5 几个常用恒等式和不等式1.5.1 Picone恒等式1.5.2 几个常用不等式1.6 Sobolev空间和嵌入定理1.6.1 H51der连续函数空间1.6.2 Lp和WK,P空间1.6.3 嵌入定理1.7 Nemitski算子理论1.7.1 Nemitski算子1.7.2 一类重要应用
第2章 局部分歧理论2.1 Krasnosel'skii局部分歧定理2.1.1 Krasnosel'skii分歧定理2.1.2 一个非线性特征值问题的分歧点2.2 局部单边分歧理论2.2.1 单重本征值处的局部单边分歧定理2.2.2 简单本征值处的局部单边分歧定理2.3 Crandall—Rabinowitz局部分歧理论2.3.1 跨临界分歧和音叉分歧2.3.2 鞍结点分歧2.4 Krasnosel'skii位势分歧理论2.4.1 Krasnosel'skii位势分歧定理2.4.2 一个周期边值问题的分歧点
第3章 半线性方程的全局分歧理论及其应用3.1 全局分歧理论3.1.1 Rabinowitz全局分歧定理3.1.2 Rabinowitz渐近分歧定理3.2 一类非局部问题的全局分歧3.3 不满足符号条件的半线性微分方程的结点解
第4章 半线性方程的单边全局分歧理论及其应用4.1 单边全局分歧理论4.2 Sturm—Liouville问题的单边全局区间分歧4.3 带不可微非线性项问题的结点解
第5章 拟线性方程的全局分歧理论及其应用5.1 拟线性算子方程的全局分歧理论5.2 带变号权周期p_Laplace方程的特征值5.3 极小正特征值和极大负特征值的性质5.4 周期p-Laplace方程的全局分歧5.5 周期p-Laplace方程的正解
第6章 拟线性方程的单边全局分歧理论及其应用6.1 拟线性算子方程的单边全局分歧理论6.2 一维p-Laplace方程的单边全局分歧和结点解6.3 一维p-Laplace方程的单边全局区间分歧6.3.1 一维问题的单边全局区间分歧6.3.2 半拟线性特征值问题的谱6.3.3 带跳跃非线性项问题的结点解6.4 高维p-Laplace方程的定号解6.4.1 跨越特征值问题的定号解6.4.2 p-Laplace方程定号解的精确个数6.5 高维p-Laplace方程的单边全局区间分歧6.5.1 高维问题的单边全局区间分歧6.5.2 高维半拟线性问题的特征值和定号解
第7章 完全非线性方程的全局分歧理论及其应用7.1 一类完全非线性算子方程的全局分歧理论7.1.1 广义同伦原理7.1.2 完全非线性算子方程的全局分歧7.2 一个辅助特征值问题7.3 球形域上Monge-Ampere方程的全局分歧7.4 球形域上Monge-Ampere方程的凸解7.5 球形域上Monge-Ampere方程凸解的精确个数7.6 一般域上Monge-Ampere方程凸解的存在性和非存在性
第8章 多参数分歧理论及其应用8.1 LyapunOV—Schmidt过程8.2 多参数局部分歧理论8.3 Hopf分歧8.4 多参数全局分歧理论8.5 Fueik谱处的全局分歧和结点解
参考文献索引

前言/序言

S　　分歧理论是研究非线性微分方程的重要工具。它和紧算子的谱理论、隐函数定理、拓扑度理论和变分原理有着紧密的联系。由于分歧问题在数学乃至其他学科中有着重要的理论意义和广泛的应用背景，所以对分歧理论及其应用的研究一直都是数学研究的重要内容。然而，据我们所知，国内还没有分歧方面的专著和教材。国外同类书籍也主要侧重于应用。本书系统总结近半个多世纪以来抽象算子方程分歧理论发展的背景、过程、意义及存在的问题，包含作者近年来在该领域的研究结果、思想和方法。写作上，本书主要介绍基本理论和基本方法，不求面面俱到，力求使读者掌握方法的精神实质。　　全书共有8章，具体如下。　　第1章概述分歧理论及其应用的发展状况和存在的问题，并且给出一些预备知识。　　第2章介绍算子方程的局部分歧理论，包括Krasnosel’skii局部分歧定理、局部单边分歧理论、Crandall—Rabinowitz局部分歧理论及Krasndosel’skii位势分歧理论。　　第3章论述Rabinowitz全局分歧定理和渐近分歧定理，并讨论其在半线性微分方程中的应用。　　第4章介绍Dancer的单边全局分歧理论，用之建立带不可微非线性项的Sturm—Liouville问题的单边全局区间分歧理论，并考虑带不可微非线性项问题结点解的存在性和非存在性。　　第5章建立一类拟线性算子方程的全局分歧理论，并着重论述带变号权的周期p—Laplace方程的特征值、全局分歧理论及其应用。　　第6章建立一类拟线性算子方程的单边全局分歧理论，并用之讨论p—Laplace方程的单边全局分歧理论、单边全局区问分歧理论及其应用。本章也考虑半拟线性特征值问题的谱结构。　　第7章介绍完全非线性算子方程的全局分歧理论，并讨论Monge-Ampere方程的特征值、全局分歧和凸解的存在性及非存在性。　　第8章论述多参数分歧理论及其在微分方程中的应用，包括Lyapunov—Schmidt过程、多参数局部分歧理论、Hopf分歧、多参数全局分歧理论及fucik谱处的全局分歧现象和结点解。　　本书的工作获国家自然科学基金项目(11261052)的资助，在此表示感谢！感谢所有支持和关心我的亲朋好友。感谢我的导师范先令教授对我学习和生活上的关心、支持和帮助。感谢我的导师马如云教授的悉心指导和鼓励。同时，感谢中国科学院的张志涛研究员、南京大学的钟承奎教授、兰州大学的李万同教授、美国的Junping Shi教授和Haiyan、Wang教授在学术上对我的支持和帮助。感谢同门同窗的诸多帮助和关心。感谢我父母的养育之恩。感谢我哥哥姐姐们的关心和帮助。感谢我的妻子王晓楠女士对我的理解和支持。特别感谢我的女儿代嘉慧，她的纯真和可爱总给我带来生活上的快乐和学术上的灵感。　　最后，感谢科学出版社的责任编辑及相关工作人员为本书出版所付出的辛勤努力。　　由于作者学识和经验有限，疏漏和错误在所难免。如蒙赐教，不胜感激。　　代国伟　　2014年3月

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